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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Funktionsklassen erkennen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

f(x) = x² und g(x) = 2^x: Bei welcher steht die Variable im Exponenten?

Die Grundidee

Erkenne die Funktionenklasse am Term, an der Wertetabelle oder am Graphen.

Ganzrational: Summen von Termen

ax^n

(x in der Basis, natürliche Exponenten). Gebrochen-rational: Quotient ganzrationaler Terme (x im Nenner; senkrechte Asymptoten). Exponentiell: x im Exponenten (gleiche Quotienten in der Tabelle). Logarithmisch: Logarithmus von x (langsames Wachstum, senkrechte Asymptote). Trigonometrisch: Sinus oder Kosinus von x (periodisch).

Beispiel

Benenne die Klassen von 3x³ − x, 5/(x − 2), 4 · 0,5^x, ln x und sin 2x.

ganzrational, gebrochen-rational, exponentiell, logarithmisch, trigonometrisch

An den Termen ablesen.

Du bist dran

Jetzt du: Eine Tabelle lautet 1, 3, 9, 27. Mit welchem Faktor wächst sie pro Schritt?

3

3 : 1, 9 : 3.

Üben ★

Zu welcher Klasse gehört f(x) = 9 · 3^x?
1. Exponentialfunktion
2. Ganzrationale Funktion
3. Lineare Funktion
Zu welcher Klasse gehört f(x) = 4 · 5^x?
1. Exponentialfunktion
2. Ganzrationale Funktion
3. Lineare Funktion

Zu welcher Klasse gehört g(x) = (x + 4) / (x − 2)?
1. Gebrochen-rational, mit einer senkrechten Asymptote bei x = 2
2. Ganzrational vom Grad 1
3. Logarithmisch

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Funktion hat f(0) = 3, f(1) = 6, f(2) = 12, f(3) = 24. Zu welcher Klasse gehört sie wahrscheinlich?
1. Exponentiell: Die Werte werden bei jedem Schritt mit 2 multipliziert
2. Quadratisch: Die Werte wachsen immer schneller
3. Linear
Eine Funktion hat f(0) = 4, f(1) = 8, f(2) = 16, f(3) = 32. Zu welcher Klasse gehört sie wahrscheinlich?
1. Exponentiell: Die Werte werden bei jedem Schritt mit 2 multipliziert
2. Quadratisch: Die Werte wachsen immer schneller
3. Linear

Abschlussaufgabe. Zwei Modelle sagen die Nutzerzahl einer App (in Tausend) nach t Monaten voraus: A(t) = 37t + 4 und B(t) = 4 · 2^t.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Zu welcher Klasse gehört f(x) = 9 · 3^x?
1. Exponentialfunktion
2. Ganzrationale Funktion
3. Lineare Funktion
Zu welcher Klasse gehört f(x) = 4 · 5^x?
1. Exponentialfunktion
2. Ganzrationale Funktion
3. Lineare Funktion
Zu welcher Klasse gehört f(x) = 9 · 5^x?
1. Exponentialfunktion
2. Ganzrationale Funktion
3. Lineare Funktion

Merkkarte

Funktionenklassen

Basis oder Exponent, Nenner, Logarithmus, periodisch: Jede Klasse hat ihr Kennzeichen.

Achtung: x im Exponenten bedeutet exponentiell, nicht ganzrational.

2. Abschnittsweise definierte Funktionen und Betrag

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Parkplatz kostet bis zu 2 Stunden 5 Euro und für längeres Parken 9 Euro. Was kosten genau 2 Stunden?

5 Euro
9 Euro

Die Grundidee

Eine abschnittsweise definierte Funktion verwendet auf verschiedenen Teilen ihrer Definitionsmenge verschiedene Terme.

So bestimmst du

f(a)

: zuerst prüfen, welche Bedingung

a

erfüllt, dann den Term dieses Abschnitts verwenden. An der Grenze genau lesen (

<

oder

\leq

Der Betrag ist abschnittsweise definiert: $|x| = x$ für $x \geq 0$ und $|x| = -x$ für $x < 0$ .

Beispiel

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x < 1 \\ 2x + 3 & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .

