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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Mit Lösungen

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1. Oberflächeninhalt von Prismen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Um eine Schachtel einzupacken, musst du sie außen ganz bedecken. Welche Größe ist das?

Der Oberflächeninhalt
Das Volumen

Nicht maßstabsgetreu

Drehe und kippe die Schachtel. Zähle ihre Flächen, auch die verdeckten.

6 Flächen, in 3 gleichen Paaren
4 Flächen: die an den Seiten

Die Grundidee

Der Oberflächeninhalt addiert die Flächen.

Der Oberflächeninhalt eines Prismas ist die Summe aller Flächeninhalte: zwei Grundflächen plus die Rechtecke des Mantels (Umfang der Grundfläche mal Höhe). Quader:

O = 2(ab + ac + bc)

. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe, in Raumeinheiten.

Beispiel

Ein Quader mit den Kanten 5, 3 und 2.

Nicht maßstabsgetreu

2(15 + 10 + 6)

Flächenpaare.

62

Flächeneinheiten

Addieren.

Du bist dran

Jetzt du: der Oberflächeninhalt eines Würfels mit Kante 3.

54

6 · 9.

Üben ★

Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 6 cm, 9 cm und 5 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 7 cm, 3 cm und 7 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu

Bestimme den Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kante 10 cm (cm²).

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Prisma hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 cm und die Höhe 7 cm. Bestimme seinen Oberflächeninhalt (cm²).Nicht maßstabsgetreu
Ein Prisma hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 9, 12 und 15 cm und die Höhe 2 cm. Bestimme seinen Oberflächeninhalt (cm²).Nicht maßstabsgetreu

Abschlussaufgabe. Eine Geschenkschachtel ist 6 cm lang, 4 cm breit und 5 cm hoch.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 6 cm, 9 cm und 5 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 7 cm, 3 cm und 7 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 8 cm, 2 cm und 3 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Oberflächeninhalt

Die Flächeninhalte aller Flächen addieren (Flächeneinheiten).

Achtung: Bedecken ist Fläche, Füllen ist Volumen.

2. Volumen von Pyramiden und Kegeln

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Kegel und ein Zylinder haben dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe. Wie viele Kegel Wasser braucht man, um den Zylinder zu füllen?

Nicht maßstabsgetreu

Die Grundidee

Spitze Körper fassen ein Drittel.

Für Pyramide und Kegel gilt

V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h

(Grundfläche mal Höhe, davon ein Drittel). Kegel:

V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h

Beispiel

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, Seite 6 m und Höhe 10 m.

G = 36

Grundfläche.

V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 10 = 120

m³

Ein Drittel von G · h.

Du bist dran

Jetzt du: ein Kegel mit Radius 3 und Höhe 4 (mit $\pi$ ).

12\pi

(1/3) · 9π · 4.

Üben ★

Berechne das Volumen eines Kegels mit Radius 6 cm und Höhe 6 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen eines Kegels mit Radius 6 cm und Höhe 12 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu

Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seite 4 m und die Höhe 15 m. Berechne ihr Volumen (m³).Nicht maßstabsgetreu

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Kegel und ein Zylinder haben denselben Radius 5 und dieselbe Höhe. Welcher Bruchteil des Zylindervolumens ist der Kegel?
Ein Kegel und ein Zylinder haben denselben Radius 6 und dieselbe Höhe. Welcher Bruchteil des Zylindervolumens ist der Kegel?

Abschlussaufgabe. Eine Eistüte hat den Radius 3 cm und die Höhe 8 cm; darauf sitzt eine Halbkugel Eis mit demselben Radius. Gib exakte Werte mit $\pi$ an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne das Volumen eines Kegels mit Radius 6 cm und Höhe 6 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen eines Kegels mit Radius 6 cm und Höhe 12 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen eines Kegels mit Radius 4 cm und Höhe 9 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Pyramiden und Kegel

$V = \dfrac{1}{3} G h$ .
Kegel: $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$ .

Achtung: Das Drittel nicht vergessen.

3. Kugelvolumen; Dichte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Kugel mit Radius $r$ passt genau in einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $2r$ . Sie füllt $\dfrac{2}{3}$ davon. Wie groß ist ihr Volumen?

Nicht maßstabsgetreu

$\dfrac{4}{3}\pi r^3$
$4\pi r^2$

Die Grundidee

Die Kugel.

Eine Kugel mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$ besteht aus allen Punkten mit Abstand höchstens $r$ von $M$ ; ihre Oberfläche aus denen mit Abstand genau $r$ . Volumen: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ . Oberflächeninhalt: $O = 4\pi r^2$ . Eine Ebene schneidet eine Kugel in einem Kreis.

Dichte = Masse : Volumen.

Beispiel

Eine Stahlkugel mit Radius 3 cm und der Dichte 7,8 g/cm³.

V = 36\pi \approx 113{,}1

cm³

(4/3)π · 27.

m \approx 7{,}8 \cdot 113{,}1 \approx 882

Masse = Dichte · Volumen.

