Grundlagen der Differentialrechnung: die Ableitung

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Mittlere Änderungsrate; wo eine Funktion steigt oder fällt

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Auto fährt 120 km in 2 Stunden. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit?

60 km pro Stunde
$\tfrac{1}{60}$ Stunde pro km
120 km pro Stunde

Die Grundidee

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie schnell sich der Funktionswert pro Einheit von $x$ ändert.

Die mittlere Änderungsrate von

f

auf

[a; b]

ist der Differenzenquotient

\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

, die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte des Graphen.

$f$ ist auf einem Intervall streng monoton steigend, wenn der Graph dort von links nach rechts steigt, und streng monoton fallend, wenn er fällt.

Beispiel

Bestimme die mittlere Änderungsrate von $f(x) = x^2$ auf $[1; 4]$ .

f(4) - f(1) = 16 - 1 = 15

Änderung des Funktionswerts.

4 - 1 = 3

Änderung von x.

Rate

= \dfrac{15}{3} = 5

Teilen: Änderung pro Einheit von x.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 2x^2$ auf $[0; 3]$ .

f(3) - f(0) = 18

f(3) = 18, f(0) = 0.

Änderung von

x

3

3 − 0.

Rate

= 6

18 : 3.

Üben ★

Bestimme die mittlere Änderungsrate von $f(x) = 3x^2$ auf $[0; 6]$ .
Bestimme die mittlere Änderungsrate von $f(x) = 4x^2$ auf $[1; 5]$ .
Bestimme die mittlere Änderungsrate von $f(x) = 1x^2$ auf $[1; 6]$ .
Bestimme die mittlere Änderungsrate von $f(x) = 1x^2$ auf $[1; 4]$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Tank enthält zur Zeit 0 genau 16 Liter und nach 5 Minuten $61$ Liter. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate des Volumens in Liter pro Minute?
Ein Tank enthält zur Zeit 0 genau 29 Liter und nach 4 Minuten $49$ Liter. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate des Volumens in Liter pro Minute?
Ein Tank enthält zur Zeit 0 genau 12 Liter und nach 6 Minuten $36$ Liter. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate des Volumens in Liter pro Minute?

$f(x) = -(x - 5)^2 + 8$ . Auf welchem Intervall ist $f$ streng monoton steigend?
1. $]-\infty; 5]$
2. $[5; \infty[$
3. $]-\infty; 8]$
$f(x) = -(x - 1)^2 + 7$ . Auf welchem Intervall ist $f$ streng monoton steigend?
1. $]-\infty; 1]$
2. $[1; \infty[$
3. $]-\infty; 7]$
$f(x) = -(x - 3)^2 + 2$ . Auf welchem Intervall ist $f$ streng monoton steigend?
1. $]-\infty; 3]$
2. $[3; \infty[$
3. $]-\infty; 2]$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme die mittlere Änderungsrate von $f(x) = 3x^2$ auf $[0; 6]$ .
Bestimme die mittlere Änderungsrate von $f(x) = 4x^2$ auf $[1; 5]$ .
Bestimme die mittlere Änderungsrate von $f(x) = 1x^2$ auf $[1; 6]$ .

Merkkarte

Mittlere Änderungsrate

Auf $[a; b]$ : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , Änderung von $f$ durch Änderung von $x$ .
Steigend: Der Graph steigt von links nach rechts.
Monotonieintervalle mit $x$ -Werten angeben.

Achtung: Änderung von $f(x)$ oben, Änderung von $x$ unten.

2. Die Ableitung an einer Stelle: Definition als Grenzwert

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die violette Kurve ist der Graph von $y = x^2$ . Die blaue Gerade geht durch seine Punkte mit den x-Werten $a$ und $a + h$ . Verschiebe $a$ und verkleinere dann $h$ .

Die Parabel y = x² und eine Sekante durch ihre Punkte mit den x-Werten a und a + h. Wird h kleiner, nähert sich die Sekante der Tangente bei a mit der Steigung 2a.

