Monotonie, Extrema, Krümmung und Newton-Verfahren

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Wo ist $f'(x) = 0$ für $f(x) = x^2 - 4x + 5$ ?
$f'(x) = 7(x - 1)^2$ . Wie verhält sich $f$ auf $\mathbb{R}$ ?
1. Monoton steigend
2. Monoton fallend
3. Erst fallend, dann steigend, weil $f'(1) = 0$
$f'(x) = 6(x - 1)^2$ . Wie verhält sich $f$ auf $\mathbb{R}$ ?
1. Monoton steigend
2. Monoton fallend
3. Erst fallend, dann steigend, weil $f'(1) = 0$
$f'(x) = 2(x - 1)^2$ . Wie verhält sich $f$ auf $\mathbb{R}$ ?
1. Monoton steigend
2. Monoton fallend
3. Erst fallend, dann steigend, weil $f'(1) = 0$
$f'(x) = 4(x - 1)^2$ . Wie verhält sich $f$ auf $\mathbb{R}$ ?
1. Monoton steigend
2. Monoton fallend
3. Erst fallend, dann steigend, weil $f'(1) = 0$
$f'(x) = 8(x - 1)^2$ . Wie verhält sich $f$ auf $\mathbb{R}$ ?
1. Monoton steigend
2. Monoton fallend
3. Erst fallend, dann steigend, weil $f'(1) = 0$
$f'(x) = 9(x - 1)^2$ . Wie verhält sich $f$ auf $\mathbb{R}$ ?
1. Monoton steigend
2. Monoton fallend
3. Erst fallend, dann steigend, weil $f'(1) = 0$
$f'(x) = 5(x - 1)^2$ . Wie verhält sich $f$ auf $\mathbb{R}$ ?
1. Monoton steigend
2. Monoton fallend
3. Erst fallend, dann steigend, weil $f'(1) = 0$
$f'(x) = 3(x - 1)^2$ . Wie verhält sich $f$ auf $\mathbb{R}$ ?
1. Monoton steigend
2. Monoton fallend
3. Erst fallend, dann steigend, weil $f'(1) = 0$
$f'(x) = x - 4$ . Auf welchem Intervall ist $f$ monoton steigend?
1. $[4; +\infty[$
2. $]-\infty; 4]$
3. Auf ganz $\mathbb{R}$
$f'(x) = x - 6$ . Auf welchem Intervall ist $f$ monoton steigend?
1. $[6; +\infty[$
2. $]-\infty; 6]$
3. Auf ganz $\mathbb{R}$
$f'(x) = x - 2$ . Auf welchem Intervall ist $f$ monoton steigend?
1. $[2; +\infty[$
2. $]-\infty; 2]$
3. Auf ganz $\mathbb{R}$
$f'(x) = x - 1$ . Auf welchem Intervall ist $f$ monoton steigend?
1. $[1; +\infty[$
2. $]-\infty; 1]$
3. Auf ganz $\mathbb{R}$
$f'(x) = x - 3$ . Auf welchem Intervall ist $f$ monoton steigend?
1. $[3; +\infty[$
2. $]-\infty; 3]$
3. Auf ganz $\mathbb{R}$
$f'(x) = x - 5$ . Auf welchem Intervall ist $f$ monoton steigend?
1. $[5; +\infty[$
2. $]-\infty; 5]$
3. Auf ganz $\mathbb{R}$
$f'$ wird bei $a$ null und wechselt dort von positiv zu negativ. Was hat $f$ bei $a$ ?
1. Ein lokales Maximum
2. Ein lokales Minimum
3. Nichts Besonderes
$f(x) = x^3 - 12x$ . An welcher Stelle $x$ hat $f$ ein lokales Maximum?
Hier ist der Graph der Ableitung $y = f'(x)$ . Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle, an der $f$ ein lokales Maximum hat.
Hier ist der Graph der Ableitung $y = f'(x)$ . Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle eines Wendepunkts von $f$ .
Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist $v(t) = t^2 + 4t$ in m/s. Seine Beschleunigung ist $a(t) = v'(t)$ . Berechne $a(6)$ in m/s².
An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von $f(x) = x^3 - 9x^2 + 2$ ?
$f(x) = x^{ 4 }$ erfüllt $f''(0) = 0$ . Hat der Graph bei 0 einen Wendepunkt?
1. Nein: $f''$ wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
2. Ja, weil $f''(0) = 0$
3. Ja, und es ist ein Maximum von $f$
$f(x) = x^{ 6 }$ erfüllt $f''(0) = 0$ . Hat der Graph bei 0 einen Wendepunkt?
1. Nein: $f''$ wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
2. Ja, weil $f''(0) = 0$
3. Ja, und es ist ein Maximum von $f$
Der Graph von $f'$ hat auf $\mathbb{R}$ genau ein Maximum, bei $x = 1$ . Was folgt für $f$ bei $x = 1$ ?
