Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Von 100 Schülerinnen und Schülern lernen 40 Französisch; 10 davon lernen auch Spanisch. Wie groß ist unter den Französischlernenden die Wahrscheinlichkeit, Spanisch zu lernen?

  1. 1040\tfrac{10}{40}
  2. 10100\tfrac{10}{100}

Die Grundidee

Eine Bedingung verkleinert die Ergebnismenge.

PB(A)=P(A∩B)P(B)P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}: die Wahrscheinlichkeit von AA unter den Ergebnissen in BB. Im Allgemeinen ist PB(A)≠PA(B)P_B(A) \neq P_A(B).

Beispiel

P(Regen) = 0,3, P(Verspätung) = 0,2, P(Regen und Verspätung) = 0,12.

PRegen(Verspa¨tung)=0,120,3=0,4P_{\text{Regen}}(\text{Verspätung}) = \tfrac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4
Durch P(Regen) teilen.
PVerspa¨tung(Regen)=0,120,2=0,6P_{\text{Verspätung}}(\text{Regen}) = \tfrac{0{,}12}{0{,}2} = 0{,}6
Durch P(Verspätung) teilen.
Zwei verschiedene Zahlen
Verschiedene Bedingungen.

Du bist dran

Jetzt du: P(A ∩ B) = 0,1, P(B) = 0,4. Bestimme P_B(A).

0,250{,}25
0,1 : 0,4.

Üben ★

  1. P(A) = 0,60, P(B) = 0,22 und P(A ∩ B) = 0,5. Bestimme P_B(A).
  2. P(A) = 0,55, P(B) = 0,33 und P(A ∩ B) = 0,13. Bestimme P_B(A).
  1. Ein Suchtest wurde bei 316 Personen gemacht: 47 waren krank und positiv getestet, 8 krank und negativ, 34 gesund und positiv, 227 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).
  2. Ein Suchtest wurde bei 256 Personen gemacht: 33 waren krank und positiv getestet, 7 krank und negativ, 21 gesund und positiv, 195 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Test erkennt eine Krankheit bei 87 % der Erkrankten. Welche Aussage bedeutet dasselbe?
    1. P_krank(positiv) = 0,87
    2. P_positiv(krank) = 0,87
    3. P(krank ∩ positiv) = 0,87

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Suchtest wurde bei 316 Personen gemacht: 47 waren krank und positiv getestet, 8 krank und negativ, 34 gesund und positiv, 227 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).
  2. Ein Suchtest wurde bei 256 Personen gemacht: 33 waren krank und positiv getestet, 7 krank und negativ, 21 gesund und positiv, 195 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).
  3. Ein Suchtest wurde bei 239 Personen gemacht: 57 waren krank und positiv getestet, 3 krank und negativ, 29 gesund und positiv, 150 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).

Merkkarte

Bedingte Wahrscheinlichkeit

PB(A)=P(A∩B):P(B)P_B(A) = P(A \cap B) : P(B).

Achtung: PB(A)P_B(A) und PA(B)P_A(B) sind verschieden.

2. Bedingte Wahrscheinlichkeit und Baumdiagramme

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

In einer Klasse sind 60 % Mädchen, und 25 % der Mädchen tragen eine Brille. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen mit Brille auszuwählen?

  1. 0,150{,}15
  2. 0,250{,}25

Die Grundidee

PA(B)P_A(B) liest man „Wahrscheinlichkeit von BB unter der Bedingung AA“.

PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}, also P(A∩B)=P(A)⋅PA(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B).

Im Baumdiagramm multipliziert man entlang eines Pfads und addiert die Pfade: P(B)=P(A)⋅PA(B)+P(Aˉ)⋅PAˉ(B)P(B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\bar{A}) \cdot P_{\bar{A}}(B).

Beispiel

P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, PA(B)=0,5P_A(B) = 0{,}5, PAˉ(B)=0,2P_{\bar{A}}(B) = 0{,}2. Berechne P(B)P(B).

0,3⋅0,5=0,150{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}15
Pfad über A.
0,7⋅0,2=0,140{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}14
Pfad über Ā.
P(B)=0,29P(B) = 0{,}29
Totale Wahrscheinlichkeit.

Du bist dran

Jetzt du: P(A)=0,5P(A) = 0{,}5 und PA(B)=0,4P_A(B) = 0{,}4. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).

0,20{,}2
0,5 · 0,4.