Für $a = 1$ hat die blaue Gerade die Steigung $2 + h$ . Wogegen strebt sie, wenn $h$ gegen 0 geht?

Die Grundidee

Der Differenzenquotient von $f$ zwischen $a$ und $a + h$ ist die Steigung der Sekante. Sein Grenzwert ist die Ableitung.

Schritt 1h = 2: Die Sekante durch P und Q hat die Steigung 2.
Schritt 2h = 1: Steigung 1,5.
Schritt 3h = 0,5: Steigung 1,25.
Schritt 4h = 0,1: Steigung 1,05; die Werte nähern sich 1, der Steigung der Tangente in P.

f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

, falls dieser Grenzwert existiert (Differentialquotient). Das ist die Steigung der Tangente an der Stelle

a

, die lokale Änderungsrate.

Beispiel

$f(x) = x^2 + 3x$ . Berechne $f'(2)$ .

f(2 + h) - f(2) = 7h + h^2

f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h und f(2) = 10.

\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = 7 + h

Durch h ≠ 0 teilen.

f'(2) = 7

h gegen 0.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^2 + 3x$ an der Stelle $a = 1$ .

f(1 + h) - f(1) = 5h + h^2

f(1 + h) = 1 + 2h + h² + 3 + 3h und f(1) = 4.

f'(1) = 5

Durch h teilen, dann h gegen 0.

Üben ★

$f(x) = x^2 + 4x$ . Berechne $f'(4)$ mit $f'(4) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h}$ .
$f(x) = x^2 + 4x$ . Berechne $f'(2)$ mit $f'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ .
$f(x) = x^2 + 5x$ . Berechne $f'(5)$ mit $f'(5) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h}$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Welcher Ausdruck ist gleich $f'(2)$ ?
1. $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$
2. $\displaystyle\lim_{h \to 0} \big(f(2 + h) - f(2)\big)$
3. $\dfrac{f(2 + 1) - f(2)}{1}$
4. $f(2)$

$f(x) = \dfrac{ 4 }{x}$ . Berechne $f'(3)$ mit dem Differentialquotienten.
$f(x) = \dfrac{ 6 }{x}$ . Berechne $f'(4)$ mit dem Differentialquotienten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = x^2 + 4x$ . Berechne $f'(4)$ mit $f'(4) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h}$ .
$f(x) = x^2 + 4x$ . Berechne $f'(2)$ mit $f'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ .
$f(x) = x^2 + 5x$ . Berechne $f'(5)$ mit $f'(5) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h}$ .

Merkkarte

Ableitung an einer Stelle

$f(a + h) - f(a)$ aufstellen und vereinfachen.
Durch $h$ teilen, dann $h$ gegen 0 gehen lassen.

Achtung: $f'(a)$ ist eine Steigung, nicht der Funktionswert $f(a)$ .

3. Differenzierbarkeit und Stetigkeit

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = |x|$ . Knapp links von 0 ist die Steigung $-1$ , knapp rechts $1$ . Hat der Graph im Ursprung eine Tangente?

Nein
Ja, denn der Graph hat keine Lücke

Die Grundidee

Differenzierbar an der Stelle $a$ heißt: Es gibt die Ableitung $f'(a)$ .

Jede an der Stelle $a$ differenzierbare Funktion ist dort stetig. Die Umkehrung ist falsch: Eine stetige Funktion ist an einer Knickstelle oder bei einer senkrechten Tangente nicht differenzierbar.

Beispiel

Ist $f(x) = |x - 2| + 1$ an der Stelle $x = 2$ differenzierbar?

f

ist bei

2

stetig

Kein Sprung und keine Lücke bei 2.

Steigung

-1

links und

1

rechts

Die beiden Terme sind 1 − (x − 2) und 1 + (x − 2).

f

ist bei

x = 2

nicht differenzierbar: Knickstelle

Die Steigungen sind verschieden.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^2$ für $x \leq 1$ und $f(x) = 2x - 1$ für $x > 1$ .

Sie treffen sich in

(1|1)

Beide Terme ergeben 1 bei x = 1.