Der zweite Abschnitt gilt:

2x + 3

Zuerst die Bedingungen prüfen: 1 ist nicht kleiner als 1, aber 1 ≥ 1.

f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5

x durch 1 ersetzen.

Du bist dran

Jetzt du, mit demselben $f$ : Bestimme $f(-2)$ .

Der erste Abschnitt gilt:

x^2

−2 < 1.

f(-2) = 4

(−2)² = 4.

Üben ★

$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{für } x < 8 \\ 4x & \text{für } x \geq 8 \end{cases}$ . Bestimme $f(0)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 8 & \text{für } x < 7 \\ 4x & \text{für } x \geq 7 \end{cases}$ . Bestimme $f(2)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 7 & \text{für } x < 3 \\ 3x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 6 & \text{für } x < 6 \\ 4x & \text{für } x \geq 6 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{für } x < 5 \\ 3x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$ . Bestimme $f(5)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{für } x < 3 \\ 2x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ . Bestimme $f(3)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{für } x < 1 \\ 5x & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{für } x < 5 \\ 2x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$ . Bestimme $f(5)$ .

Welcher Term ist für $x < 7$ gleich $|x - 7|$ ?
1. $7 - x$
2. $x - 7$
3. $-x - 7$
Welcher Term ist für $x < 5$ gleich $|x - 5|$ ?
1. $5 - x$
2. $x - 5$
3. $-x - 5$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{für } x < 5 \\ 3x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$ . Bestimme $f(5)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{für } x < 3 \\ 2x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ . Bestimme $f(3)$ .
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{für } x < 1 \\ 5x & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ . Bestimme $f(1)$ .

Merkkarte

Abschnittsweise definierte Funktionen

Den Abschnitt suchen, dessen Bedingung die Eingabe erfüllt.
Den Term dieses Abschnitts verwenden.
$|x| = x$ für $x \geq 0$ und $-x$ für $x < 0$ .

Achtung: An einer Grenze $<$ und $\geq$ genau lesen.

3. Gerade und ungerade Funktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = x^2$ . Wie verhält sich $f(-3)$ zu $f(3)$ ?

Sie sind gleich
Sie sind Gegenzahlen

Die Grundidee

Zwei besondere Symmetrien.

Der Graph von $f$ (mit einer zu 0 symmetrischen Definitionsmenge) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn $f(-x) = f(x)$ gilt.

Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x) = -f(x)$ gilt.

Beispiel

$f(x) = x^3 - x$ . Untersuche die Symmetrie.

f(-x) = -x^3 + x

Ausrechnen.

f(-x) = -f(x)

: punktsymmetrisch zum Ursprung.

Vergleichen.

Du bist dran

Jetzt du: Der Graph von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung und $f(2) = 5$ . Wie groß ist $f(-2)$ ?

-5

Gegenzahl.

Üben ★

Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(7) = 7$ . Wie groß ist $f(-7)$ ?
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(8) = 3$ . Wie groß ist $f(-8)$ ?
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(2) = 4$ . Wie groß ist $f(-2)$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Der Graph der Funktion $f(x) = 7x^3$ ist:
1. punktsymmetrisch zum Ursprung
2. achsensymmetrisch zur y-Achse
3. weder noch
Der Graph der Funktion $f(x) = 2x^3$ ist:
1. punktsymmetrisch zum Ursprung
2. achsensymmetrisch zur y-Achse
3. weder noch

Der Graph von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung und $f(5) = 3$ . Wie groß ist $f(-5)$ ?

Welche Symmetrie hat der Graph, wenn $f(-x) = f(x)$ für alle $x$ gilt?
1. Achsensymmetrie zur y-Achse
2. Punktsymmetrie zum Ursprung
3. Achsensymmetrie zur x-Achse

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(7) = 7$ . Wie groß ist $f(-7)$ ?
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(8) = 3$ . Wie groß ist $f(-8)$ ?
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse und $f(2) = 4$ . Wie groß ist $f(-2)$ ?

Merkkarte

Symmetrie

Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$ .
Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$ .

Achtung: Viele Graphen haben keine dieser Symmetrien.

