Exponentielles Wachstum und Logarithmus

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme: Multiplizieren mit einem konstanten Faktor

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Zwei Teiche haben anfangs je 5 m² Algen. In Teich A wächst die Fläche jede Woche um 5 m². In Teich B verdoppelt sie sich jede Woche.

Nach 1 Woche haben beide 10 m². In welchem Teich sind nach 4 Wochen mehr Algen? Schätze zuerst.

  1. Teich A
  2. Teich B
  3. Gleich viele

Prüfe dann mit einer kleinen Tabelle für die Wochen 0 bis 4.

Die Grundidee

Wird eine Größe bei jedem Schritt mit demselben Faktor bb multipliziert, ändert sie sich exponentiell.

Anfangswert aa, Faktor bb pro Schritt: Nach nn Schritten ist der Bestand a⋅bna \cdot b^n

  • Für b>1b > 1 wächst die Größe (exponentielles Wachstum).
  • Für 0<b<10 < b < 1 nimmt sie ab (exponentieller Zerfall).
  • Wer pro Schritt p %p\,\% verliert, behält (100−p) %(100 - p)\,\%: Der Faktor ist 1−p1001 - \frac{p}{100}. Ein Zuwachs von p %p\,\% ergibt den Faktor 1+p1001 + \frac{p}{100}.

Beispiel

Ein Foto ist 1000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung wird es auf 80 % seiner Breite gebracht. Wie breit ist es nach 3 Verkleinerungen?

W=1000⋅0,8⋅0,8⋅0,8W = 1000 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8
80 % behalten heißt jedes Mal mit 0,8 multiplizieren.
W=1000⋅0,83W = 1000 \cdot 0{,}8^3
Drei gleiche Faktoren ergeben eine Potenz.
W=512W = 512 Pixel
0,8³ = 0,512.

Du bist dran

Jetzt du: Eine Pflanze ist 3 cm hoch, und ihre Höhe verdreifacht sich jede Woche. Wie hoch ist sie nach 4 Wochen? Ergänze die fehlende Zeile.

h=3⋅34h = 3 \cdot 3^4
Bei 3 beginnen und viermal mit 3 multiplizieren.
h=243h = 243 cm
3⁴ = 81, und 3 · 81 = 243.

Üben ★

  1. Die Algenfläche beträgt anfangs 5 m² und wird jede Woche mit 4 multipliziert. Vervollständige die Tabelle.
  2. Die Algenfläche beträgt anfangs 2 m² und wird jede Woche mit 2 multipliziert. Vervollständige die Tabelle.
  1. Eine Kultur beginnt mit 7 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 3 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 3 Wochen?
  2. Eine Kultur beginnt mit 5 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 2 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 5 Wochen?
  3. Eine Kultur beginnt mit 3 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 3 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 5 Wochen?
  4. Eine Kultur beginnt mit 6 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 5 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 5 Wochen?
  5. Eine Kultur beginnt mit 5 Gramm Algen. Jede Woche wird die Menge mit 2 multipliziert. Wie viele Gramm sind es nach 3 Wochen?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Foto ist 8000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 40 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  2. Ein Foto ist 2000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 30 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  3. Ein Foto ist 2000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 25 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  4. Ein Foto ist 8000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 10 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  5. Ein Foto ist 4000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 30 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Foto ist 8000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 40 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  2. Ein Foto ist 2000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 30 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.
  3. Ein Foto ist 2000 Pixel breit. Bei jeder Verkleinerung verliert seine Breite 25 %. Gib die Breite W(t)W(t) nach tt Verkleinerungen an.

Merkkarte

Exponentielle Änderung: bei jedem Schritt derselbe Faktor

  • Anfangswert aa, Faktor bb pro Schritt: nach nn Schritten a⋅bna \cdot b^n.
  • Zuwachs p %p\,\%: Faktor 1+p1001 + \frac{p}{100}. Abnahme p %p\,\%: Faktor 1−p1001 - \frac{p}{100}.

Achtung: Bei jedem Schritt denselben Betrag addieren ist linear, nicht exponentiell.

2. Linear oder exponentiell: gleiche Differenzen oder gleiche Faktoren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Angebot A: 1000 Euro pro Tag, 30 Tage lang. Angebot B: am ersten Tag 1 Cent, dann jeden Tag das Doppelte. Welches zahlt am 30. Tag mehr?

  1. Angebot B
  2. Angebot A

Die Grundidee

Linear addiert, exponentiell multipliziert.

Bei gleichen Schritten in xx ändert sich eine lineare Funktion um gleiche Differenzen (mm addieren), eine Exponentialfunktion um gleiche Faktoren (mit bb multiplizieren). Exponentielles Wachstum überholt schließlich jedes lineare Wachstum.

