Stetigkeit

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Jahrgangsstufe 11 › Spezielle Eigenschaften von Funktionen

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Stetigkeit

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Den Graphen einer stetigen Funktion kann man zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Welche dieser Funktionen kann man so in der Nähe von x=0x = 0 zeichnen?

  1. y=∣x∣y = |x|
  2. y=1xy = \dfrac{1}{x}

Die Grundidee

Stetig an einer Stelle heißt: dort weder Lücke noch Sprung noch Polstelle.

ff ist stetig an der Stelle aa, wenn f(a)f(a) existiert, lim⁡x→af(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) existiert und beide gleich sind. Ganzrationale Funktionen, sin⁡\sin, cos⁡\cos, exp⁡\exp und ∣x∣|x| sind auf R\mathbb{R} stetig; gebrochen-rationale Funktionen sind auf ihrer Definitionsmenge stetig.

Beispiel

Für welches kk ist f(x)={x+kfu¨r x<2x2fu¨r x≥2f(x) = \begin{cases} x + k & \text{für } x < 2 \\ x^2 & \text{für } x \geq 2 \end{cases} stetig?

f(2)=4f(2) = 4
f(2) liefert der zweite Term.
Für x→2x \to 2 von links geht f(x)f(x) gegen 2+k2 + k
Den linksseitigen Grenzwert liefert der erste Term.
2+k=42 + k = 4, also k=2k = 2
Beide müssen gleich sein.

Du bist dran

Jetzt du: g(x)={3xfu¨r x<1x+mfu¨r x≥1g(x) = \begin{cases} 3x & \text{für } x < 1 \\ x + m & \text{für } x \geq 1 \end{cases}.

3=1+m3 = 1 + m
Linksseitiger Grenzwert 3, Funktionswert 1 + m.
m=2m = 2
Auflösen.

Üben ★

  1. Für welches kk ist f(x)={x2+kfu¨r x<34xfu¨r x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 4x & \text{für } x \geq 3 \end{cases} auf R\mathbb{R} stetig?
  2. Für welches kk ist f(x)={x2+kfu¨r x<38xfu¨r x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 8x & \text{für } x \geq 3 \end{cases} auf R\mathbb{R} stetig?
  3. Für welches kk ist f(x)={x2+kfu¨r x<37xfu¨r x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 7x & \text{für } x \geq 3 \end{cases} auf R\mathbb{R} stetig?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ist die Funktion f(x)=x2−25x−5f(x) = \dfrac{x^2 - 25}{x - 5} an der Stelle x=5x = 5 stetig?
    1. Nein: f(5)f(5) ist nicht definiert
    2. Ja: Der Grenzwert existiert, er ist 1010
    3. Nein: Der Grenzwert existiert nicht
  2. Ist die Funktion f(x)=x2−81x−9f(x) = \dfrac{x^2 - 81}{x - 9} an der Stelle x=9x = 9 stetig?
    1. Nein: f(9)f(9) ist nicht definiert
    2. Ja: Der Grenzwert existiert, er ist 1818
    3. Nein: Der Grenzwert existiert nicht
  1. Welche Funktionen sind für jede reelle Zahl xx stetig? Kreuze alle an.
    1. x3−2x+1x^3 - 2x + 1
    2. sin⁡x\sin x
    3. ∣x∣|x|
    4. 1x\dfrac{1}{x}
    5. tan⁡x\tan x

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Für welches kk ist f(x)={x2+kfu¨r x<34xfu¨r x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 4x & \text{für } x \geq 3 \end{cases} auf R\mathbb{R} stetig?
  2. Für welches kk ist f(x)={x2+kfu¨r x<38xfu¨r x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 8x & \text{für } x \geq 3 \end{cases} auf R\mathbb{R} stetig?
  3. Für welches kk ist f(x)={x2+kfu¨r x<37xfu¨r x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 7x & \text{für } x \geq 3 \end{cases} auf R\mathbb{R} stetig?

Merkkarte

Stetigkeit an der Stelle aa

  1. f(a)f(a) existiert.
  2. lim⁡x→af(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) existiert.
  3. Beide sind gleich.

Achtung: Dass der Grenzwert existiert, reicht nicht; f(a)f(a) muss gleich sein.

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Lösungen: Stetigkeit

A

  1. 33
  2. 1515
  3. 1212

B

  1. Nein: f(5)f(5) ist nicht definiert
  2. Nein: f(9)f(9) ist nicht definiert

C

  1. x3−2x+1x^3 - 2x + 1 · sin⁡x\sin x · ∣x∣|x|

D

  1. 33
  2. 1515
  3. 1212

CC BY-SA 4.0