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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Gebrochenrationale Funktionen: senkrechte und waagerechte Asymptoten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Bewege die Regler und beobachte den Graphen von $y = \dfrac{a}{x - h}$ .

Der Graph von y = a/(x − h): zwei Äste, getrennt durch eine senkrechte Asymptote bei x = h, die sich weit links und weit rechts der x-Achse nähern.

Wo liegt die senkrechte Gerade, die der Graph nie berührt?

Bei $x = h$
Bei $x = a$

Die Grundidee

Eine gebrochen-rationale Funktion ist ein Quotient ganzrationaler Terme.

Senkrechte Asymptoten liegen bei den Nullstellen des Nenners (die nicht auch Nullstellen des Zählers sind). Waagrechte Asymptote: Zählergrad kleiner:

y = 0

; Grade gleich:

y = \dfrac{\text{Leitkoeffizient oben}}{\text{Leitkoeffizient unten}}

; Zählergrad größer: keine.

Beispiel

Bestimme die Asymptoten von $f(x) = \dfrac{6x + 1}{2x - 8}$ .

Senkrechte Asymptote:

x = 4

Nenner 0: 2x − 8 = 0.

Waagrechte Asymptote:

y = \dfrac{6}{2} = 3

Gleicher Grad: Quotient der Leitkoeffizienten.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \dfrac{5x - 2}{x + 3}$ .

Senkrechte Asymptote:

x = -3

x + 3 = 0.

Waagrechte Asymptote:

y = 5

Gleicher Grad: 5 durch 1.

Üben ★

$f(x) = \dfrac{ 4x + 6 }{x - 6}$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
$f(x) = \dfrac{ 6x + 4 }{x - 5}$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2x + 5 }{x - 2}$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
$f(x) = \dfrac{ 5x + 7 }{x - 4}$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{ 5x + 6 }{ 2x + 4 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2x + 2 }{ 4x + 7 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?
$f(x) = \dfrac{ 8x + 5 }{ 4x + 5 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?

Welche waagrechte Asymptote hat $f(x) = \dfrac{ 4x + 1}{x^2 + 6}$ ?
1. $y = 0$
2. $y = 4$
3. Keine, weil die Grade verschieden sind
Welche waagrechte Asymptote hat $f(x) = \dfrac{ 8x + 1}{x^2 + 5}$ ?
1. $y = 0$
2. $y = 8$
3. Keine, weil die Grade verschieden sind

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \dfrac{ 5x + 6 }{ 2x + 4 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2x + 2 }{ 4x + 7 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?
$f(x) = \dfrac{ 8x + 5 }{ 4x + 5 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?

Merkkarte

Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen

Senkrecht: Nullstellen des Nenners.
Waagrecht: Grade vergleichen. Zählergrad kleiner: $y = 0$ . Gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Größer: keine.

Achtung: die Leitkoeffizienten verwenden, nicht die Konstanten.

2. Gebrochenrationale Funktionen: Achsenschnittpunkte und Lücken

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$ . Gekürzt sieht das aus wie $x + 1$ . Ist $f$ genau dieselbe Funktion wie $x + 1$ ?

Fast: $f$ ist bei $x = 2$ nicht definiert
Ja, genau dieselbe

Die Grundidee

Der Zähler und ein gekürzter Faktor zeigen, wo der Graph die Achse trifft und wo er eine Lücke hat.

Nullstellen: Nullstellen des Zählers, die keine Nullstellen des Nenners sind. Definitionslücke (Loch): ein Faktor, der sich oben und unten kürzt; das Loch liegt bei diesem

x

, seine Höhe ist der Wert des gekürzten Terms dort. y-Achsenabschnitt:

f(0)

Beispiel

Untersuche $f(x) = \dfrac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 3)(x - 1)}$ .

f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 1}

für

x \neq 3

x − 3 kürzt sich.

Loch bei

\left(3\middle|\dfrac{7}{2}\right)

Gekürzter Term bei x = 3: 7/2.

Nullstelle:

x = -4

Verbleibende Nullstelle des Zählers.

Senkrechte Asymptote:

x = 1

Verbleibende Nullstelle des Nenners.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 5)}{x + 2}$ .

Loch bei

x = -2

x + 2 kürzt sich: f(x) = x − 5 für x ≠ −2.

Das Loch liegt bei

(-2|-7)

Gekürzter Term bei x = −2: −2 − 5.

