Abschnittsweise definierte Funktionen und Betrag

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5 Euro
9 Euro

Die Grundidee

Eine abschnittsweise definierte Funktion verwendet auf verschiedenen Teilen ihrer Definitionsmenge verschiedene Terme.

So bestimmst du

f(a)

: zuerst prüfen, welche Bedingung

a

erfüllt, dann den Term dieses Abschnitts verwenden. An der Grenze genau lesen (

<

oder

\leq

).

Der Betrag ist abschnittsweise definiert: $|x| = x$ für $x \geq 0$ und $|x| = -x$ für $x < 0$ .

Beispiel

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x < 1 \\ 2x + 3 & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .

Der zweite Abschnitt gilt:

2x + 3

Zuerst die Bedingungen prüfen: 1 ist nicht kleiner als 1, aber 1 ≥ 1.

f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5

x durch 1 ersetzen.

Du bist dran

Jetzt du, mit demselben $f$ : Bestimme $f(-2)$ .

Der erste Abschnitt gilt:

x^2

−2 < 1.

f(-2) = 4

(−2)² = 4.

Üben ★

$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{für } x < 8 \\ 4x & \text{für } x \geq 8 \end{cases}$ . Bestimme $f(0)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 8 & \text{für } x < 7 \\ 4x & \text{für } x \geq 7 \end{cases}$ . Bestimme $f(2)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 7 & \text{für } x < 3 \\ 3x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 6 & \text{für } x < 6 \\ 4x & \text{für } x \geq 6 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{für } x < 5 \\ 3x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$ . Bestimme $f(5)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{für } x < 3 \\ 2x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ . Bestimme $f(3)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{für } x < 1 \\ 5x & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{für } x < 5 \\ 2x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$ . Bestimme $f(5)$ .

Welcher Term ist für $x < 7$ gleich $|x - 7|$ ?
1. $7 - x$
2. $x - 7$
3. $-x - 7$
Welcher Term ist für $x < 5$ gleich $|x - 5|$ ?
1. $5 - x$
2. $x - 5$
3. $-x - 5$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{für } x < 5 \\ 3x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$ . Bestimme $f(5)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{für } x < 3 \\ 2x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ . Bestimme $f(3)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{für } x < 1 \\ 5x & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .

Merkkarte

Abschnittsweise definierte Funktionen

Den Abschnitt suchen, dessen Bedingung die Eingabe erfüllt.
Den Term dieses Abschnitts verwenden.
$|x| = x$ für $x \geq 0$ und $-x$ für $x < 0$ .

Achtung: An einer Grenze $<$ und $\geq$ genau lesen.

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