Monotonie, Extrema, Krümmung und Newton-Verfahren

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Vorzeichen der Ableitung und Monotonie

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Auf einem Intervall ist überall f′(x)>0f'(x) > 0. Wie verhält sich ff?

  1. Streng monoton steigend
  2. Positiv

Die Grundidee

Das Vorzeichen von f′f' zeigt das Monotonieverhalten.

Monotoniekriterium auf einem Intervall: f′≥0  ⟺  ff' \geq 0 \iff f monoton steigend; f′≤0  ⟺  ff' \leq 0 \iff f monoton fallend; f′=0  ⟺  ff' = 0 \iff f konstant.

Beispiel

Untersuche f(x)=x2−6x+1f(x) = x^2 - 6x + 1.

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6
Ableitung.
f′(x)≥0  ⟺  x≥3f'(x) \geq 0 \iff x \geq 3
Vorzeichen.
ff fällt auf ]−∞;3]]-\infty; 3] und steigt auf [3;+∞[[3; +\infty[.
Monotonie.

Du bist dran

Jetzt du: Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2+8xf(x) = x^2 + 8x?

−4-4
2x + 8 = 0.

Üben ★

  1. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5?
  2. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−8x+8f(x) = x^2 - 8x + 8?
  3. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f′(x)=7(x−1)2f'(x) = 7(x - 1)^2. Wie verhält sich ff auf R\mathbb{R}?
    1. Monoton steigend
    2. Monoton fallend
    3. Erst fallend, dann steigend, weil f′(1)=0f'(1) = 0
  2. f′(x)=6(x−1)2f'(x) = 6(x - 1)^2. Wie verhält sich ff auf R\mathbb{R}?
    1. Monoton steigend
    2. Monoton fallend
    3. Erst fallend, dann steigend, weil f′(1)=0f'(1) = 0
  1. f′(x)=x−4f'(x) = x - 4. Auf welchem Intervall ist ff monoton steigend?
    1. [4;+∞[[4; +\infty[
    2. ]−∞;4]]-\infty; 4]
    3. Auf ganz R\mathbb{R}
  1. f′f' wird bei aa null und wechselt dort von positiv zu negativ. Was hat ff bei aa?
    1. Ein lokales Maximum
    2. Ein lokales Minimum
    3. Nichts Besonderes

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5?
  2. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−8x+8f(x) = x^2 - 8x + 8?
  3. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8?

Merkkarte

Monotonie

  • f′≥0f' \geq 0: ff steigt. f′≤0f' \leq 0: ff fällt.
  • Man fasst es in einer Monotonietabelle zusammen.

Achtung: Vorzeichen von f′f' und Vorzeichen von ff nicht verwechseln.

2. Kritische Stellen und das Vorzeichenwechselkriterium

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Hochpunkt eines Graphen hat eine waagrechte Tangente. Kurz davor steigt der Graph, kurz danach fällt er. Was macht f′f' an einem Hochpunkt?

  1. Es wechselt von ++ nach −-
  2. Es wechselt von −- nach ++

Die Grundidee

Extrema liegen dort, wo f′f' das Vorzeichen wechselt.

Kandidaten für Extremstellen sind die Stellen cc mit f′(c)=0f'(c) = 0 (oder an denen f′f' nicht existiert). Vorzeichenwechselkriterium: Wechselt f′f' bei cc von ++ nach −-, hat ff dort ein lokales Maximum; von −- nach ++ ein lokales Minimum; ohne Vorzeichenwechsel kein Extremum.

Beispiel

f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. Bestimme die lokalen Extrema.

f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)
f' faktorisieren.
Vorzeichen: + ∣ − ∣ ++\ |\ -\ |\ +
Vorzeichentabelle: + vor −2, − dazwischen, + nach 2.
Lokales Maximum bei x=−2x = -2, lokales Minimum bei x=2x = 2
+ nach − bei −2; − nach + bei 2.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=x2−6xf(x) = x^2 - 6x.