Üben ★

Wo schneidet der Graph von $f(x) = \dfrac{x - 8}{x + 4}$ die $x$ -Achse? Gib $x$ an.
Wo schneidet der Graph von $f(x) = \dfrac{x - 5}{x + 1}$ die $x$ -Achse? Gib $x$ an.
Wo schneidet der Graph von $f(x) = \dfrac{x - 8}{x + 8}$ die $x$ -Achse? Gib $x$ an.
Wo schneidet der Graph von $f(x) = \dfrac{x - 3}{x + 7}$ die $x$ -Achse? Gib $x$ an.

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{(x - 5)(x + 6)}{x - 5}$ . Bei welchem $x$ hat der Graph ein Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 6)(x + 4)}{x - 6}$ . Bei welchem $x$ hat der Graph ein Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{x - 2}$ . Bei welchem $x$ hat der Graph ein Loch?

$f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1}$ hat ein Loch bei $x = 1$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7}$ hat ein Loch bei $x = 7$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1}$ hat ein Loch bei $x = 1$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7}$ hat ein Loch bei $x = 7$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 9)(x + 1)}{x - 9}$ hat ein Loch bei $x = 9$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?

Merkkarte

Nullstellen und Lücken

Gemeinsame Faktoren kürzen: Jeder hinterlässt ein Loch.
Höhe des Lochs: der gekürzte Term an diesem $x$ .
Nullstellen: verbleibende Nullstellen des Zählers; y-Achsenabschnitt: $f(0)$ .

Achtung: Nullstellen des Nenners ergeben Asymptoten, keine Nullstellen.

3. Uneigentliche Grenzwerte und senkrechte Asymptoten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Was passiert mit $\dfrac{1}{x}$ , wenn $x$ von rechts gegen 0 geht: $\dfrac{1}{0{,}1}, \dfrac{1}{0{,}01}, \dots$ ?

Es wächst unbegrenzt
Es nähert sich 0

Die Grundidee

In der Nähe einer Nullstelle des Nenners kann ein Quotient sehr groß werden.

Wächst

f(x)

unbegrenzt, wenn

x

von rechts oder von links gegen

a

geht, schreibt man

\lim f(x) = +\infty

(oder

-\infty

): Die Gerade

x = a

ist eine senkrechte Asymptote (Polstelle). Für das Vorzeichen setzt man einen Wert knapp rechts oder links von

a

ein.

Beispiel

Bestimme $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 3 \\ x < 3}} \dfrac{2}{x - 3}$ .

x - 3

ist eine kleine negative Zahl.

Knapp links von 3, zum Beispiel x = 2,99.

Der Quotient ist groß und negativ.

2 durch diese Zahl teilen.

Der Grenzwert ist

-\infty

Den Grenzwert notieren.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 16}$ . Wo liegen die senkrechten Asymptoten?

x = 4

oder

x = -4

x² − 16 = 0.

Asymptoten

x = 4

und

x = -4

Der Zähler ist dort nicht 0. Gib den negativen Wert ein.

Üben ★

Wie verhält sich $\dfrac{ 7 }{x - 6}$ , wenn $x$ von rechts gegen $6$ geht ( $x > 6$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$
Wie verhält sich $\dfrac{ 4 }{x - 3}$ , wenn $x$ von rechts gegen $3$ geht ( $x > 3$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$
Wie verhält sich $\dfrac{ 6 }{x - 7}$ , wenn $x$ von rechts gegen $7$ geht ( $x > 7$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$

Vorsicht!

Üben ★★

Wie verhält sich $\dfrac{ 6 }{x - 8}$ , wenn $x$ von links gegen $8$ geht ( $x < 8$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$
Wie verhält sich $\dfrac{ 7 }{x - 2}$ , wenn $x$ von links gegen $2$ geht ( $x < 2$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$
Wie verhält sich $\dfrac{ 9 }{x - 5}$ , wenn $x$ von links gegen $5$ geht ( $x < 5$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$

$f(x) = \dfrac{x + 8}{x^2 - 9}$ hat senkrechte Asymptoten. Für welchen positiven Wert $c$ ist $x = c$ eine Asymptote?
$f(x) = \dfrac{x + 4}{x^2 - 4}$ hat senkrechte Asymptoten. Für welchen positiven Wert $c$ ist $x = c$ eine Asymptote?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Wie verhält sich $\dfrac{ 6 }{x - 8}$ , wenn $x$ von links gegen $8$ geht ( $x < 8$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$
Wie verhält sich $\dfrac{ 7 }{x - 2}$ , wenn $x$ von links gegen $2$ geht ( $x < 2$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$
Wie verhält sich $\dfrac{ 9 }{x - 5}$ , wenn $x$ von links gegen $5$ geht ( $x < 5$ )?
1. Es geht gegen $+\infty$
2. Es geht gegen $-\infty$
3. Es geht gegen $0$

