Die Ableitung deuten: Änderungsraten und Einheiten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$T(m)$ ist die Temperatur einer Tasse Kaffee in °C, $m$ Minuten nach dem Einschenken. $T'(10) = -2$ . Welche Einheit hat $-2$ ?

°C pro Minute
°C

Die Grundidee

Eine Ableitung ist eine Rate, mit Einheit.

Wird

f(x)

in einer Ausgabeeinheit und

x

in einer Eingabeeinheit gemessen, so hat

f'(a)

die Einheit Ausgabeeinheit pro Eingabeeinheit.

f'(a) = r

bedeutet: Bei

x = a

ändert sich

f

um etwa

r

pro zusätzlicher Einheit von

x

.

Beispiel

Deute $T'(10) = -2$ .

Zehn Minuten nach dem Einschenken …

Eingabe 10 Minuten, Ausgabe eine Rate in °C pro Minute.

… kühlt der Kaffee um etwa 2 °C pro Minute ab

Negativ: Die Temperatur sinkt.

Also

T(11) \approx T(10) - 2

Mit einer Rate schätzt man kleine Änderungen.

Du bist dran

Jetzt du: $s(t)$ in Metern, $t$ in Sekunden. $s(4) = 30$ und $s(4{,}5) = 34$ .

s'(4) \approx \dfrac{34 - 30}{0{,}5}

4 Meter in 0,5 Sekunden.

s'(4) \approx 8

m/s

4 : 0,5.

Üben ★

$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(2) = 8$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 2$ min nimmt das Volumen um etwa 8 Liter pro Minute zu.
2. Nach 2 Minuten enthält der Tank 8 Liter.
3. In den ersten 2 Minuten sind 8 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 8 Minuten, 2 Liter einzufüllen.
$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(7) = 11$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 7$ min nimmt das Volumen um etwa 11 Liter pro Minute zu.
2. Nach 7 Minuten enthält der Tank 11 Liter.
3. In den ersten 7 Minuten sind 11 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 11 Minuten, 7 Liter einzufüllen.

$C(q)$ sind die Kosten in Euro für die Herstellung von $q$ Fahrrädern. Welche Einheit hat $C'(125)$ ?
1. Euro pro Fahrrad
2. Euro
3. Fahrräder pro Euro

Vorsicht!

Üben ★★

Die Position eines Autos ist $s(t)$ Meter nach $t$ Sekunden. $s(9) = 83$ und $s(9{,}5) = 88$ . Schätze $s'(9)$ in m/s.
Die Position eines Autos ist $s(t)$ Meter nach $t$ Sekunden. $s(3) = 31$ und $s(3{,}5) = 37$ . Schätze $s'(3)$ in m/s.
Die Position eines Autos ist $s(t)$ Meter nach $t$ Sekunden. $s(7) = 49$ und $s(7{,}5) = 53$ . Schätze $s'(7)$ in m/s.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(2) = 8$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 2$ min nimmt das Volumen um etwa 8 Liter pro Minute zu.
2. Nach 2 Minuten enthält der Tank 8 Liter.
3. In den ersten 2 Minuten sind 8 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 8 Minuten, 2 Liter einzufüllen.
$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(7) = 11$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 7$ min nimmt das Volumen um etwa 11 Liter pro Minute zu.
2. Nach 7 Minuten enthält der Tank 11 Liter.
3. In den ersten 7 Minuten sind 11 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 11 Minuten, 7 Liter einzufüllen.
$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(3) = 19$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 3$ min nimmt das Volumen um etwa 19 Liter pro Minute zu.
2. Nach 3 Minuten enthält der Tank 19 Liter.
3. In den ersten 3 Minuten sind 19 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 19 Minuten, 3 Liter einzufüllen.

Merkkarte

Eine Ableitung deuten

Einheit: Ausgabeeinheit pro Eingabeeinheit.
$f'(a) = r$ : Bei $x = a$ ändert sich $f$ um etwa $r$ pro zusätzlicher Einheit von $x$ .

Achtung: $f'(a)$ ist eine momentane Rate, kein Funktionswert und keine Gesamtänderung.

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