Du bist dran

Jetzt du: eine Masse von 200 g bei einem Volumen von 50 cm³. Wie groß ist die Dichte?

4

g/cm³

200 : 50.

Üben ★

Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 5 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 9 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu

Ein Block hat die Masse 526 g und das Volumen 27 cm³. Berechne seine Dichte (in g/cm³).

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne das Volumen einer Halbkugel mit Radius 3 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).
Berechne das Volumen einer Halbkugel mit Radius 5 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).

Abschlussaufgabe. Eine massive Metallkugel hat den Radius 7 cm. Das Metall hat die Dichte 6 g/cm³.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 5 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 9 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu
Berechne das Volumen einer Kugel mit Radius 8 cm (exakter Wert, mit $\pi$ ).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Kugel

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Dichte = Masse : Volumen.

Achtung: $r^3$ beim Volumen, $r^2$ bei der Oberfläche.

4. Rotationskörper und Prinzip von Cavalieri

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Rechteck mit den Seiten 3 cm und 5 cm dreht sich um seine 5 cm lange Seite. Welcher Körper entsteht?

Nicht maßstabsgetreu

Ein Zylinder mit $r = 3$ cm und $h = 5$ cm
Ein Zylinder mit $r = 5$ cm und $h = 3$ cm

Die Grundidee

Dreht man eine ebene Figur um eine Achse, entsteht ein Rotationskörper.

Rotationskörper: Ein Rechteck erzeugt einen Zylinder, ein rechtwinkliges Dreieck (Drehung um eine Kathete) einen Kegel, ein Halbkreis (Drehung um den Durchmesser) eine Kugel.

Prinzip von Cavalieri: Haben zwei Körper in jeder Höhe gleich große Querschnittsflächen und dieselbe Höhe, so haben sie dasselbe Volumen. Deshalb gilt $V = G \cdot h$ auch für schiefe Prismen und Zylinder und $V = \dfrac{1}{3}Gh$ für schiefe Pyramiden und Kegel.

Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm dreht sich um die 4 cm lange Kathete.

h = 4

cm,

r = 3

Die Kathete auf der Achse ist die Höhe.

V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4

Kegelvolumen.

V = 12\pi

cm³

Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: Ein schiefer Zylinder hat die Grundfläche 20 cm² und die Höhe 7 cm. Wie groß ist sein Volumen in cm³?

V = 20 \cdot 7

Cavalieri: wie der gerade Zylinder.

140

Volumen.

Üben ★

Ein Rechteck mit den Seiten 9 cm und 6 cm dreht sich um die 6 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).
Ein Rechteck mit den Seiten 2 cm und 6 cm dreht sich um die 6 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 7 cm und 9 cm dreht sich um die 9 cm lange Kathete. Berechne das Volumen in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Halbkreis dreht sich um seinen Durchmesser. Welcher Körper entsteht?
1. Eine Kugel
2. Ein Zylinder
3. Ein Kegel

Ein schiefes Prisma hat die Grundfläche 35 cm² und die Höhe 2 cm. Wie groß ist sein Volumen in cm³?

Abschlussaufgabe. Eine Figur aus einem Rechteck und einem aufgesetzten rechtwinkligen Dreieck dreht sich um die Achse: Es entsteht ein Zylinder (Radius 6 cm, Höhe 8 cm) mit einem aufgesetzten Kegel (Radius 6 cm, Höhe 9 cm). Gib exakte Werte in cm³ an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ein Rechteck mit den Seiten 9 cm und 6 cm dreht sich um die 6 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).
Ein Rechteck mit den Seiten 2 cm und 6 cm dreht sich um die 6 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).
Ein Rechteck mit den Seiten 4 cm und 5 cm dreht sich um die 5 cm lange Seite. Berechne das Volumen des Körpers in cm³ (exakt, mit $\pi$ ).

Merkkarte

Rotationskörper und Cavalieri

Rechteck → Zylinder, Dreieck → Kegel, Halbkreis → Kugel.
Die Seite auf der Achse ist die Höhe.
Gleiche Querschnitte, gleiche Höhe: gleiches Volumen.

Achtung: Schief ändert das Volumen nicht.

Lösungen: Raumgeometrie

1. Oberflächeninhalt von Prismen

$258$
$182$

$600$

$96$
$180$

$124$

$258$
$182$
$92$

2. Volumen von Pyramiden und Kegeln

$72 \pi$
$144 \pi$

$80$

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{3}$

$42 \pi$

$72 \pi$
$144 \pi$
$48 \pi$

3. Kugelvolumen; Dichte

$\frac{500 \pi}{3}$
$972 \pi$

$\frac{526}{27}$

$18 \pi$
$\frac{250 \pi}{3}$

$1372 \pi$

$\frac{500 \pi}{3}$
$972 \pi$
$\frac{2048 \pi}{3}$

4. Rotationskörper und Prinzip von Cavalieri

$486 \pi$
$24 \pi$

$147 \pi$

Eine Kugel

$70$

$396 \pi$

$486 \pi$
$24 \pi$
$80 \pi$