Steigung links:

2

; rechts:

2

. Also ist

f

bei

1

differenzierbar

Die Steigung von x² bei 1 ist 2 · 1.

Üben ★

Ist $f(x) = |x - -1|$ an der Stelle $x = -1$ differenzierbar?
1. Nein: Der Graph hat einen Knick (Steigungen $-1$ und $1$ ).
2. Ja, weil $f$ bei $x = -1$ stetig ist.
3. Nein, weil $f$ bei $x = -1$ nicht stetig ist.
Ist $f(x) = |x - 1|$ an der Stelle $x = 1$ differenzierbar?
1. Nein: Der Graph hat einen Knick (Steigungen $-1$ und $1$ ).
2. Ja, weil $f$ bei $x = 1$ stetig ist.
3. Nein, weil $f$ bei $x = 1$ nicht stetig ist.

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = x^2$ für $x \leq 4$ und $f(x) = mx - 16$ für $x > 4$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 4$ differenzierbar?
$f(x) = x^2$ für $x \leq 5$ und $f(x) = mx - 25$ für $x > 5$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 5$ differenzierbar?
$f(x) = x^2$ für $x \leq 6$ und $f(x) = mx - 36$ für $x > 6$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 6$ differenzierbar?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = x^2$ für $x \leq 4$ und $f(x) = mx - 16$ für $x > 4$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 4$ differenzierbar?
$f(x) = x^2$ für $x \leq 5$ und $f(x) = mx - 25$ für $x > 5$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 5$ differenzierbar?
$f(x) = x^2$ für $x \leq 6$ und $f(x) = mx - 36$ für $x > 6$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 6$ differenzierbar?

Merkkarte

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Differenzierbar $\Rightarrow$ stetig; die Umkehrung ist falsch.
Keine Ableitung: Knick, senkrechte Tangente, Lücke oder Sprung.

Achtung: Ein Graph ohne Lücke hat nicht immer eine Tangente.

4. Die Tangente

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die blaue Gerade ist die Tangente an $y = x^2$ bei $x = a$ . Verschiebe $a$ .

Die Parabel y = x² und ihre Tangente bei x = a, die den Graphen in (a|a²) mit der Steigung 2a berührt.

Bei $a = 1$ hat die Tangente die Steigung 2 und berührt den Graphen in $(1|1)$ . Wie lautet ihre Gleichung?

$y = 1 + 2(x - 1)$
$y = 2x$

Die Grundidee

Die Tangente berührt den Graphen im Punkt $(a|f(a))$ mit der Steigung $f'(a)$ .

Die Tangente an den Graphen von

f

an der Stelle

a

hat die Gleichung

y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)

Beispiel

$f(2) = 5$ und $f'(2) = -3$ . Gib die Tangente bei $x = 2$ an.

y = 5 + (-3)(x - 2)

Der Punkt (2|5) und die Steigung −3.

y = -3x + 11

Ausmultiplizieren.

Du bist dran

Jetzt du: $f(4) = 1$ und $f'(4) = 2$ .

y = 1 + 2(x - 4)

Punkt (4|1), Steigung 2.

y = 2x - 7

Ausmultiplizieren: 2x − 8 + 1.

Üben ★

Für $f(x) = x^2$ gilt $f'(x) = 2x$ . Zeichne die Tangente an den Graphen bei $x = 1$ : Setze zwei Punkte auf sie.
Für $f(x) = x^2$ gilt $f'(x) = 2x$ . Zeichne die Tangente an den Graphen bei $x = -2$ : Setze zwei Punkte auf sie.

$f(1) = 2$ und $f'(1) = 3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 1$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.
$f(2) = -5$ und $f'(2) = 3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 2$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.

Vorsicht!

Üben ★★

Für $f(x) = x^3$ vereinfacht sich der Differenzenquotient bei $x = -3$ zu $27 + -9h + h^2$ . Welche Steigung hat die Tangente bei $x = -3$ ?
Für $f(x) = x^3$ vereinfacht sich der Differenzenquotient bei $x = -2$ zu $12 + -6h + h^2$ . Welche Steigung hat die Tangente bei $x = -2$ ?

