Unabhängige aufeinanderfolgende Versuche und Baumdiagramme

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal „Zahl“?

$\dfrac{1}{4}$
$1$

Die Grundidee

Mehrstufige Zufallsexperimente stellt man mit einem Baumdiagramm dar.

1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads. 2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

Sind die Stufen unabhängig, hängen die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe nicht vom Ergebnis der ersten ab.

Beispiel

Man wählt eine Person aus; $A$ : „sie wohnt im Internat“, $P(A) = 0{,}4$ . Dann $B$ : „sie hat bestanden“, mit $P_A(B) = 0{,}5$ und $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}75$ . Berechne $P(B)$ .

0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2

Pfad über A.

0{,}6 \cdot 0{,}75 = 0{,}45

Pfad über Ā.

P(B) = 0{,}2 + 0{,}45 = 0{,}65

2. Pfadregel.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne mit demselben Baum $P_B(A)$ als Bruch.

\dfrac{4}{13}

P(A ∩ B) : P(B) = 0,2 : 0,65.

Üben ★

Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. $A$ hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 4 }$ , $B$ beim zweiten $\dfrac{1}{ 4 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst $A$ , dann $B$ .
Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. $A$ hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 6 }$ , $B$ beim zweiten $\dfrac{1}{ 3 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst $A$ , dann $B$ .
Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. $A$ hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 2 }$ , $B$ beim zweiten $\dfrac{1}{ 4 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst $A$ , dann $B$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$P(A) = \dfrac{ 4 }{5}$ , $P_A(B) = \dfrac{ 6 }{10}$ und $P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Berechne $P(B)$ .
$P(A) = \dfrac{ 3 }{5}$ , $P_A(B) = \dfrac{ 7 }{10}$ und $P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Berechne $P(B)$ .

Ein Zufallsexperiment, bei dem $A$ die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 2 }$ hat, wird dreimal unabhängig durchgeführt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, jedes Mal $A$ zu erhalten.

In einem Baumdiagramm ist $P(A) = \dfrac{ 3 }{5}$ und $P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}$ . Berechne $P(A \cap B)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. $A$ hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 4 }$ , $B$ beim zweiten $\dfrac{1}{ 4 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst $A$ , dann $B$ .
Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. $A$ hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 6 }$ , $B$ beim zweiten $\dfrac{1}{ 3 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst $A$ , dann $B$ .
Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. $A$ hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 2 }$ , $B$ beim zweiten $\dfrac{1}{ 4 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst $A$ , dann $B$ .

Merkkarte

Baumdiagramme

Entlang eines Pfads multiplizieren.
Die Pfade zum selben Ereignis addieren.

Achtung: Keinen Pfad doppelt zählen, keinen vergessen.

Über diese Lektion