Sinus- und Kosinusfunktion

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Einheitskreis und Bogenmaß

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Der Einheitskreis hat den Radius 1. Wie lang ist der Halbkreis?

  1. π\pi
  2. 180180

Die Grundidee

Das Bogenmaß misst einen Winkel durch eine Bogenlänge.

Am Einheitskreis (Radius 1, gegen den Uhrzeigersinn) gehört zum Winkel xx im Bogenmaß ein Bogen der Länge xx. 180°180° entspricht π\pi.

Man „wickelt“ die Zahlengerade auf den Kreis: Zu jeder reellen Zahl xx gehört ein Punkt P(x)P(x). xx und x+2πx + 2\pi ergeben denselben Punkt.

Beispiel

Rechne 60°60° ins Bogenmaß um.

60°  =^  60180π60° \;\hat{=}\; \dfrac{60}{180}\pi
180° entspricht π.
π3\dfrac{\pi}{3}
Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: 90°90° im Bogenmaß, ausgedrückt mit π\pi?

π2\dfrac{\pi}{2}
Die Hälfte von π.

Üben ★

  1. Rechne 90°90° ins Bogenmaß um.
  2. Rechne 60°60° ins Bogenmaß um.
  3. Rechne 45°45° ins Bogenmaß um.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Der Punkt P(x)P(x) fällt mit P(x+2π)P\left(x + 2\pi\right) zusammen. Wie viele volle Umdrehungen liegen zwischen diesen beiden Werten?
  2. Der Punkt P(x)P(x) fällt mit P(x+8π)P\left(x + 8\pi\right) zusammen. Wie viele volle Umdrehungen liegen zwischen diesen beiden Werten?
  1. Rechne π3\dfrac{\pi}{ 3 } ins Gradmaß um.
  1. Wie lang ist auf einem Kreis mit dem Radius 7 der Bogen zum Winkel 2 (im Bogenmaß)?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Rechne 90°90° ins Bogenmaß um.
  2. Rechne 60°60° ins Bogenmaß um.
  3. Rechne 45°45° ins Bogenmaß um.

Merkkarte

Bogenmaß

  • 180°180° entspricht π\pi.
  • xx und x+2πx + 2\pi: derselbe Punkt.

Achtung: Den Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) stellen.

2. Bogenmaß und Bogenlänge

Entdecken

Lege einen Faden, der so lang ist wie der Radius, auf den Rand eines Kreises. Der Winkel, den er am Mittelpunkt einschließt, ist bei jedem Kreis gleich. Wie viele solcher Winkel ergeben eine halbe Drehung?

  1. Etwa 3,14, also π\pi
  2. 180

Die Grundidee

Der Winkel, dessen Bogen so lang ist wie der Radius, hat im Bogenmaß die Größe 1.

180∘180^\circ entspricht π\pi. Gradmaß ins Bogenmaß: mal π180\dfrac{\pi}{180}. Bogenmaß ins Gradmaß: mal 180π\dfrac{180}{\pi}. Bogenlänge: b=r⋅xb = r \cdot x, mit xx im Bogenmaß.

Beispiel

Rechne 135∘135^\circ ins Bogenmaß um und bestimme den zugehörigen Bogen auf einem Kreis mit dem Radius 4 cm.

135⋅π180=3π4135 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}
Mal π/180.
b=4⋅3π4=3πb = 4 \cdot \dfrac{3\pi}{4} = 3\pi cm
b = r · x, x im Bogenmaß.

Du bist dran

Jetzt du: Rechne 5π6\dfrac{5\pi}{6} ins Gradmaß um.

5⋅1806\dfrac{5 \cdot 180}{6}
π durch 180° ersetzen.
=150∘= 150^\circ
900 : 6.