1. Der Graph von $f$ hat bei 1 einen Wendepunkt
2. $f$ hat bei 1 ein Maximum
3. $f'(1) = 0$
Der Graph von $f'$ hat auf $\mathbb{R}$ genau ein Maximum, bei $x = 5$ . Was folgt für $f$ bei $x = 5$ ?
1. Der Graph von $f$ hat bei 5 einen Wendepunkt
2. $f$ hat bei 5 ein Maximum
3. $f'(5) = 0$
Der Graph von $f'$ hat auf $\mathbb{R}$ genau ein Maximum, bei $x = 3$ . Was folgt für $f$ bei $x = 3$ ?
1. Der Graph von $f$ hat bei 3 einen Wendepunkt
2. $f$ hat bei 3 ein Maximum
3. $f'(3) = 0$
Der Graph von $f'$ hat auf $\mathbb{R}$ genau ein Maximum, bei $x = 2$ . Was folgt für $f$ bei $x = 2$ ?
1. Der Graph von $f$ hat bei 2 einen Wendepunkt
2. $f$ hat bei 2 ein Maximum
3. $f'(2) = 0$
Der Graph von $f'$ hat auf $\mathbb{R}$ genau ein Maximum, bei $x = 4$ . Was folgt für $f$ bei $x = 4$ ?
1. Der Graph von $f$ hat bei 4 einen Wendepunkt
2. $f$ hat bei 4 ein Maximum
3. $f'(4) = 0$
Hat der Graph von $f(x) = x^3$ bei 0 einen Wendepunkt?
1. Ja: $f'' = 6x$ wechselt bei 0 das Vorzeichen
2. Nein: Die Tangente bei 0 ist waagrecht
3. Nein: $f''(0) = 0$ reicht nie
$f(x) = x^3 - 3x^2$ . An welcher Stelle $x$ hat der Graph von $f$ einen Wendepunkt?
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 3$ . Was liegt bei $x = 8$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(6) = 0$ und $f''(6) = 7$ . Was liegt bei $x = 6$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(3) = 0$ und $f''(3) = 3$ . Was liegt bei $x = 3$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(5) = 0$ und $f''(5) = 4$ . Was liegt bei $x = 5$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(3) = 0$ und $f''(3) = 8$ . Was liegt bei $x = 3$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 5$ . Was liegt bei $x = 8$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(2) = 0$ und $f''(2) = 5$ . Was liegt bei $x = 2$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(4) = 0$ und $f''(4) = 7$ . Was liegt bei $x = 4$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 9$ . Was liegt bei $x = 8$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(2) = 0$ und $f''(2) = 7$ . Was liegt bei $x = 2$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(5) = 0$ und $f''(5) = 6$ . Was liegt bei $x = 5$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(7) = 0$ und $f''(7) = 2$ . Was liegt bei $x = 7$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(5) = 0$ und $f''(5) = 8$ . Was liegt bei $x = 5$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(5) = 0$ und $f''(5) = 2$ . Was liegt bei $x = 5$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(1) = 0$ und $f''(1) = 3$ . Was liegt bei $x = 1$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(5) = 0$ und $f''(5) = 9$ . Was liegt bei $x = 5$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(1) = 0$ und $f''(1) = 8$ . Was liegt bei $x = 1$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(3) = 0$ und $f''(3) = 1$ . Was liegt bei $x = 3$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(3) = 0$ und $f''(3) = 5$ . Was liegt bei $x = 3$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(9) = 0$ und $f''(9) = 3$ . Was liegt bei $x = 9$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(4) = 0$ und $f''(4) = 6$ . Was liegt bei $x = 4$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(1) = 0$ und $f''(1) = 1$ . Was liegt bei $x = 1$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(6) = 0$ und $f''(6) = 9$ . Was liegt bei $x = 6$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 8$ . Was liegt bei $x = 8$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 2$ . Was liegt bei $x = 8$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(5) = 0$ und $f''(5) = 1$ . Was liegt bei $x = 5$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(3) = 0$ und $f''(3) = 7$ . Was liegt bei $x = 3$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(7) = 0$ und $f''(7) = 8$ . Was liegt bei $x = 7$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(7) = 0$ und $f''(7) = 5$ . Was liegt bei $x = 7$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(5) = 0$ und $f''(5) = 7$ . Was liegt bei $x = 5$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(2) = 0$ und $f''(2) = 9$ . Was liegt bei $x = 2$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(4) = 0$ und $f''(4) = 2$ . Was liegt bei $x = 4$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(9) = 0$ und $f''(9) = 4$ . Was liegt bei $x = 9$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(9) = 0$ und $f''(9) = 2$ . Was liegt bei $x = 9$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(1) = 0$ und $f''(1) = 2$ . Was liegt bei $x = 1$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(2) = 0$ und $f''(2) = 1$ . Was liegt bei $x = 2$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(6) = 0$ und $f''(6) = 6$ . Was liegt bei $x = 6$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(1) = 0$ und $f''(1) = 7$ . Was liegt bei $x = 1$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(4) = 0$ und $f''(4) = 1$ . Was liegt bei $x = 4$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 4$ . Was liegt bei $x = 8$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(4) = 0$ und $f''(4) = 8$ . Was liegt bei $x = 4$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(1) = 0$ und $f''(1) = 5$ . Was liegt bei $x = 1$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(3) = 0$ und $f''(3) = 9$ . Was liegt bei $x = 3$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(9) = 0$ und $f''(9) = 5$ . Was liegt bei $x = 9$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(9) = 0$ und $f''(9) = 7$ . Was liegt bei $x = 9$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 7$ . Was liegt bei $x = 8$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(6) = 0$ und $f''(6) = 2$ . Was liegt bei $x = 6$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(7) = 0$ und $f''(7) = 1$ . Was liegt bei $x = 7$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(3) = 0$ und $f''(3) = 6$ . Was liegt bei $x = 3$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 1$ . Was liegt bei $x = 8$ vor?