Abschlussaufgabe. $f(x) = x^2 - 4x$ . Bestimme mit der Definition die Tangente an den Graphen bei $x = 5$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(1) = 2$ und $f'(1) = 3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 1$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.
$f(2) = -5$ und $f'(2) = 3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 2$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.
$f(1) = -4$ und $f'(1) = -3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 1$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.

Merkkarte

Tangente

Punkt $(a|f(a))$ , Steigung $f'(a)$ .
$y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)$ .

Achtung: $y = f'(a) \cdot x$ verfehlt meist den Punkt.

5. Die Ableitungsfunktion

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die violette Kurve ist der Graph von $y = x^3 - 3x$ . Die blaue Gerade ist seine Tangente bei $x = a$ . Verschiebe $a$ von $-2$ bis $2$ und beobachte die Steigung.

Der Graph von y = x³ − 3x und seine Tangente bei x = a. Die Tangente ist bei x = −1 und x = 1 waagrecht, fällt dazwischen und steigt außerhalb.

Zwischen $x = -1$ und $x = 1$ fällt der Graph. Welches Vorzeichen hat die Steigung?

Negativ
Positiv

Die Grundidee

Berechnet man $f'(a)$ für jedes $a$ , erhält man eine neue Funktion.

Die Ableitungsfunktion ist

f'\colon x \mapsto f'(x)

. Wo

f

steigt, gilt

f'(x) \geq 0

; wo

f

fällt, gilt

f'(x) \leq 0

; wo die Tangente waagrecht ist, gilt

f'(x) = 0

Beispiel

$f(x) = x^2 - 4x$ . Bestimme $f'(x)$ .

f(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 4h

Ausmultiplizieren und x² − 4x abziehen.

\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h - 4

Durch h ≠ 0 teilen.

f'(x) = 2x - 4

h gegen 0. Probe: f' = 0 bei x = 2, im Scheitel.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^2 + 6x$ .

\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h + 6

Dieselben Schritte.

f'(x) = 2x + 6

h gegen 0.

Üben ★

Hier ist der Graph von $y = f(x)$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, an dem $f'(x) = 0$ ist.
Hier ist der Graph von $y = f(x)$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, an dem $f'(x) = 0$ ist.

$f(x) = (x - 3)^2 + 3$ , eine Parabel mit dem Scheitel $(3|3)$ . Kreuze alle wahren Aussagen an.
1. $f'(3) = 0$
2. $f'(x) < 0$ für $x < 3$
3. $f'(x) > 0$ für $x > 3$
4. $f'(3) = 3$
5. $f'(x) > 0$ für alle $x$ , weil $f(x) > 0$

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = 3x^2 + 8x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .
$f(x) = 3x^2 + 5x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .
$f(x) = 5x^2 + 2x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 3x^2 + 8x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .
$f(x) = 3x^2 + 5x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .
$f(x) = 5x^2 + 2x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .

Merkkarte

Ableitungsfunktion

$f'(x)$ ist die Steigung der Tangente bei $x$ .
$f$ steigt: $f' \geq 0$ . $f$ fällt: $f' \leq 0$ .

Achtung: $f' = 0$ (waagrechte Tangente) ist nicht $f = 0$ (auf der Achse).

6. Potenz-, Faktor- und Summenregel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Aus der Definition folgt $(x^2)' = 2x$ und $(x^3)' = 3x^2$ . Vermute: Was ist $(x^4)'$ ?

$4x^3$
$x^3$

Die Grundidee

Diese Regeln ersetzen die Grenzwertrechnung.

$(x^n)' = nx^{n - 1}$ für ganze Zahlen $n$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ für $x > 0$ .

$(k \cdot f)' = k \cdot f'$ ; $(f + g)' = f' + g'$ ; die Ableitung einer Konstanten ist 0.