4. Transformationen: Verschiebungen und Spiegelungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Bewege die Schieberegler und beobachte den Graphen von $y = (x - h)^2 + k$ .

Der Graph von y = (x − h)² + k, eine Parabel mit dem Scheitel (h|k), der sich mit den Reglern bewegt.

Wenn $h$ von 0 auf 2 wächst, in welche Richtung bewegt sich der Graph?

Nach rechts
Nach links

Die Grundidee

Änderungen am Funktionsterm verschieben oder spiegeln den Graphen, ohne seine Form zu ändern.

y = f(x - h) + k

verschiebt den Graphen von

f

h

nach rechts und um

k

nach oben.

y = -f(x)

spiegelt ihn an der

x

-Achse,

y = f(-x)

an der

y

-Achse.

Eine Änderung innerhalb von $f(\dots)$ wirkt auf $x$ (waagrecht), eine Änderung außerhalb auf $y$ (senkrecht).

Beispiel

Beschreibe $y = (x + 1)^2 - 3$ im Vergleich zu $y = x^2$ .

um 1 nach links

x + 1 = x − (−1): h = −1.

um 3 nach unten

− 3 außerhalb: k = −3.

Scheitel:

(-1|-3)

Der Scheitel (0|0) wandert mit.

Du bist dran

Jetzt du: $y = (x - 4)^2 + 2$ .

um 4 nach rechts

x − 4: h = 4.

um 2 nach oben

+ 2 außerhalb.

Der Scheitel liegt bei

x = 4

Der Scheitel wandert von x = 0 nach x = …

Üben ★

Der Graph von $y = x^2$ wird um 1 nach rechts und um 6 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
Der Graph von $y = x^2$ wird um 3 nach rechts und um 1 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
Der Graph von $y = x^2$ wird um 4 nach rechts und um 6 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
Der Graph von $y = x^2$ wird um 7 nach rechts und um 1 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.

Vorsicht!

Üben ★★

Zeichne den Graphen von $y = (x - 1)^2 - 3$ : Setze den Scheitel und einen weiteren Punkt.
Zeichne den Graphen von $y = (x - 1)^2 - 1$ : Setze den Scheitel und einen weiteren Punkt.

Ordne jeder Gleichung zu, was sie mit dem Graphen von $y = f(x)$ macht.
1. $y = f(x) + 3$
2. $y = f(x - 3)$
3. $y = -f(x)$
4. $y = f(-x)$
1. Verschiebung um 3 nach oben
2. Verschiebung um 3 nach rechts
3. Spiegelung an der x-Achse
4. Spiegelung an der y-Achse

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Der Graph von $y = x^2$ wird um 1 nach rechts und um 6 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
Der Graph von $y = x^2$ wird um 3 nach rechts und um 1 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
Der Graph von $y = x^2$ wird um 4 nach rechts und um 6 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.

Merkkarte

Verschieben und Spiegeln

$f(x - h)$ : um $h$ nach rechts. $f(x) + k$ : um $k$ nach oben.
$-f(x)$ : Spiegelung an der $x$ -Achse. $f(-x)$ : Spiegelung an der $y$ -Achse.
Innerhalb von $f(\dots)$ wirkt auf $x$ , außerhalb auf $y$ .

Achtung: $f(x + 3)$ verschiebt den Graphen nach links.

5. Streckungen und Stauchungen; gerade und ungerade Funktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Bewege den Regler und beobachte den Graphen von $y = (bx)^2$ .

Der Graph von y = (bx)², eine Parabel, die schmaler wird, wenn b wächst.

Wenn $b$ von 1 auf 2 wächst, wird der Graph …

schmaler
breiter

Die Grundidee

Multiplizieren streckt oder staucht einen Graphen. Symmetrie hat einen Namen.

Für

a > 1

streckt

y = a \cdot f(x)

den Graphen in

y

-Richtung mit dem Faktor

a

. Für

b > 1

staucht

y = f(bx)

ihn in

x

-Richtung mit dem Faktor

\dfrac{1}{b}

. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn

f(-x) = f(x)

, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn

f(-x) = -f(x)

Beispiel

Ist der Graph von $f(x) = x^3 - 2x$ achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keins von beiden?

f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)

x durch (−x) ersetzen.

