Zusammengesetzte Zufallsexperimente

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Unabhängige aufeinanderfolgende Versuche und Baumdiagramme

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine faire Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal „Zahl“?

  1. 14\dfrac{1}{4}
  2. 11

Die Grundidee

Mehrstufige Zufallsexperimente stellt man mit einem Baumdiagramm dar.

1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads. 2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

Sind die Stufen unabhängig, hängen die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe nicht vom Ergebnis der ersten ab.

Beispiel

Man wählt eine Person aus; AA: „sie wohnt im Internat“, P(A)=0,4P(A) = 0{,}4. Dann BB: „sie hat bestanden“, mit PA(B)=0,5P_A(B) = 0{,}5 und PAˉ(B)=0,75P_{\bar{A}}(B) = 0{,}75. Berechne P(B)P(B).

0,4⋅0,5=0,20{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2
Pfad über A.
0,6⋅0,75=0,450{,}6 \cdot 0{,}75 = 0{,}45
Pfad über Ā.
P(B)=0,2+0,45=0,65P(B) = 0{,}2 + 0{,}45 = 0{,}65
2. Pfadregel.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne mit demselben Baum PB(A)P_B(A) als Bruch.

413\dfrac{4}{13}
P(A ∩ B) : P(B) = 0,2 : 0,65.

Üben ★

  1. Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. AA hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit 14\dfrac{1}{ 4 }, BB beim zweiten 14\dfrac{1}{ 4 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst AA, dann BB.
  2. Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. AA hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit 16\dfrac{1}{ 6 }, BB beim zweiten 13\dfrac{1}{ 3 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst AA, dann BB.
  3. Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. AA hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit 12\dfrac{1}{ 2 }, BB beim zweiten 14\dfrac{1}{ 4 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst AA, dann BB.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. P(A)=45P(A) = \dfrac{ 4 }{5}, PA(B)=610P_A(B) = \dfrac{ 6 }{10} und PAˉ(B)=410P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Berechne P(B)P(B).
  2. P(A)=35P(A) = \dfrac{ 3 }{5}, PA(B)=710P_A(B) = \dfrac{ 7 }{10} und PAˉ(B)=410P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Berechne P(B)P(B).
  1. Ein Zufallsexperiment, bei dem AA die Wahrscheinlichkeit 12\dfrac{1}{ 2 } hat, wird dreimal unabhängig durchgeführt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, jedes Mal AA zu erhalten.
  1. In einem Baumdiagramm ist P(A)=35P(A) = \dfrac{ 3 }{5} und PA(B)=410P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. AA hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit 14\dfrac{1}{ 4 }, BB beim zweiten 14\dfrac{1}{ 4 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst AA, dann BB.
  2. Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. AA hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit 16\dfrac{1}{ 6 }, BB beim zweiten 13\dfrac{1}{ 3 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst AA, dann BB.
  3. Zwei unabhängige Zufallsexperimente werden nacheinander ausgeführt. AA hat beim ersten die Wahrscheinlichkeit 12\dfrac{1}{ 2 }, BB beim zweiten 14\dfrac{1}{ 4 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit für erst AA, dann BB.

Merkkarte

Baumdiagramme

  • Entlang eines Pfads multiplizieren.
  • Die Pfade zum selben Ereignis addieren.

Achtung: Keinen Pfad doppelt zählen, keinen vergessen.

2. Relative Häufigkeit auf lange Sicht und Simulation

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine faire Münze zeigte bei 10 Würfen 7-mal „Kopf“. Was erwartest du bei 10 000 Würfen?

  1. Einen Anteil von „Kopf“ nahe 0,5
  2. Mehr „Zahl“ als „Kopf“, um die 7-mal „Kopf“ auszugleichen

Simuliere einige Male 10 Würfe, dann 1000. Was passiert mit dem Anteil von „Kopf“?

  1. Er nähert sich 0,5
  2. Er entfernt sich weiter von 0,5, um Serien auszugleichen

Die Grundidee

Wahrscheinlichkeit ist eine relative Häufigkeit auf lange Sicht.

Gesetz der großen Zahlen: Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses seiner Wahrscheinlichkeit. Unabhängige Versuche haben kein Gedächtnis. Eine Simulation ahmt ein Zufallsexperiment mit Zufallszahlen nach, um Wahrscheinlichkeiten zu schätzen.

Beispiel

Simuliere eine Wahrscheinlichkeit von 30 % mit Zufallsziffern.

0, 1, 2 bedeuten „Treffer“
Jede Ziffer hat die Wahrscheinlichkeit 0,1.
1000 Zufallsziffern ablesen; Treffer zählen
Oft wiederholen.
Etwa 300 Treffer zu erwarten
Relative Häufigkeit.

Du bist dran

Jetzt du: Wie viele Ziffern braucht man für eine Wahrscheinlichkeit von 60 %?

66
0,6 : 0,1.