Üben ★

  1. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10} und PA(B)=210P_A(B) = \dfrac{ 2 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  2. P(A)=110P(A) = \dfrac{ 1 }{10} und PA(B)=910P_A(B) = \dfrac{ 9 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  3. P(A)=910P(A) = \dfrac{ 9 }{10} und PA(B)=410P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. P(A)=610P(A) = \dfrac{ 6 }{10} und P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}. Berechne PA(B)P_A(B).
  2. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10} und P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}. Berechne PA(B)P_A(B).
  1. PA(B)=810P_A(B) = \dfrac{ 8 }{10}. Berechne PA(Bˉ)P_A(\bar{B}).
  1. Von 14 Schülerinnen und Schülern treiben 9 Sport, davon wohnen 6 im Internat. Man wählt jemanden aus, der Sport treibt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person im Internat wohnt?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10} und PA(B)=210P_A(B) = \dfrac{ 2 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  2. P(A)=110P(A) = \dfrac{ 1 }{10} und PA(B)=910P_A(B) = \dfrac{ 9 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  3. P(A)=910P(A) = \dfrac{ 9 }{10} und PA(B)=410P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).

Merkkarte

Bedingte Wahrscheinlichkeit

  • PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.
  • Baumdiagramm: entlang eines Pfads multiplizieren, Pfade addieren.

Achtung: PA(B)P_A(B) ist nicht P(A∩B)P(A \cap B).

3. Unabhängigkeit und Multiplikationssatz

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte gezogen. Ändert das Wissen, dass sie Herz ist, die Wahrscheinlichkeit für einen König?

  1. Nein
  2. Ja

Die Grundidee

Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich nicht.

AA und BB sind stochastisch unabhängig, wenn PB(A)=P(A)P_B(A) = P(A) gilt, gleichbedeutend P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B). Allgemein gilt P(A∩B)=P(A)⋅PA(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B). Ziehen ohne Zurücklegen ist abhängig.

Beispiel

Zwei Karten ohne Zurücklegen: P(zwei Asse).

P(Ass)=452P(\text{Ass}) = \tfrac{4}{52}
Erster Zug.
PAss(Ass)=351P_{\text{Ass}}(\text{Ass}) = \tfrac{3}{51}
Noch 3 Asse unter 51 Karten.
452⋅351=1221\tfrac{4}{52} \cdot \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}
Multiplizieren.

Du bist dran

Jetzt du: zwei unabhängige Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5 und 0,3. P(beide).

0,150{,}15
0,5 · 0,3.

Üben ★

  1. Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,8 und 0,7 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.
  2. Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,7 und 0,4 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.
  1. P(A) = 3/10, P(B) = 6/10 und P(A ∩ B) = 18/100. Sind A und B unabhängig?
    1. Ja: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
    2. Nein, weil P(A ∩ B) > 0
    3. Das lässt sich nicht entscheiden

Vorsicht!

Üben ★★

  1. In einem Beutel sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Zwei werden ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme P(beide rot).
  2. In einem Beutel sind 6 rote und 7 blaue Kugeln. Zwei werden ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme P(beide rot).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,8 und 0,7 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.
  2. Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,7 und 0,4 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.
  3. Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,3 und 0,5 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.

Merkkarte

Unabhängigkeit

  • Unabhängig: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
  • Allgemein: P(A)⋅PA(B)P(A) \cdot P_A(B).

Achtung: Ohne Zurücklegen die zweite Wahrscheinlichkeit anpassen.

4. Unabhängigkeit zweier Ereignisse

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4 und P(A∩B)=0,2P(A \cap B) = 0{,}2. Sind AA und BB unabhängig?

  1. Ja
  2. Nein, weil A∩BA \cap B nicht leer ist

Die Grundidee

Zu wissen, dass AA eingetreten ist, ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit von BB.

AA und BB sind stochastisch unabhängig, wenn P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B), also für P(A)≠0P(A) \neq 0: PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B).

Bei zwei unabhängigen Teilexperimenten multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten.

Beispiel

Prüfe auf Unabhängigkeit: P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5, P(A∩B)=0,2P(A \cap B) = 0{,}2.

0,3⋅0,5=0,150{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}15
Produkt.
AA und BB sind nicht unabhängig.
Verschieden von 0,2.

Du bist dran

Jetzt du: AA und BB sind unabhängig, P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,6P(B) = 0{,}6. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).