Beispiel

yy: 3, 6, 12, 24.

Nicht linear
Differenzen 3, 6, 12: nicht gleich.
Exponentiell, Faktor 2
Quotienten 2, 2, 2.
24⋅2=4824 \cdot 2 = 48
Nächster Wert.

Du bist dran

Jetzt du: Eine Exponentialfunktion hat g(0)=5g(0) = 5, g(1)=15g(1) = 15. Bestimme g(2)g(2).

4545
Faktor 3.

Üben ★

  1. Eine Tabelle zeigt x=0,1,2,3x = 0, 1, 2, 3 und y=4,12,36,108y = 4, 12, 36, 108. Welcher Zusammenhang liegt vor?
    1. Exponentiell: yy wird bei jedem Schritt mit 3 multipliziert
    2. Linear: yy wächst bei jedem Schritt um 8
    3. Keins von beiden
  2. Eine Tabelle zeigt x=0,1,2,3x = 0, 1, 2, 3 und y=8,24,72,216y = 8, 24, 72, 216. Welcher Zusammenhang liegt vor?
    1. Exponentiell: yy wird bei jedem Schritt mit 3 multipliziert
    2. Linear: yy wächst bei jedem Schritt um 16
    3. Keins von beiden
  1. Eine Exponentialfunktion hat g(0)=9g(0) = 9 und g(1)=18g(1) = 18. Bestimme g(3)g(3).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f(x)=57x+380f(x) = 57x + 380 und g(x)=1,04xg(x) = 1{,}04^x. Welche ist für sehr große xx größer?
    1. gg: Exponentielles Wachstum überholt lineares Wachstum schließlich
    2. ff: Sie ist jetzt größer und wächst schneller
    3. Sie bleiben ungefähr gleich
  2. f(x)=73x+397f(x) = 73x + 397 und g(x)=1,04xg(x) = 1{,}04^x. Welche ist für sehr große xx größer?
    1. gg: Exponentielles Wachstum überholt lineares Wachstum schließlich
    2. ff: Sie ist jetzt größer und wächst schneller
    3. Sie bleiben ungefähr gleich

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Eine Exponentialfunktion hat g(0)=9g(0) = 9 und g(1)=18g(1) = 18. Bestimme g(3)g(3).
  2. Eine Exponentialfunktion hat g(0)=4g(0) = 4 und g(1)=20g(1) = 20. Bestimme g(3)g(3).
  3. Eine Exponentialfunktion hat g(0)=5g(0) = 5 und g(1)=15g(1) = 15. Bestimme g(3)g(3).

Merkkarte

Linear oder exponentiell?

Gleiche Differenzen: linear. Gleiche Faktoren: exponentiell.

Achtung: Exponentielles Wachstum gewinnt am Ende.

3. Asymptoten und Verschiebungen von Exponential- und Logarithmusgraphen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Bewege die Regler und beobachte den Graphen von y=a⋅2x+ky = a \cdot 2^x + k.

Der Graph von y = a · 2^x + k, der sich mit den Reglern für a und k verändert.

Was bewirkt kk?

  1. Es verschiebt den Graphen und seine waagrechte Asymptote nach oben oder unten
  2. Es verschiebt nur den Schnittpunkt mit der y-Achse
  3. Es macht den Graphen steiler

Die Grundidee

Verschiebungen nehmen die Asymptoten mit.

y=a⋅bx+ky = a \cdot b^{x} + k hat die waagrechte Asymptote y=ky = k. y=log⁡b(x−h)+ky = \log_b(x - h) + k hat die senkrechte Asymptote x=hx = h und die Definitionsmenge x>hx > h

Eine Streckung in y-Richtung mit aa verschiebt eine waagrechte Asymptote nicht.

Beispiel

Beschreibe y=3⋅2x+4y = 3 \cdot 2^x + 4.

Waagrechte Asymptote: y=4y = 4
Für x → −∞ geht 3 · 2^x gegen 0.
y-Achsenabschnitt: 3+4=73 + 4 = 7
Bei x = 0 ist 2⁰ = 1.

Du bist dran

Jetzt du: y=log⁡3(x−2)+5y = \log_3(x - 2) + 5. Ergänze die fehlende Zeile.

Definitionsmenge: x>2x > 2
Das Argument x − 2 muss positiv sein.
Senkrechte Asymptote: x=2x = 2
Die Asymptote liegt dort, wo das Argument 0 ist.