Merkkarte

Unendliche Grenzwerte

Nenner → 0, Zähler nicht 0: $\pm\infty$ , senkrechte Asymptote.
Für das Vorzeichen einen Wert knapp neben $a$ einsetzen.

Achtung: Links und rechts der Asymptote können die Vorzeichen verschieden sein.

4. Schräge Asymptoten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$ . Für große $x$ wird $\dfrac{1}{x - 1}$ sehr klein. Welcher Geraden nähert sich der Graph?

$y = x + 1$ $y = x + 1$ , eine schräge Asymptote." data-option="1"> $y = x + 1$
$x$ $x$ verschwindet nicht: Der Graph steigt mit, er nähert sich $y = x + 1$ ." data-option="2"> $y = 1$

Die Grundidee

Ist der Zählergrad um 1 größer als der Nennergrad, hat der Graph eine schräge Asymptote.

Schreibt man $f(x) = mx + c + \dfrac{r(x)}{q(x)}$ , wobei der Restbruch für $x \to \pm\infty$ gegen 0 geht, so ist $y = mx + c$ die schräge Asymptote.

Die Form erhält man mit Polynomdivision. Der Restbruch gehört nicht zur Asymptote.

Beispiel

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x + 1}$ . Bestimme die schräge Asymptote.

f(x) = x + 2 - \dfrac{1}{x + 1}

Polynomdivision: (x² + 3x + 1) : (x + 1) = x + 2, Rest −1.

\dfrac{-1}{x + 1} \to 0

für

x \to \pm\infty

Der Restbruch geht gegen 0.

y = x + 2

Asymptote.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 2x - 3 + \dfrac{5}{x}$ . Welchen y-Achsenabschnitt hat die schräge Asymptote?

y = 2x - 3

Restbruch weglassen.

-3

Abschnitt.

Üben ★

$f(x) = 4x + 6 + \dfrac{ 5 }{x - 3}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$
$f(x) = 2x + -6 + \dfrac{ 5 }{x - -3}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$

$f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + -1}{x + 1}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$

Vorsicht!

Üben ★★

Welche Funktion hat eine schräge Asymptote?
1. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 6}$
2. $g(x) = \dfrac{x + 1}{x - 6}$
3. $k(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x - 6}$

Abschlussaufgabe. $f(x) = \dfrac{x^2 - 4 + 7}{x - 2}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 4x + 6 + \dfrac{ 5 }{x - 3}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$
$f(x) = 2x + -6 + \dfrac{ 5 }{x - -3}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$
$f(x) = 2x + 1 + \dfrac{ 6 }{x - 0}$ . Gib die schräge Asymptote an: $y = \;?$

Merkkarte

Schräge Asymptoten

Zählergrad = Nennergrad + 1.
Polynomdivision: $f(x) = mx + c + \text{Restbruch}$ .
Asymptote: $y = mx + c$ .

Achtung: Den Restbruch weglassen, nicht addieren.

Lösungen: Gebrochen-rationale Funktionen

1. Gebrochenrationale Funktionen: senkrechte und waagerechte Asymptoten

$\frac{5}{2}$
$\frac{1}{2}$
$2$

$y = 0$
$y = 0$

$\frac{5}{2}$
$\frac{1}{2}$
$2$

2. Gebrochenrationale Funktionen: Achsenschnittpunkte und Lücken

$4$
$14$

$4$
$14$
$10$

3. Uneigentliche Grenzwerte und senkrechte Asymptoten

Es geht gegen $+\infty$
Es geht gegen $+\infty$
Es geht gegen $+\infty$

Es geht gegen $-\infty$
Es geht gegen $-\infty$
Es geht gegen $-\infty$

Es geht gegen $-\infty$
Es geht gegen $-\infty$
Es geht gegen $-\infty$

4. Schräge Asymptoten

$4 x + 6$
$2 x - 6$

$x + 2$

$f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 6}$

$4 x + 6$
$2 x - 6$
$2 x + 1$