Üben ★

  1. Rechne 225∘225^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.
  2. Rechne 330∘330^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.
  3. Rechne 300∘300^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.
  4. Rechne 30∘30^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.
  5. Rechne 180∘180^\circ ins Bogenmaß um. Gib den exakten Wert an.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Rechne π\pi ins Gradmaß um.
  2. Rechne 5π4\frac{5 \pi}{4} ins Gradmaß um.
  3. Rechne 3π3 \pi ins Gradmaß um.
  1. Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 3π4\frac{3 \pi}{4}? Gib den exakten Wert in cm an.
  2. Ein Kreis hat den Radius 8 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 2π3\frac{2 \pi}{3}? Gib den exakten Wert in cm an.
  3. Ein Kreis hat den Radius 12 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 5π6\frac{5 \pi}{6}? Gib den exakten Wert in cm an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 3π4\frac{3 \pi}{4}? Gib den exakten Wert in cm an.
  2. Ein Kreis hat den Radius 8 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 2π3\frac{2 \pi}{3}? Gib den exakten Wert in cm an.
  3. Ein Kreis hat den Radius 12 cm. Wie lang ist der Bogen zum Mittelpunktswinkel 5π6\frac{5 \pi}{6}? Gib den exakten Wert in cm an.

Merkkarte

Bogenmaß

  • 180∘180^\circ entspricht π\pi.
  • Grad → Bogenmaß: ⋅π180\cdot \dfrac{\pi}{180}. Bogenmaß → Grad: ⋅180π\cdot \dfrac{180}{\pi}.
  • Bogenlänge: b=r⋅xb = r \cdot x, xx im Bogenmaß.

Achtung: Nie Grad in b=r⋅xb = r \cdot x einsetzen.

3. Sinus und Kosinus am Einheitskreis: besondere Winkel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Starte auf dem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung bei (1∣0)(1|0) und drehe um den Winkel α\alpha. Du erreichst einen Punkt. Welcher ist es bei α=π2\alpha = \dfrac{\pi}{2}?

  1. (0∣1)(0|1)
  2. (1∣0)(1|0)

Die Grundidee

Der Einheitskreis hat den Radius 1. Die Drehung um α\alpha von (1∣0)(1|0) aus führt zu einem Punkt, den man mit Sinus und Kosinus benennt.

Der Punkt zum Winkel α\alpha ist (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha): Der Kosinus ist die xx-Koordinate, der Sinus die yy-Koordinate. Besondere Winkel: cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}; cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Beispiel

Bestimme sin⁡π3\sin\dfrac{\pi}{3} und cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3}.

Der Punkt ist (12|32)\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
π/3 entspricht 60°: Der Punkt liegt hoch und nah an der y-Achse.
cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}
Der Kosinus ist die x-Koordinate.
sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
Der Sinus ist die y-Koordinate.

Du bist dran

Jetzt du: α=π6\alpha = \dfrac{\pi}{6}.

Der Punkt ist (32|12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right)
π/6 entspricht 30°: Der Punkt liegt tief und weit rechts.
sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}
Die y-Koordinate.

Üben ★

  1. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(π6)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(π3)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(π2)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right).
  4. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(0)\cos\left(0\right).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π2)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π6)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π3)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right).
  4. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(0)\sin\left(0\right).
  1. Ordne jedem Winkel seinen Punkt (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha) am Einheitskreis zu.
    1. π6\dfrac{\pi}{6}
    2. π4\dfrac{\pi}{4}
    3. π3\dfrac{\pi}{3}
    4. π2\dfrac{\pi}{2}
    1. (32|12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right)
    2. (22|22)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
    3. (12|32)\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
    4. (0∣1)(0|1)

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π2)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π6)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von sin⁡(π3)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right).

Merkkarte

Der Einheitskreis

  • Der Punkt zum Winkel α\alpha ist (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha).
  • π6\dfrac{\pi}{6}: (32|12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right); π4\dfrac{\pi}{4}: (22|22)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right); π3\dfrac{\pi}{3}: (12|32)\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Achtung: Kosinus ist xx, Sinus ist yy.