= -x^3 + 2x

(−x)³ = −x³ und −2(−x) = 2x.

= -(x^3 - 2x) = -f(x)

: punktsymmetrisch

−1 ausklammern: Das ist −f(x).

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^4 + 3$ . Prüfe einen Wert.

f(-1) = (-1)^4 + 3

x durch −1 ersetzen.

f(-1) = 4

(−1)⁴ = 1. Es ist gleich f(1): ein Hinweis auf Achsensymmetrie.

Üben ★

Wie verhält sich der Graph von $y = f(4x)$ zum Graphen von $y = f(x)$ ?
1. Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/4
2. Er wird von der y-Achse weg gestreckt: Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 4
3. Er wird in y-Richtung mit dem Faktor 4 gestreckt
Wie verhält sich der Graph von $y = f(5x)$ zum Graphen von $y = f(x)$ ?
1. Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/5
2. Er wird von der y-Achse weg gestreckt: Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 5
3. Er wird in y-Richtung mit dem Faktor 5 gestreckt
Wie verhält sich der Graph von $y = f(3x)$ zum Graphen von $y = f(x)$ ?
1. Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/3
2. Er wird von der y-Achse weg gestreckt: Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 3
3. Er wird in y-Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = 8x^3 - 9x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden
$f(x) = 9x^3 - 2x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden

$f(x) = 3x^4 - 8x^2 + 7$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden
$f(x) = 5x^4 - 1x^2 + 9$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 8x^3 - 9x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden
$f(x) = 9x^3 - 2x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden
$f(x) = 7x^3 - 1x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden

Merkkarte

Strecken und Symmetrie

$a \cdot f(x)$ : Streckung in $y$ -Richtung mit $a$ . $f(bx)$ : Stauchung in $x$ -Richtung.
Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$ .
Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$ .

Achtung: $f(-x)$ ausrechnen; die Vorzeichen der Koeffizienten entscheiden nicht.

6. Grenzwerte im Unendlichen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Was passiert mit $\dfrac{1}{x}$ , wenn $x$ sehr groß wird: $\dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{1000}, \dots$ ?

Es nähert sich 0
Es hat keinen Grenzwert, weil es 0 nie erreicht

Die Grundidee

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$ bedeutet, dass $f(x)$ der Zahl $a$ beliebig nahe kommt, wenn $x$ groß wird. Die Gerade $y = a$ ist dann eine waagrechte Asymptote des Graphen.

Bei einem Quotienten ganzrationaler Terme klammert man oben und unten die höchste Potenz aus. Zählergrad kleiner: Grenzwert 0. Grade gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Zählergrad größer: kein endlicher Grenzwert.

Beispiel

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 - x}{2x^2 + 5}$ .

\dfrac{6 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}}

Oben und unten x² ausklammern und kürzen.

Der Quotient geht gegen

\dfrac{6}{2}

1/x und 5/x² gehen gegen 0.

Der Grenzwert ist

3

Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x + 1}{2x - 7}$ .

Quotient der Leitkoeffizienten:

\dfrac{4}{2}

Gleicher Grad oben und unten.

Der Grenzwert ist

2

4 : 2.

Üben ★

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 6x + 3}{x^2 + 2}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 9x + 6}{x^2 + 6}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 7x + 6}{x^2 + 1}$ .

Wie verhält sich $\dfrac{ 5x^3}{x^2 + 5}$ für $x \to +\infty$ ?
1. Es geht gegen $+\infty$ : Der Quotient wächst unbegrenzt
2. $5$
3. $0$
Wie verhält sich $\dfrac{ 2x^3}{x^2 + 2}$ für $x \to +\infty$ ?
1. Es geht gegen $+\infty$ : Der Quotient wächst unbegrenzt
2. $2$
3. $0$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}$ .

Merkkarte

Grenzwerte im Unendlichen

Die höchste Potenz ausklammern.
Zählergrad kleiner: 0. Gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Größer: $\pm\infty$ .
Ein endlicher Grenzwert $a$ liefert die Asymptote $y = a$ .

