Phasenverschiebung und sinusförmige Modelle

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$y = \sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$ verwendet dieselbe Welle wie $y = \sin x$ . Wo schneidet sie für $x \geq 0$ zum ersten Mal ihre Mittellinie aufsteigend?

Bei $x = \dfrac{\pi}{2}$
Bei $x = -\dfrac{\pi}{2}$

Die Grundidee

Eine Sinuskurve lässt sich auch seitlich verschieben.

y = a\sin\big(b(x - c)\big) + d

ist um

c

nach rechts verschoben (Phasenverschiebung). In der Form

\sin(bx - e)

klammert man zuerst

b

aus: Die Verschiebung ist

\dfrac{e}{b}

.

Um einen Vorgang zu modellieren, liest man $a$ , $d$ und die Periode aus den Daten ab; dann ist $b = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}$ .

Beispiel

Bestimme die Phasenverschiebung von $y = \cos(3x - \pi)$ .

y = \cos\left(3\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)\right)

b = 3 ausklammern.

Verschiebung:

\dfrac{\pi}{3}

nach rechts

Die Form b(x − c).

Du bist dran

Jetzt du: $y = \sin(2x - 6)$ .

y = \sin\big(2(x - 3)\big)

2 ausklammern.

Verschiebung:

3

nach rechts

c in b(x − c).

Üben ★

Wie groß ist der größte Wert von $y = 5\sin x + 4$ ?
Wie groß ist der größte Wert von $y = 2\sin x + 9$ ?
Wie groß ist der größte Wert von $y = 6\sin x + 2$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Der Graph von $y = \cos(2x - 4)$ ist der nach rechts verschobene Graph von $y = \cos(2x)$ . Um wie viel?
Der Graph von $y = \cos(3x - 15)$ ist der nach rechts verschobene Graph von $y = \cos(3x)$ . Um wie viel?
Der Graph von $y = \cos(4x - 16)$ ist der nach rechts verschobene Graph von $y = \cos(4x)$ . Um wie viel?

Gib $y = a\sin(bx) + d$ mit $a, b > 0$ für eine Sinuskurve mit der Amplitude 2, der Periode $\frac{\pi}{2}$ und der Mittellinie $y = 9$ an.
Gib $y = a\sin(bx) + d$ mit $a, b > 0$ für eine Sinuskurve mit der Amplitude 2, der Periode $\frac{2 \pi}{3}$ und der Mittellinie $y = 6$ an.
Gib $y = a\sin(bx) + d$ mit $a, b > 0$ für eine Sinuskurve mit der Amplitude 4, der Periode $\frac{2 \pi}{3}$ und der Mittellinie $y = 1$ an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Gib $y = a\sin(bx) + d$ mit $a, b > 0$ für eine Sinuskurve mit der Amplitude 2, der Periode $\frac{\pi}{2}$ und der Mittellinie $y = 9$ an.
Gib $y = a\sin(bx) + d$ mit $a, b > 0$ für eine Sinuskurve mit der Amplitude 2, der Periode $\frac{2 \pi}{3}$ und der Mittellinie $y = 6$ an.
Gib $y = a\sin(bx) + d$ mit $a, b > 0$ für eine Sinuskurve mit der Amplitude 4, der Periode $\frac{2 \pi}{3}$ und der Mittellinie $y = 1$ an.

Merkkarte

Phasenverschiebung und Modelle

$a\sin\big(b(x - c)\big) + d$ : um $c$ nach rechts.
$\sin(bx - e)$ : Verschiebung $\dfrac{e}{b}$ , nach dem Ausklammern von $b$ .
Modell: $a$ = halbe Schwankungsbreite, $d$ = Mittelwert, $b = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}$ .

Achtung: Erst $b$ ausklammern, dann die Verschiebung ablesen.

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