4. Kosinus und Sinus einer reellen Zahl

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Der Punkt P(x)P(x) hat die Koordinaten (cos⁡x∣sin⁡x)(\cos x|\sin x). Wie groß ist cos⁡0\cos 0?

  1. 11
  2. 00

Die Grundidee

Der Einheitskreis legt Sinus und Kosinus für jede reelle Zahl fest.

P(x)P(x) hat die x-Koordinate cos⁡x\cos x und die y-Koordinate sin⁡x\sin x. Also gilt (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1, und beide Werte liegen zwischen −1-1 und 11.

cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}; cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Außerdem: cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x und sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x.

Beispiel

Berechne cos⁡2π3\cos\dfrac{2\pi}{3}.

cos⁡(π−π3)\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right)
2π/3 = π − π/3.
−cos⁡π3=−12-\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}
Spiegelung an der y-Achse.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist sin⁡π2\sin\dfrac{\pi}{2}?

11
Punkt (0|1).

Üben ★

  1. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  2. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  3. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Es gilt cos⁡x=35\cos x = \dfrac{3}{5} und sin⁡x>0\sin x > 0. Berechne sin⁡x\sin x.
  1. Abschlussaufgabe. Der Punkt P(π−π4)P\left(\pi - \dfrac{\pi}{ 4 }\right) wird am Einheitskreis eingezeichnet.
  1. Wie groß ist cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3}?
    1. 12\dfrac{1}{2}
    2. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
    3. 0
  1. Es gilt (sin⁡x)2=0,3(\sin x)^2 = 0{,}3. Wie groß ist (cos⁡x)2(\cos x)^2?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  2. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  3. Für welchen Wert gilt cos⁡x=0\cos x = 0 und sin⁡x=1\sin x = 1?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Merkkarte

Kosinus und Sinus

  • P(x)=(cos⁡x∣sin⁡x)P(x) = (\cos x|\sin x).
  • (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1.

Achtung: Den Punkt immer am Kreis einzeichnen.

5. Bezugswinkel und Vorzeichen in den Quadranten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Der Punkt bei 150∘150^\circ ist das Spiegelbild des Punkts bei 30∘30^\circ an der yy-Achse. Wie groß ist cos⁡150∘\cos 150^\circ?

  1. −32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Die Grundidee

Jeder Winkel hat einen Bezugswinkel: den spitzen Winkel zwischen seinem Schenkel und der xx-Achse.

sin⁡\sin und cos⁡\cos eines Winkels haben denselben Betrag wie beim Bezugswinkel; der Quadrant bestimmt das Vorzeichen. I. Quadrant: beide positiv. II.: sin⁡>0\sin > 0, cos⁡<0\cos < 0. III.: beide negativ. IV.: sin⁡<0\sin < 0, cos⁡>0\cos > 0.

Beispiel

Bestimme sin⁡225∘\sin 225^\circ.

III. Quadrant
225° liegt zwischen 180° und 270°.
Bezugswinkel: 225∘−180∘=45∘225^\circ - 180^\circ = 45^\circ
Von 180° aus messen.
sin⁡225∘=−22\sin 225^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
sin 45° = √2/2, und der Sinus ist im III. Quadranten negativ.

Du bist dran

Jetzt du: cos⁡300∘\cos 300^\circ.

Bezugswinkel: 360∘−300∘=60∘360^\circ - 300^\circ = 60^\circ
300° liegt zwischen 270° und 360°: IV. Quadrant.
cos⁡300∘=12\cos 300^\circ = \dfrac{1}{2}
cos 60° = 1/2, und der Kosinus ist im IV. Quadranten positiv.

