Schräge Asymptoten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$ . Für große $x$ wird $\dfrac{1}{x - 1}$ sehr klein. Welcher Geraden nähert sich der Graph?

$y = x + 1$ $y = x + 1$ , eine schräge Asymptote." data-option="1"> $y = x + 1$
$x$ $x$ verschwindet nicht: Der Graph steigt mit, er nähert sich $y = x + 1$ ." data-option="2"> $y = 1$

Die Grundidee

Ist der Zählergrad um 1 größer als der Nennergrad, hat der Graph eine schräge Asymptote.

Schreibt man $f(x) = mx + c + \dfrac{r(x)}{q(x)}$ , wobei der Restbruch für $x \to \pm\infty$ gegen 0 geht, so ist $y = mx + c$ die schräge Asymptote.

Die Form erhält man mit Polynomdivision. Der Restbruch gehört nicht zur Asymptote.

Beispiel

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x + 1}$ . Bestimme die schräge Asymptote.

f(x) = x + 2 - \dfrac{1}{x + 1}

Polynomdivision: (x² + 3x + 1) : (x + 1) = x + 2, Rest −1.

\dfrac{-1}{x + 1} \to 0

für

x \to \pm\infty

Der Restbruch geht gegen 0.

y = x + 2

Asymptote.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 2x - 3 + \dfrac{5}{x}$ . Welchen y-Achsenabschnitt hat die schräge Asymptote?

y = 2x - 3

Restbruch weglassen.

-3

Abschnitt.

Üben ★

$f(x) = 4x + 6 + \dfrac{ 5 }{x - 3}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$
$f(x) = 2x + -6 + \dfrac{ 5 }{x - -3}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + -1}{x + 1}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$

Vorsicht!

Üben ★★

Welche Funktion hat eine schräge Asymptote?
1. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 6}$
2. $g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 6}$
3. $k(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x - 6}$

Abschlussaufgabe. $f(x) = \dfrac{x^2 - 4 + 7}{x - 2}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 4x + 6 + \dfrac{ 5 }{x - 3}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$
$f(x) = 2x + -6 + \dfrac{ 5 }{x - -3}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$
$f(x) = 2x + 1 + \dfrac{ 6 }{x - 0}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$

Merkkarte

Schräge Asymptoten

Zählergrad = Nennergrad + 1.
Polynomdivision: $f(x) = mx + c + \text{Restbruch}$ .
Asymptote: $y = mx + c$ .

Achtung: Den Restbruch weglassen, nicht addieren.

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