Üben ★

  1. Der Graph von y=3⋅4x+7y = 3\cdot 4^x + 7 hat die waagrechte Asymptote y=cy = c. Wie groß ist cc?
  2. Der Graph von y=8⋅5x+5y = 8\cdot 5^x + 5 hat die waagrechte Asymptote y=cy = c. Wie groß ist cc?
  3. Der Graph von y=2⋅3x+9y = 2\cdot 3^x + 9 hat die waagrechte Asymptote y=cy = c. Wie groß ist cc?
  4. Der Graph von y=6⋅5x+2y = 6\cdot 5^x + 2 hat die waagrechte Asymptote y=cy = c. Wie groß ist cc?
  5. Der Graph von y=7⋅2x+2y = 7\cdot 2^x + 2 hat die waagrechte Asymptote y=cy = c. Wie groß ist cc?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zeichne den Graphen von y=1⋅2x+3y = 1 \cdot 2^x + 3: Setze zwei Punkte und die Asymptote.
  2. Zeichne den Graphen von y=1⋅2x+1y = 1 \cdot 2^x + 1: Setze zwei Punkte und die Asymptote.
  1. Der Graph von y=log⁡4(x−6)+1y = \log_{ 4 }(x - 6) + 1 hat die senkrechte Asymptote x=cx = c. Wie groß ist cc?
  2. Der Graph von y=log⁡2(x−4)+8y = \log_{ 2 }(x - 4) + 8 hat die senkrechte Asymptote x=cx = c. Wie groß ist cc?
  3. Der Graph von y=log⁡2(x−9)+3y = \log_{ 2 }(x - 9) + 3 hat die senkrechte Asymptote x=cx = c. Wie groß ist cc?
  4. Der Graph von y=log⁡4(x−9)+5y = \log_{ 4 }(x - 9) + 5 hat die senkrechte Asymptote x=cx = c. Wie groß ist cc?
  5. Der Graph von y=log⁡4(x−5)+3y = \log_{ 4 }(x - 5) + 3 hat die senkrechte Asymptote x=cx = c. Wie groß ist cc?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Der Graph von y=log⁡4(x−6)+1y = \log_{ 4 }(x - 6) + 1 hat die senkrechte Asymptote x=cx = c. Wie groß ist cc?
  2. Der Graph von y=log⁡2(x−4)+8y = \log_{ 2 }(x - 4) + 8 hat die senkrechte Asymptote x=cx = c. Wie groß ist cc?
  3. Der Graph von y=log⁡2(x−9)+3y = \log_{ 2 }(x - 9) + 3 hat die senkrechte Asymptote x=cx = c. Wie groß ist cc?

Merkkarte

Asymptoten nach Verschiebungen

  • y=a⋅bx+ky = a \cdot b^{x} + k: waagrechte Asymptote y=ky = k.
  • y=log⁡b(x−h)+ky = \log_b(x - h) + k: senkrechte Asymptote x=hx = h, Definitionsmenge x>hx > h.

4. Was ist ein Logarithmus? Logarithmen als Exponenten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Hier ist ein Teil einer Tabelle von Zehnerpotenzen: 100=110^0 = 1, 101=1010^1 = 10, 102=10010^2 = 100, 103=100010^3 = 1000.

Löse 10x=100010^x = 1000. Versuche nun 10x=5010^x = 50: Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt xx?

Die Grundidee

Ein Logarithmus ist ein Exponent. log⁡bx\log_b x beantwortet die Frage: „Mit welcher Hochzahl muss man bb potenzieren, um xx zu erhalten?“

log⁡bx=y  ⟺  by=x\log_b x = y \iff b^y = x (mit b>0b > 0, b≠1b \neq 1, x>0x > 0)

Ohne Basis bedeutet log⁡x\log x dasselbe wie log⁡10x\log_{10} x. Die Lösung von 10x=5010^x = 50 ist also x=log⁡50≈1,7x = \log 50 \approx 1{,}7.

Beispiel

Berechne log⁡232\log_2 32.

2y=322^{y} = 32
Frage: 2 hoch was ergibt 32?
y=5y = 5
2⁵ = 32.
log⁡232=5\log_2 32 = 5
Der Logarithmus ist also 5.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne log⁡381\log_3 81. Ergänze die fehlende Zeile.

3y=813^{y} = 81
Frage: 3 hoch was ergibt 81?
log⁡381=4\log_3 81 = 4
3⁴ = 81.