1. Ein lokales Minimum
2. Ein lokales Maximum
3. Ein Wendepunkt
$f'(1) = 0$ und $f''(1) = 0$ . Was folgt für $x = 1$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f'(6) = 0$ und $f''(6) = 0$ . Was folgt für $x = 6$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f'(9) = 0$ und $f''(9) = 0$ . Was folgt für $x = 9$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f'(2) = 0$ und $f''(2) = 0$ . Was folgt für $x = 2$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f'(3) = 0$ und $f''(3) = 0$ . Was folgt für $x = 3$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f'(5) = 0$ und $f''(5) = 0$ . Was folgt für $x = 5$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f'(7) = 0$ und $f''(7) = 0$ . Was folgt für $x = 7$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f'(8) = 0$ und $f''(8) = 0$ . Was folgt für $x = 8$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f'(4) = 0$ und $f''(4) = 0$ . Was folgt für $x = 4$ ?
1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
2. Es ist ein Wendepunkt
3. Es ist ein lokales Maximum
$f(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x$ , und es gilt $f'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x$ . An welcher Stelle $x$ hat $f$ sein Minimum?
$f(x) = x\mathrm{e}^{ 3x }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = x^2 - 4x + 6$ . An welcher Stelle $x$ liegt das Minimum?
$f(x) = x^2 - 2x + 1$ . Wie groß ist das Minimum von $f$ ?
$f(x) = x^2 - 5$ . Berechne mit dem Newton-Verfahren aus $x_0 = 2$ den nächsten Wert $x_1$ .
Für eine Funktion gilt $f(8) = 3$ und $f'(8) = 9$ . Berechne den Newton-Schritt $x_1$ für den Startwert $x_0 = 8$ .
Für den Startwert $x_0 = 3$ gilt $f'(3) = 0$ und $f(3) \neq 0$ . Was passiert beim Newton-Verfahren?
1. Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle
2. $x_1 = 3$ , das Verfahren ist fertig
3. $x_1 = 0$
Für den Startwert $x_0 = 2$ gilt $f'(2) = 0$ und $f(2) \neq 0$ . Was passiert beim Newton-Verfahren?
1. Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle
2. $x_1 = 2$ , das Verfahren ist fertig
3. $x_1 = 0$
Für den Startwert $x_0 = 1$ gilt $f'(1) = 0$ und $f(1) \neq 0$ . Was passiert beim Newton-Verfahren?
1. Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle
2. $x_1 = 1$ , das Verfahren ist fertig
3. $x_1 = 0$
Für den Startwert $x_0 = 5$ gilt $f'(5) = 0$ und $f(5) \neq 0$ . Was passiert beim Newton-Verfahren?
1. Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle
2. $x_1 = 5$ , das Verfahren ist fertig
3. $x_1 = 0$
Für den Startwert $x_0 = 4$ gilt $f'(4) = 0$ und $f(4) \neq 0$ . Was passiert beim Newton-Verfahren?
1. Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle
2. $x_1 = 4$ , das Verfahren ist fertig
3. $x_1 = 0$

Lösungen

$2$
Monoton steigend
$[4; +\infty[$
Ein lokales Maximum
$-2$
$(-3, 0)$
$(-1, 4)$
$16$
$3$
Nein: $f''$ wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
Der Graph von $f$ hat bei 1 einen Wendepunkt
Ja: $f'' = 6x$ wechselt bei 0 das Vorzeichen
$1$
Ein lokales Minimum
Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
$5$
$3 x e^{3 x} + e^{3 x}$
$2$
$0$
$\frac{9}{4}$
$\frac{23}{3}$
Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle