Rotationskörper und Prinzip von Cavalieri

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Rechteck mit den Seiten 3 cm und 5 cm dreht sich um seine 5 cm lange Seite. Welcher Körper entsteht?

Nicht maßstabsgetreu

Ein Zylinder mit $r = 3$ cm und $h = 5$ cm
Ein Zylinder mit $r = 5$ cm und $h = 3$ cm

Die Grundidee

Dreht man eine ebene Figur um eine Achse, entsteht ein Rotationskörper.

Rotationskörper: Ein Rechteck erzeugt einen Zylinder, ein rechtwinkliges Dreieck (Drehung um eine Kathete) einen Kegel, ein Halbkreis (Drehung um den Durchmesser) eine Kugel.

Prinzip von Cavalieri: Haben zwei Körper in jeder Höhe gleich große Querschnittsflächen und dieselbe Höhe, so haben sie dasselbe Volumen. Deshalb gilt $V = G \cdot h$ auch für schiefe Prismen und Zylinder und $V = \dfrac{1}{3}Gh$ für schiefe Pyramiden und Kegel.

Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm dreht sich um die 4 cm lange Kathete.

h = 4

cm,

r = 3

cm

Die Kathete auf der Achse ist die Höhe.

V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4

Kegelvolumen.

V = 12\pi

cm³

Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: Ein schiefer Zylinder hat die Grundfläche 20 cm² und die Höhe 7 cm. Wie groß ist sein Volumen in cm³?

V = 20 \cdot 7

Cavalieri: wie der gerade Zylinder.

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Volumen.

Üben ★

Ein Rechteck mit den Seiten 9 cm und 6 cm dreht sich um die 6 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).
Ein Rechteck mit den Seiten 2 cm und 6 cm dreht sich um die 6 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 7 cm und 9 cm dreht sich um die 9 cm lange Kathete. Berechne das Volumen in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Halbkreis dreht sich um seinen Durchmesser. Welcher Körper entsteht?
1. Eine Kugel
2. Ein Zylinder
3. Ein Kegel

Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche 35 cm² und die Höhe 2 cm. Wie groß ist sein Volumen in cm³?

Abschlussaufgabe. Eine Figur aus einem Rechteck und einem aufgesetzten rechtwinkligen Dreieck dreht sich um die Achse: Es entsteht ein Zylinder (Radius 6 cm, Höhe 8 cm) mit einem aufgesetzten Kegel (Radius 6 cm, Höhe 9 cm). Gib exakte Werte in cm³ an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ein Rechteck mit den Seiten 9 cm und 6 cm dreht sich um die 6 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).
Ein Rechteck mit den Seiten 2 cm und 6 cm dreht sich um die 6 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).
Ein Rechteck mit den Seiten 4 cm und 5 cm dreht sich um die 5 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).

Merkkarte

Rotationskörper und Cavalieri

Rechteck → Zylinder, Dreieck → Kegel, Halbkreis → Kugel.
Die Seite auf der Achse ist die Höhe.
Gleiche Querschnitte, gleiche Höhe: gleiches Volumen.

Achtung: Schief ändert das Volumen nicht.

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