Üben ★

  1. Berechne log⁡416\log_{ 4 } 16.
  2. Berechne log⁡525\log_{ 5 } 25.
  3. Berechne log⁡4256\log_{ 4 } 256.
  4. Berechne log⁡464\log_{ 4 } 64.
  5. Berechne log⁡28\log_{ 2 } 8.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ordne jeder Logarithmus-Aussage dieselbe Aussage als Potenz zu.
    1. log⁡8y=2\log_{ 8 } y = 2
    2. log⁡8y=3\log_{ 8 } y = 3
    3. log⁡8y=−1\log_{ 8 } y = -1
    4. log⁡8y=12\log_{ 8 } y = \tfrac{1}{2}
    1. y=82y = 8^{2}
    2. y=83y = 8^{3}
    3. y=18y = \dfrac{1}{ 8 }
    4. y=8y = \sqrt{ 8 }
  2. Ordne jeder Logarithmus-Aussage dieselbe Aussage als Potenz zu.
    1. log⁡3y=2\log_{ 3 } y = 2
    2. log⁡3y=3\log_{ 3 } y = 3
    3. log⁡3y=−1\log_{ 3 } y = -1
    4. log⁡3y=12\log_{ 3 } y = \tfrac{1}{2}
    1. y=32y = 3^{2}
    2. y=33y = 3^{3}
    3. y=13y = \dfrac{1}{ 3 }
    4. y=3y = \sqrt{ 3 }
  1. Löse 6x=216^x = 21. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  2. Löse 7x=167^x = 16. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  3. Löse 2x=312^x = 31. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  4. Löse 7x=157^x = 15. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  5. Löse 2x=372^x = 37. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse 6x=216^x = 21. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  2. Löse 7x=167^x = 16. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.
  3. Löse 2x=312^x = 31. Gib die exakte Lösung mit einem Logarithmus an.

Merkkarte

Logarithmen sind Exponenten

  • log⁡bx=y\log_b x = y bedeutet by=xb^y = x.
  • log⁡x\log x bedeutet log⁡10x\log_{10} x.
  • Die Lösung von bx=cb^x = c ist x=log⁡bcx = \log_b c.

Achtung: log⁡bx\log_b x ist nie x:bx : b.

5. Logarithmengesetze: Produkt-, Quotienten- und Potenzregel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Nutze, dass log⁡2x\log_2 x der Exponent zur Basis 2 ist. Vergleiche log⁡24+log⁡28\log_2 4 + \log_2 8 mit log⁡232\log_2 32.

Warum sind sie gleich? Tipp: 4⋅8=324 \cdot 8 = 32 und 22⋅23=22+32^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3}.

Die Grundidee

Logarithmen machen aus Multiplikation Addition, weil sich beim Multiplizieren von Potenzen die Exponenten addieren.

log⁡b(MN)=log⁡bM+log⁡bN\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N; log⁡bMN=log⁡bM−log⁡bN\log_b \dfrac{M}{N} = \log_b M - \log_b N; log⁡b(Mp)=p⋅log⁡bM\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Das gilt für M>0M > 0 und N>0N > 0.

Beispiel

Berechne log⁡64+log⁡69\log_6 4 + \log_6 9 ohne Taschenrechner.

=log⁡6(4⋅9)= \log_6(4 \cdot 9)
Produktregel.

Warum stimmt die erste Zeile?

  1. Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen
  2. Man darf im Logarithmus addieren
  3. Die Logarithmen werden multipliziert

=log⁡636= \log_6 36
4 · 9 = 36.
=2= 2
6² = 36.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 2log⁡36−log⁡342\log_3 6 - \log_3 4. Ergänze die fehlende Zeile.

=log⁡336−log⁡34= \log_3 36 - \log_3 4
Potenzregel: 2 log₃ 6 = log₃ 36.
=log⁡39= \log_3 9
Quotientenregel: 36 : 4 = 9.
=2= 2
3² = 9.