Achtung: Für $x \to \infty$ entscheiden nicht die Konstanten.

7. Einseitige Grenzwerte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Parkhaus kostet bis zu 1 Stunde 5 Euro und darüber 9 Euro. Nähert sich die Zeit von unten 1 Stunde, kostet es 5 Euro, von oben 9 Euro. Nähert sich der Preis bei 1 Stunde einer einzigen Zahl?

Nein: von links 5, von rechts 9
Ja: 5

Die Grundidee

Man kann sich $a$ auch nur von einer Seite nähern.

Der linksseitige Grenzwert

\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)

verwendet

x < a

, der rechtsseitige

\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)

verwendet

x > a

. Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide existieren und gleich sind.

Beispiel

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x < 1 \\ 3 - x & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ . Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ .

\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1

x < 1: x² verwenden.

\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2

x > 1: 3 − x verwenden.

Der Grenzwert existiert nicht

1 ≠ 2.

Du bist dran

Jetzt du: dieselbe Idee mit $g(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{für } x < 2 \\ 3x & \text{für } x \geq 2 \end{cases}$ .

\displaystyle\lim_{x \to 2^-} g(x) = 6

Links: 2 + 4.

\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x) = 6

, also existiert der Grenzwert und ist 6

Rechts: 3 · 2.

Üben ★

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{für } x < 2 \\ 2x & \text{für } x \geq 2 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} x + 7 & \text{für } x < 4 \\ 2x & \text{für } x \geq 4 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{für } x < 5 \\ 3x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \begin{cases} x + 6 & \text{für } x < 5 \\ 2x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$ . Wie groß ist $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x)$ ?
1. Er existiert nicht: Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden
2. $11$
3. $10$
$f(x) = \begin{cases} x + 7 & \text{für } x < 3 \\ 4x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ . Wie groß ist $\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x)$ ?
1. Er existiert nicht: Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden
2. $10$
3. $12$

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|3x|}{x}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|5x|}{x}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|8x|}{x}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|3x|}{x}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|5x|}{x}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|8x|}{x}$ .

Merkkarte

Einseitige Grenzwerte

$x \to a^-$ : von links; $x \to a^+$ : von rechts.
Der Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen.

Achtung: Eine Seite allein ist noch nicht der Grenzwert.

8. Stetigkeit

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Den Graphen einer stetigen Funktion kann man zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Welche dieser Funktionen kann man so in der Nähe von $x = 0$ zeichnen?

$y = |x|$
$y = \dfrac{1}{x}$

Die Grundidee

Stetig an einer Stelle heißt: dort weder Lücke noch Sprung noch Polstelle.

f

ist stetig an der Stelle $a$ , wenn

f(a)

existiert,

\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)

existiert und beide gleich sind. Ganzrationale Funktionen,

\sin

\cos

\exp

und

|x|

sind auf

\mathbb{R}

stetig; gebrochen-rationale Funktionen sind auf ihrer Definitionsmenge stetig.

Beispiel

Für welches $k$ ist $f(x) = \begin{cases} x + k & \text{für } x < 2 \\ x^2 & \text{für } x \geq 2 \end{cases}$ stetig?

f(2) = 4

f(2) liefert der zweite Term.

Für

x \to 2

von links geht

f(x)

gegen

2 + k

Den linksseitigen Grenzwert liefert der erste Term.

2 + k = 4

, also

k = 2

Beide müssen gleich sein.

Du bist dran

Jetzt du: $g(x) = \begin{cases} 3x & \text{für } x < 1 \\ x + m & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ .

3 = 1 + m

Linksseitiger Grenzwert 3, Funktionswert 1 + m.

m = 2

Auflösen.

Üben ★

Für welches $k$ ist $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 4x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ auf $\mathbb{R}$ stetig?
Für welches $k$ ist $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 8x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ auf $\mathbb{R}$ stetig?
Für welches $k$ ist $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 7x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ auf $\mathbb{R}$ stetig?

Vorsicht!