Beispiel

$f(x) = 5x^3 - \dfrac{2}{x} + 7$ . Bestimme $f'(x)$ .

f(x) = 5x^3 - 2x^{-1} + 7

Den Bruch als Potenz schreiben.

f'(x) = 15x^2 + 2x^{-2}

Summandenweise; die Konstante 7 ergibt 0.

f'(x) = 15x^2 + \dfrac{2}{x^2}

Wieder als Bruch schreiben.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 4x^5 + 3x - 9$ .

f'(x) = 20x^4 + 3

20x⁴, 3 und 0.

Üben ★

$f(x) = 8x^{ 5 } + 3x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4x^{ 3 } + 6x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 6x^{ 5 } + 5x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{ 6 }{x^{ 2 } }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{ 9 }{x^{ 3 } }$ . Bestimme $f'(x)$ .

$f(x) = 3\sqrt{x} + 8$ . Bestimme $f'(x)$ für $x > 0$ .
$f(x) = 5\sqrt{x} + 4$ . Bestimme $f'(x)$ für $x > 0$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 8x^{ 5 } + 3x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4x^{ 3 } + 6x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 6x^{ 5 } + 5x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Ableitungsregeln

$(x^n)' = nx^{n - 1}$ ; Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen schreiben.
Konstante Faktoren bleiben stehen; Summen werden summandenweise abgeleitet.

Achtung: Bei negativem Exponenten ist $-2 - 1 = -3$ .

7. Die Ableitung deuten: Änderungsraten und Einheiten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$T(m)$ ist die Temperatur einer Tasse Kaffee in °C, $m$ Minuten nach dem Einschenken. $T'(10) = -2$ . Welche Einheit hat $-2$ ?

°C pro Minute
°C

Die Grundidee

Eine Ableitung ist eine Rate, mit Einheit.

Wird

f(x)

in einer Ausgabeeinheit und

x

in einer Eingabeeinheit gemessen, so hat

f'(a)

die Einheit Ausgabeeinheit pro Eingabeeinheit.

f'(a) = r

bedeutet: Bei

x = a

ändert sich

f

um etwa

r

pro zusätzlicher Einheit von

x

Beispiel

Deute $T'(10) = -2$ .

Zehn Minuten nach dem Einschenken …

Eingabe 10 Minuten, Ausgabe eine Rate in °C pro Minute.

… kühlt der Kaffee um etwa 2 °C pro Minute ab

Negativ: Die Temperatur sinkt.

Also

T(11) \approx T(10) - 2

Mit einer Rate schätzt man kleine Änderungen.

Du bist dran

Jetzt du: $s(t)$ in Metern, $t$ in Sekunden. $s(4) = 30$ und $s(4{,}5) = 34$ .

s'(4) \approx \dfrac{34 - 30}{0{,}5}

4 Meter in 0,5 Sekunden.

s'(4) \approx 8

m/s

4 : 0,5.

Üben ★

$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(2) = 8$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 2$ min nimmt das Volumen um etwa 8 Liter pro Minute zu.
2. Nach 2 Minuten enthält der Tank 8 Liter.
3. In den ersten 2 Minuten sind 8 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 8 Minuten, 2 Liter einzufüllen.
$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(7) = 11$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 7$ min nimmt das Volumen um etwa 11 Liter pro Minute zu.
2. Nach 7 Minuten enthält der Tank 11 Liter.
3. In den ersten 7 Minuten sind 11 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 11 Minuten, 7 Liter einzufüllen.

$C(q)$ sind die Kosten in Euro für die Herstellung von $q$ Fahrrädern. Welche Einheit hat $C'(125)$ ?
1. Euro pro Fahrrad
2. Euro
3. Fahrräder pro Euro

Vorsicht!