Üben ★

  1. Welcher Term ist gleich log⁡8(2⋅7)\log_{ 8 }(2 \cdot 7)?
    1. log⁡82+log⁡87\log_{ 8 } 2 + \log_{ 8 } 7
    2. log⁡82⋅log⁡87\log_{ 8 } 2 \cdot \log_{ 8 } 7
    3. log⁡8(2+7)\log_{ 8 }(2 + 7)
    4. 7⋅log⁡82 7 \cdot \log_{ 8 } 2
  2. Welcher Term ist gleich log⁡7(4⋅9)\log_{ 7 }(4 \cdot 9)?
    1. log⁡74+log⁡79\log_{ 7 } 4 + \log_{ 7 } 9
    2. log⁡74⋅log⁡79\log_{ 7 } 4 \cdot \log_{ 7 } 9
    3. log⁡7(4+9)\log_{ 7 }(4 + 9)
    4. 9⋅log⁡74 9 \cdot \log_{ 7 } 4
  3. Welcher Term ist gleich log⁡7(5⋅3)\log_{ 7 }(5 \cdot 3)?
    1. log⁡75+log⁡73\log_{ 7 } 5 + \log_{ 7 } 3
    2. log⁡75⋅log⁡73\log_{ 7 } 5 \cdot \log_{ 7 } 3
    3. log⁡7(5+3)\log_{ 7 }(5 + 3)
    4. 3⋅log⁡75 3 \cdot \log_{ 7 } 5
  1. Berechne log⁡1020+log⁡105\log_{ 10 } 20 + \log_{ 10 } 5 ohne Taschenrechner.
  2. Berechne log⁡1040+log⁡1025\log_{ 10 } 40 + \log_{ 10 } 25 ohne Taschenrechner.
  3. Berechne log⁡1050+log⁡1020\log_{ 10 } 50 + \log_{ 10 } 20 ohne Taschenrechner.
  4. Berechne log⁡1025+log⁡104\log_{ 10 } 25 + \log_{ 10 } 4 ohne Taschenrechner.
  5. Berechne log⁡612+log⁡618\log_{ 6 } 12 + \log_{ 6 } 18 ohne Taschenrechner.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne 2log⁡26−log⁡292\log_{ 2 } 6 - \log_{ 2 } 9 ohne Taschenrechner.
  2. Berechne 2log⁡36−log⁡342\log_{ 3 } 6 - \log_{ 3 } 4 ohne Taschenrechner.
  3. Berechne 2log⁡515−log⁡592\log_{ 5 } 15 - \log_{ 5 } 9 ohne Taschenrechner.
  4. Berechne 2log⁡318−log⁡3122\log_{ 3 } 18 - \log_{ 3 } 12 ohne Taschenrechner.
  5. Berechne 2log⁡315−log⁡3752\log_{ 3 } 15 - \log_{ 3 } 75 ohne Taschenrechner.
  1. Schreibe log⁡3x+2log⁡34\log_{ 3 } x + 2\log_{ 3 } 4 als einen einzigen Logarithmus.
  2. Schreibe log⁡6x+2log⁡65\log_{ 6 } x + 2\log_{ 6 } 5 als einen einzigen Logarithmus.
  3. Schreibe log⁡7x+2log⁡74\log_{ 7 } x + 2\log_{ 7 } 4 als einen einzigen Logarithmus.
  1. Zerlege log⁡8(x4y5)\log_{ 8 }\left(\dfrac{x^{ 4 }}{y^{ 5 }}\right): Schreibe ihn nur mit Logarithmen von xx und yy.
  2. Zerlege log⁡5(x5y3)\log_{ 5 }\left(\dfrac{x^{ 5 }}{y^{ 3 }}\right): Schreibe ihn nur mit Logarithmen von xx und yy.
  3. Zerlege log⁡8(x2y5)\log_{ 8 }\left(\dfrac{x^{ 2 }}{y^{ 5 }}\right): Schreibe ihn nur mit Logarithmen von xx und yy.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 2log⁡26−log⁡292\log_{ 2 } 6 - \log_{ 2 } 9 ohne Taschenrechner.
  2. Berechne 2log⁡36−log⁡342\log_{ 3 } 6 - \log_{ 3 } 4 ohne Taschenrechner.
  3. Berechne 2log⁡515−log⁡592\log_{ 5 } 15 - \log_{ 5 } 9 ohne Taschenrechner.

Merkkarte

Rechenregeln für Logarithmen (M,N>0M, N > 0)

  • Produkt: log⁡b(MN)=log⁡bM+log⁡bN\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N.
  • Quotient: log⁡bMN=log⁡bM−log⁡bN\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N.
  • Potenz: log⁡b(Mp)=p⋅log⁡bM\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M.

Achtung: Für log⁡b(M+N)\log_b(M + N) gibt es keine Regel.

6. Exponentialgleichungen mit beliebiger Basis mithilfe von Logarithmen lösen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

2x=82^x = 8 löst du im Kopf. Und 2x=72^x = 7?

Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen liegt die Lösung? Wie könnten Logarithmen sie genau liefern?

Die Grundidee

So löst du a⋅bx=ca \cdot b^x = c: die Potenz freistellen, auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden und die Potenzregel nutzen.

bx=k  ⟺  x=ln⁡kln⁡b=log⁡klog⁡bb^x = k \iff x = \dfrac{\ln k}{\ln b} = \dfrac{\log k}{\log b} (für k>0k > 0)

Beispiel

Löse 3⋅2x=213 \cdot 2^x = 21.

2x=72^x = 7
Beide Seiten durch 3 teilen, um die Potenz freizustellen.
xln⁡2=ln⁡7x \ln 2 = \ln 7
Auf beiden Seiten logarithmieren; Potenzregel.
x=ln⁡7ln⁡2≈2,81x = \dfrac{\ln 7}{\ln 2} \approx 2{,}81
Durch ln 2 teilen.

Bringe die Schritte zum Lösen von a⋅bx=ca \cdot b^x = c in die richtige Reihenfolge.

