Newton-Verfahren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die Gleichung $x^2 - 2 = 0$ hat die Lösung $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ . Die Tangente an $y = x^2 - 2$ bei $x_0 = 2$ schneidet die x-Achse bei $x_1$ . Liegt $x_1$ näher an $\sqrt{2}$ als $x_0$ ?

$y = 4(x - 2) + 2$ $y = 4 (x - 2) + 2$ schneidet die Achse bei 1,5, viel näher an 1,414." data-option="1">Ja, $x_1 = 1{,}5$
$x_1 = 2 - \\dfrac{2}{4} = 1{,}5$ $x1=2−dfrac24=1,5$ ." data-option="2">Nein, $x_1 = 2{,}5$

Die Grundidee

Man ersetzt den Graphen durch seine Tangente und nimmt deren Nullstelle als neuen Näherungswert.

Newton-Verfahren: Ausgehend von einem Startwert $x_0$ berechnet man $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ . Unter günstigen Bedingungen nähern sich die $x_n$ schnell einer Nullstelle von $f$ .

Das Verfahren versagt, wenn $f'(x_n) = 0$ ist (waagrechte Tangente), und kann bei ungünstigem Startwert zu einer anderen Nullstelle laufen oder springen.

Beispiel

$f(x) = x^2 - 2$ , $x_0 = 1$ . Berechne $x_1$ und $x_2$ .

x_1 = 1 - \dfrac{-1}{2} = 1{,}5

f(1) = −1, f'(1) = 2.

x_2 = 1{,}5 - \dfrac{0{,}25}{3} = \dfrac{17}{12}

f(1,5) = 0,25, f'(1,5) = 3.

\dfrac{17}{12} \approx 1{,}4167

, schon nahe an

\sqrt{2}

Vergleich.

Du bist dran

Jetzt du: $f(4) = 1$ und $f'(4) = 2$ . Berechne den nächsten Näherungswert $x_1$ für $x_0 = 4$ .

x_1 = 4 - \dfrac{1}{2}

Formel.

3{,}5

Ergebnis.

Üben ★

$f(x) = x^2 - 5$ . Berechne mit dem Newton-Verfahren aus $x_0 = 2$ den nächsten Wert $x_1$ .
$f(x) = x^2 - 19$ . Berechne mit dem Newton-Verfahren aus $x_0 = 3$ den nächsten Wert $x_1$ .

Für eine Funktion gilt $f(8) = 3$ und $f'(8) = 9$ . Berechne den Newton-Schritt $x_1$ für den Startwert $x_0 = 8$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Für den Startwert $x_0 = 3$ gilt $f'(3) = 0$ und $f(3) \neq 0$ . Was passiert beim Newton-Verfahren?
1. Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle
2. $x_1 = 3$ , das Verfahren ist fertig
3. $x_1 = 0$

Abschlussaufgabe. Mit dem Newton-Verfahren soll $\sqrt{ 37 }$ angenähert werden, als Nullstelle von $f(x) = x^2 - 37$ , mit dem Startwert $x_0 = 6$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = x^2 - 5$ . Berechne mit dem Newton-Verfahren aus $x_0 = 2$ den nächsten Wert $x_1$ .
$f(x) = x^2 - 19$ . Berechne mit dem Newton-Verfahren aus $x_0 = 3$ den nächsten Wert $x_1$ .
$f(x) = x^2 - 3$ . Berechne mit dem Newton-Verfahren aus $x_0 = 6$ den nächsten Wert $x_1$ .

Merkkarte

Newton-Verfahren

$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .
Geometrisch: Nullstelle der Tangente.
Versagt bei $f'(x_n) = 0$ .

Achtung: Den Bruch abziehen; $f$ oben, $f'$ unten.

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