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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Nullstellen von Polynomen und ihre Vielfachheit

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$p(x) = (x - 2)(x + 3)$ . Für welche $x$ ist $p(x) = 0$ ?

$x = 2$ und $x = -3$
$x = 2$ und $x = 3$

Die Grundidee

Ein Produkt ist null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Das liefert die Nullstellen eines faktorisierten Terms.

Der Faktor

(x - r)^m

ergibt die Nullstelle

r

mit der Vielfachheit

m

. Ist

m

ungerade, schneidet der Graph die

x

-Achse bei

r

; ist

m

gerade, berührt er sie und kehrt um.

Beispiel

Beschreibe die Nullstellen von $p(x) = (x - 1)^2(x + 4)$ .

x = 1

, Vielfachheit 2: Der Graph berührt die Achse

x − 1 = 0, und der Faktor ist quadriert.

x = -4

, Vielfachheit 1: Der Graph schneidet sie

x + 4 = 0, der Faktor kommt einmal vor.

Du bist dran

Jetzt du: $p(x) = (x + 5)^3(x - 2)$ .

x = 2

, Vielfachheit 1

x − 2 = 0, einmal: Der Graph schneidet.

x = -5

, Vielfachheit 3: Der Graph schneidet

x + 5 = 0: Gib die Nullstelle ein.

Üben ★

Bestimme alle Nullstellen von $p(x) = (x - 4)(x + 2)^2$ .
Bestimme alle Nullstellen von $p(x) = (x - 5)(x + 1)^2$ .
Bestimme alle Nullstellen von $p(x) = (x - 9)(x + 1)^2$ .
Bestimme alle Nullstellen von $p(x) = (x - 3)(x + 1)^2$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$p(x) = (x - 4)^2(x + 9)$ . Was macht der Graph von $p$ bei $x = 4$ ?
1. Er berührt die x-Achse und kehrt um
2. Er schneidet die x-Achse
3. Er erreicht die x-Achse nicht
$p(x) = (x - 5)^2(x + 1)$ . Was macht der Graph von $p$ bei $x = 5$ ?
1. Er berührt die x-Achse und kehrt um
2. Er schneidet die x-Achse
3. Er erreicht die x-Achse nicht
$p(x) = (x - 7)^2(x + 4)$ . Was macht der Graph von $p$ bei $x = 7$ ?
1. Er berührt die x-Achse und kehrt um
2. Er schneidet die x-Achse
3. Er erreicht die x-Achse nicht

Welche Zahlen sind Nullstellen von $p(x) = x(x - 9)(x + 7)$ ? Kreuze alle an.
1. $0$
2. $9$
3. $-7$
4. $-9$
5. $7$
Welche Zahlen sind Nullstellen von $p(x) = x(x - 2)(x + 4)$ ? Kreuze alle an.
1. $0$
2. $2$
3. $-4$
4. $-2$
5. $4$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme alle Nullstellen von $p(x) = (x - 4)(x + 2)^2$ .
Bestimme alle Nullstellen von $p(x) = (x - 5)(x + 1)^2$ .
Bestimme alle Nullstellen von $p(x) = (x - 9)(x + 1)^2$ .

Merkkarte

Nullstellen und Vielfachheit

$(x - r)$ ergibt die Nullstelle $r$ ; $(x + q)$ ergibt die Nullstelle $-q$ .
Ungerade Vielfachheit: Der Graph schneidet. Gerade: Er berührt und kehrt um.

Achtung: Auf das Vorzeichen achten: $x + 3 = 0$ bedeutet $x = -3$ .

2. Randverhalten und biquadratische Gleichungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ sieht schwierig aus. Setze $u = x^2$ . Welche Gleichung entsteht?

$x^4 = (x^2)^2 = u^2$ $x^{4} = (x^{2})^{2} = u^{2}$ . Das ist eine quadratische Gleichung." data-option="1"> $u^2 - 5u + 4 = 0$
$u = x^2$ $u = x^{2}$ ist $x^4 = u^2$ , nicht $u^4$ ." data-option="2"> $u^4 - 5u^2 + 4 = 0$

Die Grundidee

Zwei Werkzeuge für ganzrationale Funktionen: die höchste Potenz fürs Verhalten am Rand, die Substitution für biquadratische Gleichungen.

Randverhalten: Für $x \to \pm\infty$ bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz $a_nx^n$ das Verhalten. Gerader Grad: beide Enden gleich gerichtet; ungerader Grad: entgegengesetzt. Das Vorzeichen von $a_n$ entscheidet, welche Richtung.

Biquadratische Gleichung $ax^4 + bx^2 + c = 0$ : Setze $u = x^2$ , löse $au^2 + bu + c = 0$ und substituiere zurück: Aus $u > 0$ wird $x = \pm\sqrt{u}$ ; $u < 0$ liefert keine Lösung.

Beispiel

Löse $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

u^2 - 5u + 4 = 0

Substitution u = x².