  1. Potenzregel anwenden: xln⁡b=ln⁡cax \ln b = \ln \frac{c}{a}
  2. Durch ln⁡b\ln b teilen
  3. Auf beiden Seiten logarithmieren
  4. Beide Seiten durch aa teilen

Du bist dran

Jetzt du: Löse 5x=125^x = 12. Ergänze die fehlende Zeile.

xln⁡5=ln⁡12x \ln 5 = \ln 12
Auf beiden Seiten logarithmieren; Potenzregel.
x=ln⁡12ln⁡5x = \dfrac{\ln 12}{\ln 5}
Durch ln 5 teilen.

Üben ★

  1. Löse 6x=356^x = 35. Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.
  2. Löse 2x=102^x = 10. Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.
  3. Löse 7x=367^x = 36. Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.
  4. Löse 4x=204^x = 20. Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.
  5. Löse 2x=172^x = 17. Gib die exakte Lösung mit natürlichen Logarithmen an.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse 2⋅3x=482\cdot 3^x = 48. Gib die exakte Lösung an.
  2. Löse 6⋅4x=906\cdot 4^x = 90. Gib die exakte Lösung an.
  3. Löse 4⋅4x=304\cdot 4^x = 30. Gib die exakte Lösung an.
  4. Löse 6⋅5x=506\cdot 5^x = 50. Gib die exakte Lösung an.
  5. Löse 2⋅4x=722\cdot 4^x = 72. Gib die exakte Lösung an.
  1. Löse 4⋅2x=654\cdot 2^x = 65 Schritt für Schritt.
  2. Löse 3⋅5x=633\cdot 5^x = 63 Schritt für Schritt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse 2⋅3x=482\cdot 3^x = 48. Gib die exakte Lösung an.
  2. Löse 6⋅4x=906\cdot 4^x = 90. Gib die exakte Lösung an.
  3. Löse 4⋅4x=304\cdot 4^x = 30. Gib die exakte Lösung an.

Merkkarte

a⋅bx=ca \cdot b^x = c lösen

  1. Potenz freistellen: bx=cab^x = \dfrac{c}{a}.
  2. Logarithmieren: xln⁡b=ln⁡cax \ln b = \ln \dfrac{c}{a}.
  3. Teilen: x=ln⁡(c/a)ln⁡bx = \dfrac{\ln(c/a)}{\ln b}.

Achtung: aa nie in die Basis hineinmultiplizieren.

7. Exponentielle Modelle: Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Arzt gibt einem Patienten 80 mg eines Medikaments. Alle 6 Stunden verlässt die Hälfte des Rests den Körper.

Wie viel ist nach 6 Stunden übrig? Nach 12? Nach 24? Wird die Menge jemals 0?

Die Grundidee

Die Halbwertszeit hh ist die Zeit, in der sich eine Menge halbiert; die Verdopplungszeit dd die Zeit, in der sie sich verdoppelt.

Halbwertszeit hh: A(t)=A0⋅(12)thA(t) = A_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h}}. Verdopplungszeit dd: P(t)=P0⋅2tdP(t) = P_0 \cdot 2^{\frac{t}{d}}

Der Exponent th\frac{t}{h} zählt, wie viele Halbwertszeiten vergangen sind.

Beispiel

Eine Probe von 80 mg hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Wie viel ist nach 15 Jahren übrig?

155=3\dfrac{15}{5} = 3 Halbwertszeiten
Halbwertszeiten zählen.
A=80⋅(12)3A = 80 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^3
Dreimal halbieren.
A=10A = 10 mg
80 : 8 = 10.

Du bist dran

Jetzt du: 96 mg, Halbwertszeit 2 Stunden. Wie viel ist nach 8 Stunden übrig? Ergänze die fehlende Zeile.

A=96⋅(12)4A = 96 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^4
8 : 2 = 4 Halbwertszeiten.
A=6A = 6 mg
96 : 16 = 6.