Üben ★★

Ist die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ an der Stelle $x = 5$ stetig?
1. Nein: $f(5)$ ist nicht definiert
2. Ja: Der Grenzwert existiert, er ist $10$
3. Nein: Der Grenzwert existiert nicht
Ist die Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 - 81}{x - 9}$ an der Stelle $x = 9$ stetig?
1. Nein: $f(9)$ ist nicht definiert
2. Ja: Der Grenzwert existiert, er ist $18$
3. Nein: Der Grenzwert existiert nicht

Welche Funktionen sind für jede reelle Zahl $x$ stetig? Kreuze alle an.
1. $x^3 - 2x + 1$
2. $\sin x$
3. $|x|$
4. $\dfrac{1}{x}$
5. $\tan x$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Für welches $k$ ist $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 4x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ auf $\mathbb{R}$ stetig?
Für welches $k$ ist $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 8x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ auf $\mathbb{R}$ stetig?
Für welches $k$ ist $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & \text{für } x < 3 \\ 7x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ auf $\mathbb{R}$ stetig?

Merkkarte

Stetigkeit an der Stelle $a$

$f(a)$ existiert.
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existiert.
Beide sind gleich.

Achtung: Dass der Grenzwert existiert, reicht nicht; $f(a)$ muss gleich sein.

Lösungen: Spezielle Eigenschaften von Funktionen

1. Funktionsklassen erkennen

Exponentialfunktion
Exponentialfunktion

Gebrochen-rational, mit einer senkrechten Asymptote bei x = 2

Exponentiell: Die Werte werden bei jedem Schritt mit 2 multipliziert
Exponentiell: Die Werte werden bei jedem Schritt mit 2 multipliziert

$30$

Exponentialfunktion
Exponentialfunktion
Exponentialfunktion

2. Abschnittsweise definierte Funktionen und Betrag

$4$
$10$
$8$
$7$

$15$
$6$
$5$
$10$

$7 - x$
$5 - x$

$15$
$6$
$5$

3. Gerade und ungerade Funktionen

punktsymmetrisch zum Ursprung
punktsymmetrisch zum Ursprung

$-3$

Achsensymmetrie zur y-Achse

4. Transformationen: Verschiebungen und Spiegelungen

$\left(x - 1\right)^{2} - 6$
$\left(x - 3\right)^{2} - 1$
$\left(x - 4\right)^{2} - 6$
$\left(x - 7\right)^{2} - 1$

$y = \left(x - 1\right)^{2} - 3$
$y = \left(x - 1\right)^{2} - 1$

$y = f(x) + 3$ → Verschiebung um 3 nach oben · $y = f(x - 3)$ → Verschiebung um 3 nach rechts · $y = -f(x)$ → Spiegelung an der x-Achse · $y = f(-x)$ → Spiegelung an der y-Achse

$\left(x - 1\right)^{2} - 6$
$\left(x - 3\right)^{2} - 1$
$\left(x - 4\right)^{2} - 6$

5. Streckungen und Stauchungen; gerade und ungerade Funktionen

Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/4
Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/5
Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/3

Punktsymmetrisch zum Ursprung
Punktsymmetrisch zum Ursprung

Achsensymmetrisch zur y-Achse
Achsensymmetrisch zur y-Achse

Punktsymmetrisch zum Ursprung
Punktsymmetrisch zum Ursprung
Punktsymmetrisch zum Ursprung

6. Grenzwerte im Unendlichen

$\frac{4}{5}$
$\frac{3}{2}$
$\frac{3}{5}$

Es geht gegen $+\infty$ : Der Quotient wächst unbegrenzt
Es geht gegen $+\infty$ : Der Quotient wächst unbegrenzt

$\frac{4}{5}$
$\frac{3}{2}$
$\frac{3}{5}$

7. Einseitige Grenzwerte

$4$
$8$
$15$

Er existiert nicht: Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden
Er existiert nicht: Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden

$-3$
$-5$
$-8$

$-3$
$-5$
$-8$

8. Stetigkeit

$3$
$15$
$12$

Nein: $f(5)$ ist nicht definiert
Nein: $f(9)$ ist nicht definiert

$x^3 - 2x + 1$ · $\sin x$ · $|x|$

$3$
$15$
$12$