Kandidat x=3x = 3
f'(x) = 2x − 6 = 0.
Lokales Minimum bei x=3x = 3
− vor 3, + danach: ein Minimum.

Üben ★

  1. f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?
  2. f(x)=x3−27xf(x) = x^3 - 27x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?
  1. Hier ist der Graph der Ableitung y=f′(x)y = f'(x). Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle, an der ff ein lokales Maximum hat.
  2. Hier ist der Graph der Ableitung y=f′(x)y = f'(x). Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle, an der ff ein lokales Maximum hat.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f′(x)=(x−−3)(x−5)2f'(x) = (x - -3)(x - 5)^2. Kreuze alle wahren Aussagen an.
    1. ff hat bei x=−3x = -3 ein lokales Minimum
    2. ff ist für x>−3x > -3 monoton steigend
    3. ff hat bei x=−3x = -3 ein lokales Maximum
    4. ff hat bei x=5x = 5 ein lokales Extremum
  2. f′(x)=(x−0)(x−4)2f'(x) = (x - 0)(x - 4)^2. Kreuze alle wahren Aussagen an.
    1. ff hat bei x=0x = 0 ein lokales Minimum
    2. ff ist für x>0x > 0 monoton steigend
    3. ff hat bei x=0x = 0 ein lokales Maximum
    4. ff hat bei x=4x = 4 ein lokales Extremum

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?
  2. f(x)=x3−27xf(x) = x^3 - 27x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?
  3. f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?

Merkkarte

Vorzeichenwechselkriterium

  1. Nullstellen von f′f' bestimmen.
  2. Vorzeichentabelle von f′f'.
  3. +→−+ \to -: Maximum; −→+- \to +: Minimum; kein Wechsel: keins von beiden.

Achtung: f′(c)=0f'(c) = 0 allein ergibt noch kein Extremum.

3. Die zweite Ableitung, Krümmung und Beschleunigung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Die violette Kurve ist der Graph von y=x3y = x^3. Die blaue Gerade ist seine Tangente bei x=ax = a. Verschiebe aa von −2-2 bis 22.

Der Graph von y = x³ und seine Tangente bei x = a. Für a < 0 liegt der Graph unter seiner Tangente, für a > 0 darüber. Der Wechsel geschieht bei x = 0.

Für a>0a > 0 liegt der Graph über seinen Tangenten, und die Steigungen 3a23a^2 wachsen. Wie ist er gekrümmt?

  1. Linksgekrümmt
  2. Rechtsgekrümmt

Die Grundidee

Die Ableitung der Ableitung zeigt, wie sich die Steigung ändert.

f′′f'' ist die Ableitung von f′f': die zweite Ableitung. Ist f′′≥0f'' \geq 0 auf einem Intervall, so ist f′f' dort steigend und der Graph linksgekrümmt; ist f′′≤0f'' \leq 0, so ist f′f' fallend und der Graph rechtsgekrümmt. In der Physik ist die Beschleunigung a(t)=v′(t)a(t) = v'(t), die zweite Ableitung des Orts.

Beispiel

v(t)=t2+4tv(t) = t^2 + 4t in m/s. Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt t=3t = 3.

a(t)=v′(t)=2t+4a(t) = v'(t) = 2t + 4
Die Geschwindigkeit ableiten.
a(3)=10a(3) = 10 m/s²
t = 3 einsetzen.

Du bist dran

Jetzt du: dasselbe v(t)v(t) zum Zeitpunkt t=1t = 1.

a(1)=6a(1) = 6 m/s²
2 · 1 + 4.

Üben ★

  1. Auf dem Intervall ]2;8[]2; 8[ ist ff steigend und der Graph rechtsgekrümmt. Kreuze alle wahren Aussagen für dieses Intervall an.
    1. f′(x)>0f'(x) > 0
    2. f′′(x)<0f''(x) < 0
    3. f′f' ist fallend: Der Graph steigt immer langsamer
    4. f′′(x)>0f''(x) > 0, weil ff steigend ist
    5. f′(x)<0f'(x) < 0, weil der Graph rechtsgekrümmt ist
  1. Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist v(t)=t2+4tv(t) = t^2 + 4t in m/s. Seine Beschleunigung ist a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Berechne a(6)a(6) in m/s².
  2. Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist v(t)=t2+1tv(t) = t^2 + 1t in m/s. Seine Beschleunigung ist a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Berechne a(6)a(6) in m/s².