Üben ★

  1. Eine Probe von 64 mg eines radioaktiven Stoffs hat eine Halbwertszeit von 2 Jahren. Wie viele mg sind nach 6 Jahren übrig?
  2. Eine Probe von 64 mg eines radioaktiven Stoffs hat eine Halbwertszeit von 3 Jahren. Wie viele mg sind nach 9 Jahren übrig?
  3. Eine Probe von 96 mg eines radioaktiven Stoffs hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Wie viele mg sind nach 20 Jahren übrig?
  4. Eine Probe von 320 mg eines radioaktiven Stoffs hat eine Halbwertszeit von 10 Jahren. Wie viele mg sind nach 40 Jahren übrig?
  5. Eine Probe von 320 mg eines radioaktiven Stoffs hat eine Halbwertszeit von 2 Jahren. Wie viele mg sind nach 10 Jahren übrig?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Probe von 200 mg hat eine Halbwertszeit von 2 Jahren. Wie viel ist nach 8 Jahren übrig? Runde auf 2 Nachkommastellen.
  2. Eine Probe von 100 mg hat eine Halbwertszeit von 3 Jahren. Wie viel ist nach 11 Jahren übrig? Runde auf 2 Nachkommastellen.
  3. Eine Probe von 400 mg hat eine Halbwertszeit von 3 Jahren. Wie viel ist nach 4 Jahren übrig? Runde auf 2 Nachkommastellen.
  4. Eine Probe von 200 mg hat eine Halbwertszeit von 3 Jahren. Wie viel ist nach 10 Jahren übrig? Runde auf 2 Nachkommastellen.
  5. Eine Probe von 100 mg hat eine Halbwertszeit von 4 Jahren. Wie viel ist nach 11 Jahren übrig? Runde auf 2 Nachkommastellen.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Eine Dosis von 200 mg eines Medikaments hat eine Halbwertszeit von 2 Stunden. Gib die Menge A(t)A(t) in mg nach tt Stunden an.
  2. Eine Dosis von 50 mg eines Medikaments hat eine Halbwertszeit von 3 Stunden. Gib die Menge A(t)A(t) in mg nach tt Stunden an.
  3. Eine Dosis von 500 mg eines Medikaments hat eine Halbwertszeit von 4 Stunden. Gib die Menge A(t)A(t) in mg nach tt Stunden an.

Merkkarte

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

  • Halbwertszeit hh: A0⋅(12)thA_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h}}. Verdopplungszeit dd: P0⋅2tdP_0 \cdot 2^{\frac{t}{d}}.
  • th\frac{t}{h} = Anzahl der Halbwertszeiten.

Achtung: nn Halbwertszeiten teilen durch 2n2^n, nicht durch 2n2n.

Lösungen: Exponentielles Wachstum und Logarithmus

1. Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme: Multiplizieren mit einem konstanten Faktor

A

  1. 20,80,32020, 80, 320
  2. 4,8,164, 8, 16

B

  1. 189189
  2. 160160
  3. 729729
  4. 1875018750
  5. 4040

C

  1. 8000(35)t8000 \left(\frac{3}{5}\right)^{t}
  2. 2000(710)t2000 \left(\frac{7}{10}\right)^{t}
  3. 2000(34)t2000 \left(\frac{3}{4}\right)^{t}
  4. 8000(910)t8000 \left(\frac{9}{10}\right)^{t}
  5. 4000(710)t4000 \left(\frac{7}{10}\right)^{t}

D

  1. 8000(35)t8000 \left(\frac{3}{5}\right)^{t}
  2. 2000(710)t2000 \left(\frac{7}{10}\right)^{t}
  3. 2000(34)t2000 \left(\frac{3}{4}\right)^{t}

2. Linear oder exponentiell: gleiche Differenzen oder gleiche Faktoren

A

  1. Exponentiell: yy wird bei jedem Schritt mit 3 multipliziert
  2. Exponentiell: yy wird bei jedem Schritt mit 3 multipliziert

B

  1. 7272

C

  1. gg: Exponentielles Wachstum überholt lineares Wachstum schließlich
  2. gg: Exponentielles Wachstum überholt lineares Wachstum schließlich

D

  1. 7272
  2. 500500
  3. 135135

3. Asymptoten und Verschiebungen von Exponential- und Logarithmusgraphen

A

  1. 77
  2. 55
  3. 99
  4. 22
  5. 22

B

  1. y=2x+3y = 2^{x} + 3
  2. y=2x+1y = 2^{x} + 1

C

  1. 66
  2. 44
  3. 99
  4. 99
  5. 55

D

  1. 66
  2. 44
  3. 99

4. Was ist ein Logarithmus? Logarithmen als Exponenten

A

  1. 22
  2. 22
  3. 44
  4. 33
  5. 33

B

  1. log⁡8y=2\log_{ 8 } y = 2 → y=82y = 8^{2} · log⁡8y=3\log_{ 8 } y = 3 → y=83y = 8^{3} · log⁡8y=−1\log_{ 8 } y = -1 → y=18y = \dfrac{1}{ 8 } · log⁡8y=12\log_{ 8 } y = \tfrac{1}{2} → y=8y = \sqrt{ 8 }
  2. log⁡3y=2\log_{ 3 } y = 2 → y=32y = 3^{2} · log⁡3y=3\log_{ 3 } y = 3 → y=33y = 3^{3} · log⁡3y=−1\log_{ 3 } y = -1 → y=13y = \dfrac{1}{ 3 } · log⁡3y=12\log_{ 3 } y = \tfrac{1}{2} → y=3y = \sqrt{ 3 }