(u - 1)(u - 4) = 0

, also

u = 1

oder

u = 4

Faktorisieren.

x = \pm 1

oder

x = \pm 2

Rücksubstitution.

Du bist dran

Jetzt du: Löse $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ . Die Werte von $u$ sind 1 und 9. Wie groß ist die größte Lösung $x$ ?

x = \pm 3

x² = 9.

3

Größte Lösung.

Üben ★

Löse $x^4 - 40x^2 + 144 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?
Löse $x^4 - 34x^2 + 225 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?

Für $x^4 - 37x^2 + 36 = 0$ setzt man $u = x^2$ . Wie groß ist der größere Wert von $u$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Wie viele reelle Lösungen hat $x^4 + 5x^2 + 2 = 0$ ?
1. Keine: Für alle $x$ ist der Term positiv
2. Vier
3. Zwei

Wie verhält sich $f(x) = -5x^3 + 3x^2 + 5$ am Rand?
1. Für $x \to +\infty$ geht $f(x) \to -\infty$ , für $x \to -\infty$ geht $f(x) \to +\infty$
2. Für $x \to +\infty$ geht $f(x) \to +\infty$ , für $x \to -\infty$ geht $f(x) \to -\infty$
3. Für $x \to \pm\infty$ geht $f(x) \to +\infty$

Abschlussaufgabe. Löse $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $x^4 - 40x^2 + 144 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?
Löse $x^4 - 34x^2 + 225 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?
Löse $x^4 - 26x^2 + 25 = 0$ . Wie groß ist die größte Lösung?

Merkkarte

Randverhalten und Substitution

Die höchste Potenz bestimmt das Verhalten am Rand.
Grad und Vorzeichen von $a_n$ ablesen.
Biquadratisch: $u = x^2$ .

Achtung: Zurücksubstituieren; negatives $u$ liefert keine Lösung.

3. Gerade und ungerade Funktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$f(x) = x^2$ . Wie verhält sich $f(-3)$ zu $f(3)$ ?

Sie sind gleich
Sie sind Gegenzahlen

Die Grundidee

Zwei besondere Symmetrien.

Der Graph von $f$ (mit einer zu 0 symmetrischen Definitionsmenge) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn $f(-x) = f(x)$ gilt.

Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt.

Beispiel

$f(x) = x^3 - x$ . Untersuche die Symmetrie.

f(-x) = -x^3 + x

Ausrechnen.

f(-x) = -f(x)

: punktsymmetrisch zum Ursprung.

Vergleichen.

Du bist dran

Jetzt du: Der Graph von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung und $f(2) = 5$ . Wie groß ist $f(-2)$ ?

-5

Gegenzahl.

Üben ★

Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(7) = 7$ . Wie groß ist $f(-7)$ ?
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(8) = 3$ . Wie groß ist $f(-8)$ ?
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(2) = 4$ . Wie groß ist $f(-2)$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Der Graph der Funktion $f(x) = 7x^3$ ist:
1. punktsymmetrisch zum Ursprung
2. achsensymmetrisch zur y-Achse
3. weder noch
Der Graph der Funktion $f(x) = 2x^3$ ist:
1. punktsymmetrisch zum Ursprung
2. achsensymmetrisch zur y-Achse
3. weder noch

Der Graph von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung und $f(5) = 3$ . Wie groß ist $f(-5)$ ?

Welche Symmetrie hat der Graph, wenn $f(-x) = f(x)$ für alle $x$ gilt?
1. Achsensymmetrie zur y-Achse
2. Punktsymmetrie zum Ursprung
3. Achsensymmetrie zur x-Achse

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(7) = 7$ . Wie groß ist $f(-7)$ ?
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(8) = 3$ . Wie groß ist $f(-8)$ ?
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(2) = 4$ . Wie groß ist $f(-2)$ ?

Merkkarte

Symmetrie

Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$ .
Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$ .

Achtung: Viele Graphen haben keine dieser Symmetrien.

Lösungen: Ganzrationale Funktionen

1. Nullstellen von Polynomen und ihre Vielfachheit

$4,\ -2$
$5,\ -1$
$9,\ -1$
$3,\ -1$

Er berührt die x-Achse und kehrt um
Er berührt die x-Achse und kehrt um
Er berührt die x-Achse und kehrt um

$0$ · $9$ · $-7$
$0$ · $2$ · $-4$

$4,\ -2$
$5,\ -1$
$9,\ -1$

2. Randverhalten und biquadratische Gleichungen

$36$

Keine: Für alle $x$ ist der Term positiv

Für $x \to +\infty$ geht $f(x) \to -\infty$ , für $x \to -\infty$ geht $f(x) \to +\infty$

3. Gerade und ungerade Funktionen

punktsymmetrisch zum Ursprung
punktsymmetrisch zum Ursprung

$-3$

Achsensymmetrie zur y-Achse