Üben ★

  1. Eine faire Münze zeigt 7-mal hintereinander „Kopf“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim nächsten Wurf?
    1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
    2. Kleiner als 1/2: „Zahl“ ist fällig
    3. Größer als 1/2: „Kopf“ hat eine Glückssträhne
  1. Was bedeutet es, dass die Regenwahrscheinlichkeit für morgen 0,7 ist?
    1. An vielen Tagen wie morgen regnet es an etwa 70 % davon
    2. Es regnet 70 % des Tages
    3. Es regnet, wenn die Wahrscheinlichkeit über 0,5 liegt

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Freiwurf gelingt mit der Wahrscheinlichkeit 0,6. Wie viele der zehn Ziffern 0–9 sollen bei einer Simulation mit Zufallsziffern für „getroffen“ stehen?
  2. Ein Freiwurf gelingt mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Wie viele der zehn Ziffern 0–9 sollen bei einer Simulation mit Zufallsziffern für „getroffen“ stehen?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Eine faire Münze zeigt 7-mal hintereinander „Kopf“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim nächsten Wurf?
    1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
    2. Kleiner als 1/2: „Zahl“ ist fällig
    3. Größer als 1/2: „Kopf“ hat eine Glückssträhne
  2. Eine faire Münze zeigt 5-mal hintereinander „Kopf“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim nächsten Wurf?
    1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
    2. Kleiner als 1/2: „Zahl“ ist fällig
    3. Größer als 1/2: „Kopf“ hat eine Glückssträhne
  3. Eine faire Münze zeigt 10-mal hintereinander „Kopf“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim nächsten Wurf?
    1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
    2. Kleiner als 1/2: „Zahl“ ist fällig
    3. Größer als 1/2: „Kopf“ hat eine Glückssträhne

Merkkarte

Auf lange Sicht

  • Wahrscheinlichkeit = relative Häufigkeit auf lange Sicht.
  • Mit Zufallszahlen simulieren.

Achtung: kein Gedächtnis, keine „fälligen“ Ergebnisse.

3. Monte-Carlo-Methode

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Von 100 Zufallspunkten im Einheitsquadrat liegen 78 im Viertelkreis. Das Quadrat hat den Flächeninhalt 1. Wie groß ist der Flächeninhalt des Viertelkreises ungefähr?

  1. dfracpi4approx0,785\\dfrac{\\pi}{4} \\approx 0{,}785." data-option="1">Etwa 0,780{,}78
  2. Genau 0,780{,}78

Die Grundidee

Zufallspunkte können eine Fläche messen, die man schwer berechnen kann.

Monte-Carlo-Methode: Man wählt nn gleichmäßig verteilte Zufallspunkte in einer Vergleichsfläche AA und zählt die kk Treffer in der gesuchten Figur. Dann ist deren Flächeninhalt ungefähr kn⋅A\dfrac{k}{n} \cdot A.

Mit mehr Punkten wird die Schätzung im Allgemeinen genauer (Gesetz der großen Zahlen), bleibt aber eine Schätzung.

Beispiel

In einem Rechteck mit dem Flächeninhalt 12 cm² liegen von 200 Zufallspunkten 150 in einer Figur.

150200=0,75\dfrac{150}{200} = 0{,}75
Der Trefferanteil.
0,75⋅12=90{,}75 \cdot 12 = 9
Anteil mal Vergleichsfläche.
Die Figur hat etwa 9 cm².
Eine Schätzung.

Du bist dran

Jetzt du: Im Einheitsquadrat liegen 80 von 100 Punkten im Viertelkreis. Schätze π\pi mit π4≈kn\dfrac{\pi}{4} \approx \dfrac{k}{n}.

π≈4⋅0,8\pi \approx 4 \cdot 0{,}8
Mit 4 multiplizieren.
3,23{,}2
Schätzwert.

Üben ★

  1. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm liegen von 100 Zufallspunkten 58 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².
  2. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 7 cm liegen von 100 Zufallspunkten 73 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².
  1. Im Einheitsquadrat liegen von 100 Zufallspunkten 71 im Viertelkreis mit Radius 1. Welchen Schätzwert für π\pi ergibt das?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Monte-Carlo-Schätzung mit 700 Punkten wird mit zehnmal so vielen Punkten wiederholt. Was ist zu erwarten?
    1. Die Schätzung ist im Allgemeinen genauer, aber nicht exakt
    2. Das Ergebnis ist jetzt exakt
    3. Es ändert sich nichts an der Genauigkeit
  1. Abschlussaufgabe. Um die Fläche unter einem Graphen zu schätzen, werden 200 Zufallspunkte in einem Rechteck mit den Seiten 4 und 2 erzeugt; 86 liegen unter dem Graphen.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm liegen von 100 Zufallspunkten 58 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².
  2. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 7 cm liegen von 100 Zufallspunkten 73 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².
  3. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 10 cm liegen von 100 Zufallspunkten 40 in einer Figur. Schätze ihren Flächeninhalt in cm².

Merkkarte

Monte-Carlo-Methode

  • Zufallspunkte in einer Vergleichsfläche AA.
  • Fläche ≈kn⋅A\approx \dfrac{k}{n} \cdot A.
  • Mehr Punkte: im Allgemeinen genauer.

Achtung: Das Ergebnis ist eine Schätzung.

Lösungen: Zusammengesetzte Zufallsexperimente

1. Unabhängige aufeinanderfolgende Versuche und Baumdiagramme

A

  1. 116\frac{1}{16}
  2. 118\frac{1}{18}
  3. 18\frac{1}{8}

B

  1. 1425\frac{14}{25}
  2. 2950\frac{29}{50}

C

  1. 18\frac{1}{8}

D

  1. 625\frac{6}{25}

E

  1. 116\frac{1}{16}
  2. 118\frac{1}{18}
  3. 18\frac{1}{8}

2. Relative Häufigkeit auf lange Sicht und Simulation

A

  1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis

B

  1. An vielen Tagen wie morgen regnet es an etwa 70 % davon

C

  1. 66
  2. 44

D

  1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
  2. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
  3. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis

3. Monte-Carlo-Methode

A

  1. 5858
  2. 3577100\frac{3577}{100}

B

  1. 7125\frac{71}{25}

C

  1. Die Schätzung ist im Allgemeinen genauer, aber nicht exakt

D

  1. 8625\frac{86}{25}

E

  1. 5858
  2. 3577100\frac{3577}{100}
  3. 4040