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Hier ist der Graph der Ableitung y=f′(x)y = f'(x). Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle eines Wendepunkts von ff.
  2. Hier ist der Graph der Ableitung y=f′(x)y = f'(x). Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle eines Wendepunkts von ff.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist v(t)=t2+4tv(t) = t^2 + 4t in m/s. Seine Beschleunigung ist a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Berechne a(6)a(6) in m/s².
  2. Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist v(t)=t2+1tv(t) = t^2 + 1t in m/s. Seine Beschleunigung ist a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Berechne a(6)a(6) in m/s².
  3. Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist v(t)=t2+6tv(t) = t^2 + 6t in m/s. Seine Beschleunigung ist a(t)=v′(t)a(t) = v'(t). Berechne a(6)a(6) in m/s².

Merkkarte

Zweite Ableitung

  • f′′≥0f'' \geq 0: f′f' steigt, linksgekrümmt. f′′≤0f'' \leq 0: f′f' fällt, rechtsgekrümmt.
  • Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.

Achtung: f′f' sagt, ob der Graph steigt oder fällt; f′′f'' sagt, wie er gekrümmt ist.

4. Wendepunkte und Krümmung am Graphen ablesen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Der Graph von y=x3y = x^3 durchsetzt bei x=0x = 0 seine Tangente. Was geschieht in diesem Punkt?

  1. f′′(x)=6xf''(x) = 6x wechselt bei 0 das Vorzeichen. Der Graph wechselt von rechts- zu linksgekrümmt." data-option="1">Der Graph wechselt die Krümmung
  2. f′(0)=0f'(0) = 0 ergibt hier kein Extremum: ff ist überall steigend. Aber f′′f'' wechselt bei 0 das Vorzeichen." data-option="2">ff hat ein Maximum

Die Grundidee

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, in dem der Graph seine Tangente durchsetzt.

In einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung: f′′f'' wird null und wechselt das Vorzeichen. Am Graphen von f′f' ist es ein Extrempunkt von f′f'.

Achtung: f′′(a)=0f''(a) = 0 reicht nicht. Es braucht einen Vorzeichenwechsel.

Beispiel

Hat der Graph von f(x)=x4f(x) = x^4 bei 0 einen Wendepunkt?

f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^2
Zweimal ableiten.
f′′(0)=0f''(0) = 0
f'' ist bei 0 null.
Kein Vorzeichenwechsel: kein Wendepunkt.
Aber 12x² bleibt auf beiden Seiten von 0 positiv.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=x3−9x2f(x) = x^3 - 9x^2. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt?

6x−18=06x - 18 = 0
f''(x) = 6x − 18.
x=3x = 3
f'' wechselt dort das Vorzeichen.

Üben ★

  1. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−9x2+2f(x) = x^3 - 9x^2 + 2?
  2. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3?
  3. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−6x2+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 1?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f(x)=x4f(x) = x^{ 4 } erfüllt f′′(0)=0f''(0) = 0. Hat der Graph bei 0 einen Wendepunkt?
    1. Nein: f′′f'' wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
    2. Ja, weil f′′(0)=0f''(0) = 0
    3. Ja, und es ist ein Maximum von ff
  2. f(x)=x6f(x) = x^{ 6 } erfüllt f′′(0)=0f''(0) = 0. Hat der Graph bei 0 einen Wendepunkt?
    1. Nein: f′′f'' wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
    2. Ja, weil f′′(0)=0f''(0) = 0
    3. Ja, und es ist ein Maximum von ff
  1. Der Graph von f′f' hat auf R\mathbb{R} genau ein Maximum, bei x=1x = 1. Was folgt für ff bei x=1x = 1?
    1. Der Graph von ff hat bei 1 einen Wendepunkt
    2. ff hat bei 1 ein Maximum
    3. f′(1)=0f'(1) = 0
  2. Der Graph von f′f' hat auf R\mathbb{R} genau ein Maximum, bei x=5x = 5. Was folgt für ff bei x=5x = 5?
    1. Der Graph von ff hat bei 5 einen Wendepunkt
    2. ff hat bei 5 ein Maximum
    3. f′(5)=0f'(5) = 0
  1. Hat der Graph von f(x)=x3f(x) = x^3 bei 0 einen Wendepunkt?
    1. Ja: f′′=6xf'' = 6x wechselt bei 0 das Vorzeichen
    2. Nein: Die Tangente bei 0 ist waagrecht
    3. Nein: f′′(0)=0f''(0) = 0 reicht nie