Üben ★

  1. Wie groß ist der Bezugswinkel von 200∘200^\circ in Grad?
  2. Wie groß ist der Bezugswinkel von 240∘240^\circ in Grad?
  3. Wie groß ist der Bezugswinkel von 250∘250^\circ in Grad?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(5π4)\cos\left(\frac{5 \pi}{4}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(4π3)\cos\left(\frac{4 \pi}{3}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(2π3)\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right).
  4. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(7π4)\cos\left(\frac{7 \pi}{4}\right).
  1. In welchem Quadranten gilt sin⁡α<0\sin\alpha < 0 und cos⁡α>0\cos\alpha > 0?
    1. II. Quadrant
    2. III. Quadrant
    3. IV. Quadrant

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(5π4)\cos\left(\frac{5 \pi}{4}\right).
  2. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(4π3)\cos\left(\frac{4 \pi}{3}\right).
  3. Bestimme den exakten Wert von cos⁡(2π3)\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right).

Merkkarte

Bezugswinkel

  1. Den Quadranten bestimmen.
  2. Bezugswinkel: spitzer Winkel zur xx-Achse (180∘−α180^\circ - \alpha, α−180∘\alpha - 180^\circ oder 360∘−α360^\circ - \alpha).
  3. Wert des Bezugswinkels mit dem Vorzeichen des Quadranten.

Achtung: Der Kosinus ist links negativ (II, III), der Sinus unten (III, IV).

6. Sinus- und Kosinusfunktion: Symmetrie, Periode, Graphen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Am Einheitskreis liegen die Punkte zu xx und zu −x-x symmetrisch zur x-Achse. Was folgt für cos⁡(−x)\cos(-x)?

  1. cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x
  2. cos⁡(−x)=−cos⁡x\cos(-x) = -\cos x

Die Grundidee

Der Einheitskreis zeigt die Symmetrien der beiden Graphen.

Periodizität: sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x und cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x. Beide Funktionen haben die Periode 2π2\pi.

Symmetrie: cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x: Der Graph des Kosinus ist achsensymmetrisch zur y-Achse. sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x: Der Graph des Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiel

Berechne sin⁡(13π6)\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right).

13π6=π6+2π\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi
13π/6 = π/6 + 2π.
sin⁡(13π6)=sin⁡π6\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}
Der Sinus hat die Periode 2π.
sin⁡(13π6)=12\sin\left(\dfrac{13\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}
Besonderer Wert.

Du bist dran

Jetzt du: Es ist sin⁡π2=1\sin\dfrac{\pi}{2} = 1. Wie groß ist sin⁡(−π2)\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)?

−1-1
Der Sinus ist punktsymmetrisch.

Üben ★

  1. Es gilt sin⁡a=0,9\sin a = 0{,}9. Wie groß ist sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a)?
  2. Es gilt sin⁡a=0,4\sin a = 0{,}4. Wie groß ist sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a)?
  3. Es gilt sin⁡a=0,8\sin a = 0{,}8. Wie groß ist sin⁡(a+2π)+sin⁡(−a)\sin(a + 2\pi) + \sin(-a)?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ist der Graph von f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  2. Ist der Graph von f(x)=6cos⁡xf(x) = 6\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  3. Ist der Graph von f(x)=8cos⁡xf(x) = 8\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  1. Es gilt cos⁡x=0,1\cos x = 0{,}1. Wie groß ist cos⁡(x+2π)\cos(x + 2\pi)?
  1. Es gilt cos⁡a=0,2\cos a = 0{,}2. Wie groß ist cos⁡(−a)\cos(-a)?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ist der Graph von f(x)=3cos⁡xf(x) = 3\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  2. Ist der Graph von f(x)=6cos⁡xf(x) = 6\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden
  3. Ist der Graph von f(x)=8cos⁡xf(x) = 8\cos x achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
    1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
    2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
    3. Keins von beiden

Merkkarte

Sinus und Kosinus

  • Periode 2π2\pi.
  • Kosinus achsensymmetrisch, Sinus punktsymmetrisch.
  • Werte zwischen −1-1 und 11.

Achtung: Symmetrie betrifft −x-x, Periodizität betrifft x+2πx + 2\pi.

7. Sinuskurven: Amplitude, Periode, Mittellinie

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Bewege die Regler und beobachte den Graphen von y=asin⁡(bx)+ky = a\sin(bx) + k.

Der Graph von y = a sin(bx) + k: eine Welle um die Gerade y = k, a Einheiten hoch, die sich schneller wiederholt, wenn b wächst.

Was passiert mit den Wellen, wenn bb von 1 auf 2 wächst?

  1. Sie werden halb so breit
  2. Sie werden doppelt so hoch
  3. Sie werden doppelt so breit

Die Grundidee

y=asin⁡(bx)+dy = a\sin(bx) + d und y=acos⁡(bx)+dy = a\cos(bx) + d sind Wellen.

Amplitude ∣a∣|a|: die Höhe über der Mittellinie. Mittellinie y=dy = d. Periode 2πb\dfrac{2\pi}{b} (für b>0b > 0): die Länge einer Schwingung. Maximum d+∣a∣d + |a|, Minimum d−∣a∣d - |a|.

Beispiel

Beschreibe y=3sin⁡(2x)+1y = 3\sin(2x) + 1.

Amplitude: 33
Die Zahl vor sin.
Mittellinie: y=1y = 1
Die addierte Zahl.
Periode: 2π2=π\dfrac{2\pi}{2} = \pi
2π geteilt durch b = 2.
Wertemenge: von −2-2 bis 44
Mittellinie ± Amplitude.

Du bist dran

Jetzt du: y=5cos⁡(4x)−2y = 5\cos(4x) - 2.

Amplitude: 55, Mittellinie y=−2y = -2
Vor cos.
Periode: π2\dfrac{\pi}{2}
2π : 4.

Üben ★

  1. Wie groß ist die Amplitude von y=2sin⁡(5x)+1y = 2\sin(5x) + 1?
  2. Wie groß ist die Amplitude von y=4sin⁡(5x)+3y = 4\sin(5x) + 3?
  3. Wie groß ist die Amplitude von y=4sin⁡(2x)+7y = 4\sin(2x) + 7?
  4. Wie groß ist die Amplitude von y=6sin⁡(3x)+8y = 6\sin(3x) + 8?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie groß ist die Periode von y=sin⁡(6x)y = \sin(6x)?
  2. Wie groß ist die Periode von y=sin⁡(5x)y = \sin(5x)?
  3. Wie groß ist die Periode von y=sin⁡(3x)y = \sin(3x)?
  1. Wie lautet die Mittellinie von y=9cos⁡x−4y = 9\cos x - 4?
    1. y=−4y = -4
    2. y=4y = 4
    3. y=9y = 9
  2. Wie lautet die Mittellinie von y=8cos⁡x−9y = 8\cos x - 9?
    1. y=−9y = -9
    2. y=9y = 9
    3. y=8y = 8

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist die Periode von y=sin⁡(6x)y = \sin(6x)?
  2. Wie groß ist die Periode von y=sin⁡(5x)y = \sin(5x)?
  3. Wie groß ist die Periode von y=sin⁡(3x)y = \sin(3x)?

Merkkarte

Sinuskurven y=asin⁡(bx)+dy = a\sin(bx) + d

  • Amplitude ∣a∣|a|, Mittellinie y=dy = d.
  • Periode 2πb\dfrac{2\pi}{b}.
  • Maximum d+∣a∣d + |a|, Minimum d−∣a∣d - |a|.

Achtung: Ein größeres bb bedeutet eine kürzere Periode.

8. Phasenverschiebung und sinusförmige Modelle

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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y=sin⁡(x−π2)y = \sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) verwendet dieselbe Welle wie y=sin⁡xy = \sin x. Wo schneidet sie für x≥0x \geq 0 zum ersten Mal ihre Mittellinie aufsteigend?

  1. Bei x=π2x = \dfrac{\pi}{2}
  2. Bei x=−π2x = -\dfrac{\pi}{2}

Die Grundidee

Eine Sinuskurve lässt sich auch seitlich verschieben.

y=asin⁡(b(x−c))+dy = a\sin\big(b(x - c)\big) + d ist um cc nach rechts verschoben (Phasenverschiebung). In der Form sin⁡(bx−e)\sin(bx - e) klammert man zuerst bb aus: Die Verschiebung ist eb\dfrac{e}{b}.

Um einen Vorgang zu modellieren, liest man aa, dd und die Periode aus den Daten ab; dann ist b=2πPeriodeb = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}.

Beispiel

Bestimme die Phasenverschiebung von y=cos⁡(3x−π)y = \cos(3x - \pi).

y=cos⁡(3(x−π3))y = \cos\left(3\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)\right)
b = 3 ausklammern.
Verschiebung: π3\dfrac{\pi}{3} nach rechts
Die Form b(x − c).

Du bist dran

Jetzt du: y=sin⁡(2x−6)y = \sin(2x - 6).

y=sin⁡(2(x−3))y = \sin\big(2(x - 3)\big)
2 ausklammern.
Verschiebung: 33 nach rechts
c in b(x − c).

Üben ★

  1. Wie groß ist der größte Wert von y=5sin⁡x+4y = 5\sin x + 4?
  2. Wie groß ist der größte Wert von y=2sin⁡x+9y = 2\sin x + 9?
  3. Wie groß ist der größte Wert von y=6sin⁡x+2y = 6\sin x + 2?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Der Graph von y=cos⁡(2x−4)y = \cos(2x - 4) ist der nach rechts verschobene Graph von y=cos⁡(2x)y = \cos(2x). Um wie viel?
  2. Der Graph von y=cos⁡(3x−15)y = \cos(3x - 15) ist der nach rechts verschobene Graph von y=cos⁡(3x)y = \cos(3x). Um wie viel?
  3. Der Graph von y=cos⁡(4x−16)y = \cos(4x - 16) ist der nach rechts verschobene Graph von y=cos⁡(4x)y = \cos(4x). Um wie viel?
  1. Gib y=asin⁡(bx)+dy = a\sin(bx) + d mit a,b>0a, b > 0 für eine Sinuskurve mit der Amplitude 2, der Periode π2\frac{\pi}{2} und der Mittellinie y=9y = 9 an.
  2. Gib y=asin⁡(bx)+dy = a\sin(bx) + d mit a,b>0a, b > 0 für eine Sinuskurve mit der Amplitude 2, der Periode 2π3\frac{2 \pi}{3} und der Mittellinie y=6y = 6 an.
  3. Gib y=asin⁡(bx)+dy = a\sin(bx) + d mit a,b>0a, b > 0 für eine Sinuskurve mit der Amplitude 4, der Periode 2π3\frac{2 \pi}{3} und der Mittellinie y=1y = 1 an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Gib y=asin⁡(bx)+dy = a\sin(bx) + d mit a,b>0a, b > 0 für eine Sinuskurve mit der Amplitude 2, der Periode π2\frac{\pi}{2} und der Mittellinie y=9y = 9 an.
  2. Gib y=asin⁡(bx)+dy = a\sin(bx) + d mit a,b>0a, b > 0 für eine Sinuskurve mit der Amplitude 2, der Periode 2π3\frac{2 \pi}{3} und der Mittellinie y=6y = 6 an.
  3. Gib y=asin⁡(bx)+dy = a\sin(bx) + d mit a,b>0a, b > 0 für eine Sinuskurve mit der Amplitude 4, der Periode 2π3\frac{2 \pi}{3} und der Mittellinie y=1y = 1 an.

Merkkarte

Phasenverschiebung und Modelle

  • asin⁡(b(x−c))+da\sin\big(b(x - c)\big) + d: um cc nach rechts.
  • sin⁡(bx−e)\sin(bx - e): Verschiebung eb\dfrac{e}{b}, nach dem Ausklammern von bb.
  • Modell: aa = halbe Schwankungsbreite, dd = Mittelwert, b=2πPeriodeb = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}.

Achtung: Erst bb ausklammern, dann die Verschiebung ablesen.

