Monte-Carlo-Methode

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 10 › Zusammengesetzte Zufallsexperimente

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Monte-Carlo-Methode

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Von 100 Zufallspunkten im Einheitsquadrat liegen 78 im Viertelkreis. Das Quadrat hat den Flächeninhalt 1. Wie groß ist der Flächeninhalt des Viertelkreises ungefähr?

  1. dfracpi4approx0,785\\dfrac{\\pi}{4} \\approx 0{,}785." data-option="1">Etwa 0,780{,}78
  2. Genau 0,780{,}78

Die Grundidee

Zufallspunkte können eine Fläche messen, die man schwer berechnen kann.

Monte-Carlo-Methode: Man wählt nn gleichmäßig verteilte Zufallspunkte in einer Vergleichsfläche AA und zählt die kk Treffer in der gesuchten Figur. Dann ist deren Flächeninhalt ungefähr kn⋅A\dfrac{k}{n} \cdot A.

Mit mehr Punkten wird die Schätzung im Allgemeinen genauer (Gesetz der großen Zahlen), bleibt aber eine Schätzung.

Beispiel

In einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 12 cm² liegen von 200 Zufallspunkten 150 in einer Figur.

150200=0,75\dfrac{150}{200} = 0{,}75
Der Trefferanteil.
0,75⋅12=90{,}75 \cdot 12 = 9
Anteil mal Vergleichsfläche.
Die Figur hat etwa 9 cm².
Eine Schätzung.

Du bist dran

Jetzt du: Im Einheitsquadrat liegen 80 von 100 Punkten im Viertelkreis. Schätze π\pi mit π4≈kn\dfrac{\pi}{4} \approx \dfrac{k}{n}.

π≈4⋅0,8\pi \approx 4 \cdot 0{,}8
Mit 4 multiplizieren.
3,23{,}2
Schätzwert.

Üben ★

  1. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm liegen von 100 Zufallspunkten 58 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².
  2. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 7 cm liegen von 100 Zufallspunkten 73 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².
  1. Im Einheitsquadrat liegen von 100 Zufallspunkten 71 im Viertelkreis mit Radius 1. Welchen Schätzwert für π\pi ergibt das?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Monte-Carlo-Schätzung mit 700 Punkten wird mit zehnmal so vielen Punkten wiederholt. Was ist zu erwarten?
    1. Die Schätzung ist im Allgemeinen genauer, aber nicht exakt
    2. Das Ergebnis ist jetzt exakt
    3. Es ändert sich nichts an der Genauigkeit
  1. Abschlussaufgabe. Um die Fläche unter einem Graphen zu schätzen, werden 200 Zufallspunkte in einem Rechteck mit den Seiten 4 und 2 erzeugt; 86 liegen unter dem Graphen.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm liegen von 100 Zufallspunkten 58 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².
  2. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 7 cm liegen von 100 Zufallspunkten 73 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².
  3. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm liegen von 100 Zufallspunkten 40 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².

Merkkarte

Monte-Carlo-Methode

  • Zufallspunkte in einer Vergleichsfläche AA.
  • Fläche ≈kn⋅A\approx \dfrac{k}{n} \cdot A.
  • Mehr Punkte: im Allgemeinen genauer.

Achtung: Das Ergebnis ist eine Schätzung.

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Lösungen: Monte-Carlo-Methode

A

  1. 5858
  2. 3577100\frac{3577}{100}

B

  1. 7125\frac{71}{25}

C

  1. Die Schätzung ist im Allgemeinen genauer, aber nicht exakt

D

  1. 8625\frac{86}{25}

E

  1. 5858
  2. 3577100\frac{3577}{100}
  3. 4040

CC BY-SA 4.0