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−9x2+2f(x) = x^3 - 9x^2 + 2?
  2. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3?
  3. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−6x2+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 1?

Merkkarte

Wendepunkt

  • Der Graph durchsetzt dort seine Tangente, die Krümmung wechselt.
  • f′′f'' wird null mit Vorzeichenwechsel.

Achtung: Bei x4x^4 ist f′′(0)=0f''(0) = 0, aber es gibt keinen Wendepunkt.

5. Das Kriterium der zweiten Ableitung und Wendepunkte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

In einem Punkt mit waagrechter Tangente ist der Graph flach. Ist er dort linksgekrümmt, wie eine Schüssel: Ist der Punkt ein Maximum oder ein Minimum?

  1. Ein Minimum
  2. Ein Maximum

Die Grundidee

Die zweite Ableitung kann eine Stelle mit waagrechter Tangente einordnen und zeigt Krümmungswechsel.

Hinreichendes Kriterium mit f′′f'': Ist f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)>0f''(c) > 0, liegt ein lokales Minimum vor; bei f′′(c)<0f''(c) < 0 ein lokales Maximum; bei f′′(c)=0f''(c) = 0 ist keine Aussage möglich. Ein Wendepunkt liegt dort, wo f′′f'' das Vorzeichen wechselt.

Beispiel

f(x)=x3−6x2f(x) = x^3 - 6x^2. Ordne die Stellen mit waagrechter Tangente ein und bestimme den Wendepunkt.

Kandidaten 00 und 44
f' = 3x² − 12x = 3x(x − 4).
Lokales Maximum bei 00, lokales Minimum bei 44
f'' = 6x − 12: f''(0) = −12, f''(4) = 12.
Wendepunkt bei x=2x = 2
f'' wechselt bei x = 2 das Vorzeichen.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=x3−9x2f(x) = x^3 - 9x^2. Wo liegt der Wendepunkt?

x=3x = 3
f''(x) = 6x − 18.

Üben ★

  1. f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?
  2. f(x)=x3−12x2f(x) = x^3 - 12x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?
  1. f′(8)=0f'(8) = 0 und f′′(8)=3f''(8) = 3. Was liegt bei x=8x = 8 vor?
    1. Ein lokales Minimum
    2. Ein lokales Maximum
    3. Ein Wendepunkt

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f′(1)=0f'(1) = 0 und f′′(1)=0f''(1) = 0. Was folgt für x=1x = 1?
    1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
    2. Es ist ein Wendepunkt
    3. Es ist ein lokales Maximum

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?
  2. f(x)=x3−12x2f(x) = x^3 - 12x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?
  3. f(x)=x3−15x2f(x) = x^3 - 15x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?

Merkkarte

Kriterium mit der zweiten Ableitung

  • f′=0f' = 0, f′′>0f'' > 0: Minimum. f′=0f' = 0, f′′<0f'' < 0: Maximum. f′′=0f'' = 0: keine Aussage.
  • Wendepunkt: f′′f'' wechselt das Vorzeichen.

Achtung: f′′(c)=0f''(c) = 0 reicht für einen Wendepunkt nicht.