C

  1. ln⁡(21)ln⁡(6)\frac{\ln{\left(21 \right)}}{\ln{\left(6 \right)}}
  2. ln⁡(16)ln⁡(7)\frac{\ln{\left(16 \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}
  3. ln⁡(31)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(31 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}
  4. ln⁡(15)ln⁡(7)\frac{\ln{\left(15 \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}
  5. ln⁡(37)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(37 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}

D

  1. ln⁡(21)ln⁡(6)\frac{\ln{\left(21 \right)}}{\ln{\left(6 \right)}}
  2. ln⁡(16)ln⁡(7)\frac{\ln{\left(16 \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}
  3. ln⁡(31)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(31 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}

5. Logarithmengesetze: Produkt-, Quotienten- und Potenzregel

A

  1. log⁡82+log⁡87\log_{ 8 } 2 + \log_{ 8 } 7
  2. log⁡74+log⁡79\log_{ 7 } 4 + \log_{ 7 } 9
  3. log⁡75+log⁡73\log_{ 7 } 5 + \log_{ 7 } 3

B

  1. 22
  2. 33
  3. 33
  4. 22
  5. 33

C

  1. 22
  2. 22
  3. 22
  4. 33
  5. 11

D

  1. ln⁡(16x)ln⁡(3)\frac{\ln{\left(16 x \right)}}{\ln{\left(3 \right)}}
  2. ln⁡(25x)ln⁡(6)\frac{\ln{\left(25 x \right)}}{\ln{\left(6 \right)}}
  3. ln⁡(16x)ln⁡(7)\frac{\ln{\left(16 x \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}

E

  1. 4ln⁡(x)ln⁡(8)−5ln⁡(y)ln⁡(8)\frac{4 \ln{\left(x \right)}}{\ln{\left(8 \right)}} - \frac{5 \ln{\left(y \right)}}{\ln{\left(8 \right)}}
  2. 5ln⁡(x)ln⁡(5)−3ln⁡(y)ln⁡(5)\frac{5 \ln{\left(x \right)}}{\ln{\left(5 \right)}} - \frac{3 \ln{\left(y \right)}}{\ln{\left(5 \right)}}
  3. 2ln⁡(x)ln⁡(8)−5ln⁡(y)ln⁡(8)\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{\ln{\left(8 \right)}} - \frac{5 \ln{\left(y \right)}}{\ln{\left(8 \right)}}

F

  1. 22
  2. 22
  3. 22

6. Exponentialgleichungen mit beliebiger Basis mithilfe von Logarithmen lösen

A

  1. ln⁡(35)ln⁡(6)\frac{\ln{\left(35 \right)}}{\ln{\left(6 \right)}}
  2. ln⁡(10)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(10 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}
  3. ln⁡(36)ln⁡(7)\frac{\ln{\left(36 \right)}}{\ln{\left(7 \right)}}
  4. ln⁡(20)ln⁡(4)\frac{\ln{\left(20 \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}
  5. ln⁡(17)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(17 \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}

B

  1. ln⁡(24)ln⁡(3)\frac{\ln{\left(24 \right)}}{\ln{\left(3 \right)}}
  2. ln⁡(15)ln⁡(4)\frac{\ln{\left(15 \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}
  3. ln⁡(152)ln⁡(4)\frac{\ln{\left(\frac{15}{2} \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}
  4. ln⁡(253)ln⁡(5)\frac{\ln{\left(\frac{25}{3} \right)}}{\ln{\left(5 \right)}}
  5. ln⁡(36)ln⁡(4)\frac{\ln{\left(36 \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}

C

  1. ln⁡(654)ln⁡(2)\frac{\ln{\left(\frac{65}{4} \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}
  2. ln⁡(21)ln⁡(5)\frac{\ln{\left(21 \right)}}{\ln{\left(5 \right)}}

D

  1. ln⁡(24)ln⁡(3)\frac{\ln{\left(24 \right)}}{\ln{\left(3 \right)}}
  2. ln⁡(15)ln⁡(4)\frac{\ln{\left(15 \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}
  3. ln⁡(152)ln⁡(4)\frac{\ln{\left(\frac{15}{2} \right)}}{\ln{\left(4 \right)}}

7. Exponentielle Modelle: Halbwertszeit und Verdopplungszeit

A

  1. 88
  2. 88
  3. 66
  4. 2020
  5. 1010

B

  1. 252\frac{25}{2} mg
  2. 25234\frac{25 \sqrt[3]{2}}{4} mg
  3. 100⋅223100 \cdot 2^{\frac{2}{3}} mg
  4. 25⋅2232\frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2} mg
  5. 25242\frac{25 \sqrt[4]{2}}{2} mg

C

  1. 200⋅2−t2200 \cdot 2^{- \frac{t}{2}}
  2. 50⋅2−t350 \cdot 2^{- \frac{t}{3}}
  3. 500⋅2−t4500 \cdot 2^{- \frac{t}{4}}