Üben ★★

Die Position eines Autos ist $s(t)$ Meter nach $t$ Sekunden. $s(9) = 83$ und $s(9{,}5) = 88$ . Schätze $s'(9)$ in m/s.
Die Position eines Autos ist $s(t)$ Meter nach $t$ Sekunden. $s(3) = 31$ und $s(3{,}5) = 37$ . Schätze $s'(3)$ in m/s.
Die Position eines Autos ist $s(t)$ Meter nach $t$ Sekunden. $s(7) = 49$ und $s(7{,}5) = 53$ . Schätze $s'(7)$ in m/s.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(2) = 8$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 2$ min nimmt das Volumen um etwa 8 Liter pro Minute zu.
2. Nach 2 Minuten enthält der Tank 8 Liter.
3. In den ersten 2 Minuten sind 8 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 8 Minuten, 2 Liter einzufüllen.
$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(7) = 11$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 7$ min nimmt das Volumen um etwa 11 Liter pro Minute zu.
2. Nach 7 Minuten enthält der Tank 11 Liter.
3. In den ersten 7 Minuten sind 11 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 11 Minuten, 7 Liter einzufüllen.
$V(t)$ ist das Wasservolumen in einem Tank in Litern, $t$ Minuten nach dem Öffnen eines Hahns. $V'(3) = 19$ . Was bedeutet das?
1. Bei $t = 3$ min nimmt das Volumen um etwa 19 Liter pro Minute zu.
2. Nach 3 Minuten enthält der Tank 19 Liter.
3. In den ersten 3 Minuten sind 19 Liter zugeflossen.
4. Es dauert 19 Minuten, 3 Liter einzufüllen.

Merkkarte

Eine Ableitung deuten

Einheit: Ausgabeeinheit pro Eingabeeinheit.
$f'(a) = r$ : Bei $x = a$ ändert sich $f$ um etwa $r$ pro zusätzlicher Einheit von $x$ .

Achtung: $f'(a)$ ist eine momentane Rate, kein Funktionswert und keine Gesamtänderung.

Lösungen: Grundlagen der Differentialrechnung: die Ableitung

1. Mittlere Änderungsrate; wo eine Funktion steigt oder fällt

$18$
$24$
$7$
$5$

$]-\infty; 5]$
$]-\infty; 1]$
$]-\infty; 3]$

$18$
$24$
$7$

2. Die Ableitung an einer Stelle: Definition als Grenzwert

$12$
$8$
$15$

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$

$- \frac{4}{9}$
$- \frac{3}{8}$

$12$
$8$
$15$

3. Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Nein: Der Graph hat einen Knick (Steigungen $-1$ und $1$ ).
Nein: Der Graph hat einen Knick (Steigungen $-1$ und $1$ ).

$8$
$10$
$12$

$8$
$10$
$12$

4. Die Tangente

$y = 2 x - 1$
$y = - 4 x - 4$

$3 x - 1$
$3 x - 11$

$27$
$12$

$6 x - 25$

$3 x - 1$
$3 x - 11$
$- 3 x - 1$

5. Die Ableitungsfunktion

$(-1, 1)$
$(-2, 1)$

$f'(3) = 0$ · $f'(x) < 0$ für $x < 3$ · $f'(x) > 0$ für $x > 3$

$6 x + 8$
$6 x + 5$
$10 x + 2$

$6 x + 8$
$6 x + 5$
$10 x + 2$

6. Potenz-, Faktor- und Summenregel

$40 x^{4} + 3$
$12 x^{2} + 6$
$30 x^{4} + 5$

$- \frac{12}{x^{3}}$
$- \frac{27}{x^{4}}$

$\frac{3}{2 \sqrt{x}}$
$\frac{5}{2 \sqrt{x}}$

$40 x^{4} + 3$
$12 x^{2} + 6$
$30 x^{4} + 5$

7. Die Ableitung deuten: Änderungsraten und Einheiten

Bei $t = 2$ min nimmt das Volumen um etwa 8 Liter pro Minute zu.
Bei $t = 7$ min nimmt das Volumen um etwa 11 Liter pro Minute zu.

Euro pro Fahrrad

$10$
$12$
$8$

Bei $t = 2$ min nimmt das Volumen um etwa 8 Liter pro Minute zu.
Bei $t = 7$ min nimmt das Volumen um etwa 11 Liter pro Minute zu.
Bei $t = 3$ min nimmt das Volumen um etwa 19 Liter pro Minute zu.