6. Eine Funktion untersuchen: Ableitung, Grenzwerte, Monotonie

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Für f(x)=xe−xf(x) = x\mathrm{e}^{-x} soll die Monotonietabelle erstellt werden. Womit beginnt man?

  1. Mit f′(x)f'(x) und seinem Vorzeichen
  2. Mit einigen Funktionswerten von ff

Die Grundidee

Eine Kurvendiskussion besteht aus wenigen Schritten.

  1. f′(x)f'(x) bestimmen und faktorisieren.
  2. Das Vorzeichen von f′(x)f'(x) untersuchen.
  3. Das Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge bestimmen.
  4. Die Monotonietabelle aufstellen und die Extrema berechnen.

Beispiel

Untersuche f(x)=xe−xf(x) = x\mathrm{e}^{-x} auf R\mathbb{R}.

f′(x)=e−x−xe−x=(1−x)e−xf'(x) = \mathrm{e}^{-x} - x\mathrm{e}^{-x} = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}
Produktregel, mit (e⁻ˣ)' = −e⁻ˣ.
ff steigt auf ]−∞;1]]-\infty; 1] und fällt auf [1;+∞[[1; +\infty[
e⁻ˣ > 0: Das Vorzeichen ist das von 1 − x.
f(1)=e−1f(1) = \mathrm{e}^{-1}
Das Maximum liegt bei 1.
lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=(x−2)exf(x) = (x - 2)\mathrm{e}^{x} mit f′(x)=(x−1)exf'(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x. Wo hat ff sein Minimum?

x=1x = 1
f' wechselt von negativ zu positiv, wo x − 1 null wird.

Üben ★

  1. f(x)=(x−6)exf(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x, und es gilt f′(x)=(x−5)exf'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x. An welcher Stelle xx hat ff sein Minimum?
  2. f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x, und es gilt f′(x)=(x−0)exf'(x) = (x - 0)\mathrm{e}^x. An welcher Stelle xx hat ff sein Minimum?
  3. f(x)=(x−3)exf(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x, und es gilt f′(x)=(x−2)exf'(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x. An welcher Stelle xx hat ff sein Minimum?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f(x)=xe3xf(x) = x\mathrm{e}^{ 3x }. Bestimme f′(x)f'(x).
  2. f(x)=xe5xf(x) = x\mathrm{e}^{ 5x }. Bestimme f′(x)f'(x).
  1. Abschlussaufgabe. Untersucht wird f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1 auf R\mathbb{R}.
  1. f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6. An welcher Stelle xx liegt das Minimum?
  1. f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1. Wie groß ist das Minimum von ff?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=(x−6)exf(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x, und es gilt f′(x)=(x−5)exf'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x. An welcher Stelle xx hat ff sein Minimum?
  2. f(x)=(x−1)exf(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x, und es gilt f′(x)=(x−0)exf'(x) = (x - 0)\mathrm{e}^x. An welcher Stelle xx hat ff sein Minimum?
  3. f(x)=(x−3)exf(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x, und es gilt f′(x)=(x−2)exf'(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x. An welcher Stelle xx hat ff sein Minimum?

Merkkarte

Kurvendiskussion

  1. f′(x)f'(x), faktorisiert.
  2. Vorzeichen von f′f'.
  3. Grenzwerte.
  4. Monotonietabelle.

Achtung: eu\mathrm{e}^{u} ist immer positiv und ändert das Vorzeichen nicht.

7. Newton-Verfahren

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Die Gleichung x2−2=0x^2 - 2 = 0 hat die Lösung 2≈1,414\sqrt{2} \approx 1{,}414. Die Tangente an y=x2−2y = x^2 - 2 bei x0=2x_0 = 2 schneidet die x-Achse bei x1x_1. Liegt x1x_1 näher an 2\sqrt{2} als x0x_0?