0,30{,}3
0,5 · 0,6.

Üben ★

  1. AA und BB sind unabhängig, P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10} und P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  2. AA und BB sind unabhängig, P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10} und P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  3. AA und BB sind unabhängig, P(A)=210P(A) = \dfrac{ 2 }{10} und P(B)=710P(B) = \dfrac{ 7 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. P(A)=710P(A) = \dfrac{ 7 }{10}, P(B)=12P(B) = \dfrac{1}{2} und PA(B)=12P_A(B) = \dfrac{1}{2}. Was folgt daraus?
    1. AA und BB sind unabhängig
    2. AA und BB sind unvereinbar
    3. Man kann nichts sagen
  2. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=12P(B) = \dfrac{1}{2} und PA(B)=12P_A(B) = \dfrac{1}{2}. Was folgt daraus?
    1. AA und BB sind unabhängig
    2. AA und BB sind unvereinbar
    3. Man kann nichts sagen
  1. Abschlussaufgabe. P(A)=610P(A) = \dfrac{ 6 }{10}, PA(B)=110P_A(B) = \dfrac{ 1 }{10} und PAˉ(B)=810P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 8 }{10}.
  1. AA und BB sind unvereinbar und haben Wahrscheinlichkeiten ungleich 0. Sind sie unabhängig?
    1. Nein: P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0, aber P(A)⋅P(B)≠0P(A) \cdot P(B) \neq 0
    2. Ja: Sie haben nichts gemeinsam
    3. Das lässt sich nicht sagen
  1. AA und BB sind unabhängig, P(A)=710P(A) = \dfrac{ 7 }{10} und P(A∩B)=7100P(A \cap B) = \dfrac{ 7 }{100}. Berechne P(B)P(B).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. AA und BB sind unabhängig, P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10} und P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  2. AA und BB sind unabhängig, P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10} und P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  3. AA und BB sind unabhängig, P(A)=210P(A) = \dfrac{ 2 }{10} und P(B)=710P(B) = \dfrac{ 7 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).

Merkkarte

Unabhängigkeit

  • P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
  • PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B).

Achtung: nicht mit „unvereinbar“ verwechseln.

5. Beobachtungsstudien, Experimente und Störvariablen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In Städten mit mehr Feuerwehrleuten an einem Brand ist der Schaden größer. Verursachen Feuerwehrleute Schäden?

  1. Nein, größere Brände erklären beides
  2. Ja, die Daten zeigen es

Die Grundidee

Nur Experimente können Ursache und Wirkung zeigen.

In einer Beobachtungsstudie hält man fest, was geschieht, ohne einzugreifen; in einem Experiment teilt man die Behandlungen zu. Eine Störgröße hängt mit beiden Merkmalen zusammen, sodass ihr Einfluss nicht abgetrennt werden kann. Beobachtungsstudien zeigen Zusammenhänge, keine Ursachen.

Beispiel

Kinder mit Musikunterricht haben bessere Noten.

Beobachtungsstudie
Niemand hat den Unterricht zugeteilt.
Mögliche Störgröße: das Familieneinkommen
Beeinflusst Unterricht und Noten.
Ergebnis: nur ein Zusammenhang
Um eine Ursache zu prüfen, teilt man den Unterricht zufällig zu.

Du bist dran

Jetzt du: 80 Freiwillige werden zufällig in zwei Gruppen zu je 40 eingeteilt. Wie viele erhalten die Behandlung?

4040
Die Hälfte von 80.

Üben ★

  1. Forschende teilen 66 Freiwillige zufällig ein: Die einen trinken Kaffee, die anderen Wasser; danach wird die Reaktionszeit gemessen. Welche Art von Studie ist das?
    1. Ein Experiment: Die Forschenden teilen die Behandlung zu
    2. Eine Beobachtungsstudie
    3. Eine Umfrage
  1. Kinder mit größeren Schuhen lesen besser (16 % höhere Ergebnisse). Was ist die wahrscheinlichste Erklärung?
    1. Eine Störgröße: Das Alter beeinflusst Schuhgröße und Lesen
    2. Größere Füße verbessern das Lesen
    3. Es muss reiner Zufall sein