Lösungen: Sinus- und Kosinusfunktion

1. Einheitskreis und Bogenmaß

A

  1. π2\frac{\pi}{2}
  2. π3\frac{\pi}{3}
  3. π4\frac{\pi}{4}

B

  1. 11
  2. 44

C

  1. 6060

D

  1. 1414

E

  1. π2\frac{\pi}{2}
  2. π3\frac{\pi}{3}
  3. π4\frac{\pi}{4}

2. Bogenmaß und Bogenlänge

A

  1. 5π4\frac{5 \pi}{4}
  2. 11π6\frac{11 \pi}{6}
  3. 5π3\frac{5 \pi}{3}
  4. π6\frac{\pi}{6}
  5. π\pi

B

  1. 180180
  2. 225225
  3. 540540

C

  1. 3π3 \pi
  2. 16π3\frac{16 \pi}{3}
  3. 10π10 \pi

D

  1. 3π3 \pi
  2. 16π3\frac{16 \pi}{3}
  3. 10π10 \pi

3. Sinus und Kosinus am Einheitskreis: besondere Winkel

A

  1. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 00
  4. 11

B

  1. 11
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 32\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. 00

C

  1. π6\dfrac{\pi}{6} → (32|12)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right) · π4\dfrac{\pi}{4} → (22|22)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) · π3\dfrac{\pi}{3} → (12|32)\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) · π2\dfrac{\pi}{2} → (0∣1)(0|1)

D

  1. 11
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 32\frac{\sqrt{3}}{2}

4. Kosinus und Sinus einer reellen Zahl

A

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π2\dfrac{\pi}{2}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}

B

  1. 45\frac{4}{5}

C

  1. 00

D

  1. 12\dfrac{1}{2}

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π2\dfrac{\pi}{2}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}

5. Bezugswinkel und Vorzeichen in den Quadranten

A

  1. 2020
  2. 6060
  3. 7070

B

  1. −22- \frac{\sqrt{2}}{2}
  2. −12- \frac{1}{2}
  3. −12- \frac{1}{2}
  4. 22\frac{\sqrt{2}}{2}

C

  1. IV. Quadrant

D

  1. −22- \frac{\sqrt{2}}{2}
  2. −12- \frac{1}{2}
  3. −12- \frac{1}{2}

6. Sinus- und Kosinusfunktion: Symmetrie, Periode, Graphen

A

  1. 00
  2. 00
  3. 00

B

  1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
  2. Achsensymmetrisch zur y-Achse
  3. Achsensymmetrisch zur y-Achse

C

  1. 110\frac{1}{10}

D

  1. 15\frac{1}{5}

E

  1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
  2. Achsensymmetrisch zur y-Achse
  3. Achsensymmetrisch zur y-Achse

7. Sinuskurven: Amplitude, Periode, Mittellinie

A

  1. 22
  2. 44
  3. 44
  4. 66

B

  1. π3\frac{\pi}{3}
  2. 2π5\frac{2 \pi}{5}
  3. 2π3\frac{2 \pi}{3}

C

  1. y=−4y = -4
  2. y=−9y = -9

D

  1. π3\frac{\pi}{3}
  2. 2π5\frac{2 \pi}{5}
  3. 2π3\frac{2 \pi}{3}

8. Phasenverschiebung und sinusförmige Modelle

A

  1. 99
  2. 1111
  3. 88

B

  1. 22
  2. 55
  3. 44

C

  1. 2sin⁡(4x)+92 \sin{\left(4 x \right)} + 9
  2. 2sin⁡(3x)+62 \sin{\left(3 x \right)} + 6
  3. 4sin⁡(3x)+14 \sin{\left(3 x \right)} + 1

D

  1. 2sin⁡(4x)+92 \sin{\left(4 x \right)} + 9
  2. 2sin⁡(3x)+62 \sin{\left(3 x \right)} + 6
  3. 4sin⁡(3x)+14 \sin{\left(3 x \right)} + 1