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Beobachtungsstudie mit 3416 Erwachsenen findet, dass Menschen, die frühstücken, weniger wiegen. Zeigt das, dass Frühstücken das Gewicht senkt?
    1. Nein: Andere Unterschiede zwischen den Gruppen könnten es erklären
    2. Ja, weil die Stichprobe groß ist
    3. Ja, wenn der Zusammenhang stark ist
  2. Eine Beobachtungsstudie mit 5700 Erwachsenen findet, dass Menschen, die frühstücken, weniger wiegen. Zeigt das, dass Frühstücken das Gewicht senkt?
    1. Nein: Andere Unterschiede zwischen den Gruppen könnten es erklären
    2. Ja, weil die Stichprobe groß ist
    3. Ja, wenn der Zusammenhang stark ist

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Forschende teilen 66 Freiwillige zufällig ein: Die einen trinken Kaffee, die anderen Wasser; danach wird die Reaktionszeit gemessen. Welche Art von Studie ist das?
    1. Ein Experiment: Die Forschenden teilen die Behandlung zu
    2. Eine Beobachtungsstudie
    3. Eine Umfrage
  2. Forschende teilen 166 Freiwillige zufällig ein: Die einen trinken Kaffee, die anderen Wasser; danach wird die Reaktionszeit gemessen. Welche Art von Studie ist das?
    1. Ein Experiment: Die Forschenden teilen die Behandlung zu
    2. Eine Beobachtungsstudie
    3. Eine Umfrage
  3. Forschende teilen 46 Freiwillige zufällig ein: Die einen trinken Kaffee, die anderen Wasser; danach wird die Reaktionszeit gemessen. Welche Art von Studie ist das?
    1. Ein Experiment: Die Forschenden teilen die Behandlung zu
    2. Eine Beobachtungsstudie
    3. Eine Umfrage

Merkkarte

Studien

  • Beobachtungsstudie: erfassen. Experiment: zuteilen.
  • Störgrößen verdecken in Beobachtungsdaten die Ursache.

Achtung: Zusammenhang ist nicht Ursache.

Lösungen: Bedingte Wahrscheinlichkeit

1. Bedingte Wahrscheinlichkeit

A

  1. 522\frac{5}{22}
  2. 1333\frac{13}{33}

B

  1. 4781\frac{47}{81}
  2. 1118\frac{11}{18}

C

  1. P_krank(positiv) = 0,87

D

  1. 4781\frac{47}{81}
  2. 1118\frac{11}{18}
  3. 5786\frac{57}{86}

2. Bedingte Wahrscheinlichkeit und Baumdiagramme

A

  1. 225\frac{2}{25}
  2. 9100\frac{9}{100}
  3. 925\frac{9}{25}

B

  1. 16\frac{1}{6}
  2. 14\frac{1}{4}

C

  1. 15\frac{1}{5}

D

  1. 23\frac{2}{3}

E

  1. 225\frac{2}{25}
  2. 9100\frac{9}{100}
  3. 925\frac{9}{25}

3. Unabhängigkeit und Multiplikationssatz

A

  1. 1425\frac{14}{25}
  2. 725\frac{7}{25}

B

  1. Ja: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

C

  1. 514\frac{5}{14}
  2. 526\frac{5}{26}

D

  1. 1425\frac{14}{25}
  2. 725\frac{7}{25}
  3. 320\frac{3}{20}

4. Unabhängigkeit zweier Ereignisse

A

  1. 9100\frac{9}{100}
  2. 320\frac{3}{20}
  3. 750\frac{7}{50}

B

  1. AA und BB sind unabhängig
  2. AA und BB sind unabhängig

C

  1. −21125- \frac{21}{125}

D

  1. Nein: P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0, aber P(A)⋅P(B)≠0P(A) \cdot P(B) \neq 0

E

  1. 110\frac{1}{10}

F

  1. 9100\frac{9}{100}
  2. 320\frac{3}{20}
  3. 750\frac{7}{50}

5. Beobachtungsstudien, Experimente und Störvariablen

A

  1. Ein Experiment: Die Forschenden teilen die Behandlung zu

B

  1. Eine Störgröße: Das Alter beeinflusst Schuhgröße und Lesen

C

  1. Nein: Andere Unterschiede zwischen den Gruppen könnten es erklären
  2. Nein: Andere Unterschiede zwischen den Gruppen könnten es erklären

D

  1. Ein Experiment: Die Forschenden teilen die Behandlung zu
  2. Ein Experiment: Die Forschenden teilen die Behandlung zu
  3. Ein Experiment: Die Forschenden teilen die Behandlung zu