  1. y=4(x−2)+2y = 4(x - 2) + 2 schneidet die Achse bei 1,5, viel näher an 1,414." data-option="1">Ja, x1=1,5x_1 = 1{,}5
  2. x1=2−dfrac24=1,5x_1 = 2 - \\dfrac{2}{4} = 1{,}5." data-option="2">Nein, x1=2,5x_1 = 2{,}5

Die Grundidee

Man ersetzt den Graphen durch seine Tangente und nimmt deren Nullstelle als neuen Näherungswert.

Newton-Verfahren: Ausgehend von einem Startwert x0x_0 berechnet man xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}. Unter günstigen Bedingungen nähern sich die xnx_n schnell einer Nullstelle von ff.

Das Verfahren versagt, wenn f′(xn)=0f'(x_n) = 0 ist (waagrechte Tangente), und kann bei ungünstigem Startwert zu einer anderen Nullstelle laufen oder springen.

Beispiel

f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2, x0=1x_0 = 1. Berechne x1x_1 und x2x_2.

x1=1−−12=1,5x_1 = 1 - \dfrac{-1}{2} = 1{,}5
f(1) = −1, f'(1) = 2.
x2=1,5−0,253=1712x_2 = 1{,}5 - \dfrac{0{,}25}{3} = \dfrac{17}{12}
f(1,5) = 0,25, f'(1,5) = 3.
1712≈1,4167\dfrac{17}{12} \approx 1{,}4167, schon nahe an 2\sqrt{2}
Vergleich.

Du bist dran

Jetzt du: f(4)=1f(4) = 1 und f′(4)=2f'(4) = 2. Berechne den nächsten Näherungswert x1x_1 für x0=4x_0 = 4.

x1=4−12x_1 = 4 - \dfrac{1}{2}
Formel.
3,53{,}5
Ergebnis.

Üben ★

  1. f(x)=x2−5f(x) = x^2 - 5. Berechne mit dem Newton-Verfahren aus x0=2x_0 = 2 den nächsten Wert x1x_1.
  2. f(x)=x2−19f(x) = x^2 - 19. Berechne mit dem Newton-Verfahren aus x0=3x_0 = 3 den nächsten Wert x1x_1.
  1. Für eine Funktion gilt f(8)=3f(8) = 3 und f′(8)=9f'(8) = 9. Berechne den Newton-Schritt x1x_1 für den Startwert x0=8x_0 = 8.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Für den Startwert x0=3x_0 = 3 gilt f′(3)=0f'(3) = 0 und f(3)≠0f(3) \neq 0. Was passiert beim Newton-Verfahren?
    1. Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle
    2. x1=3x_1 = 3, das Verfahren ist fertig
    3. x1=0x_1 = 0
  1. Abschlussaufgabe. Mit dem Newton-Verfahren soll 37\sqrt{ 37 } angenähert werden, als Nullstelle von f(x)=x2−37f(x) = x^2 - 37, mit dem Startwert x0=6x_0 = 6.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=x2−5f(x) = x^2 - 5. Berechne mit dem Newton-Verfahren aus x0=2x_0 = 2 den nächsten Wert x1x_1.
  2. f(x)=x2−19f(x) = x^2 - 19. Berechne mit dem Newton-Verfahren aus x0=3x_0 = 3 den nächsten Wert x1x_1.
  3. f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3. Berechne mit dem Newton-Verfahren aus x0=6x_0 = 6 den nächsten Wert x1x_1.

Merkkarte

Newton-Verfahren

  • xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Geometrisch: Nullstelle der Tangente.
  • Versagt bei f′(xn)=0f'(x_n) = 0.

Achtung: Den Bruch abziehen; ff oben, f′f' unten.

Lösungen: Monotonie, Extrema, Krümmung und Newton-Verfahren

1. Vorzeichen der Ableitung und Monotonie

A

  1. 22
  2. 44
  3. 11

B

  1. Monoton steigend
  2. Monoton steigend

C

  1. [4;+∞[[4; +\infty[

D

  1. Ein lokales Maximum

E

  1. 22
  2. 44
  3. 11

2. Kritische Stellen und das Vorzeichenwechselkriterium

A

  1. −2-2
  2. −3-3

B

  1. (−3,0)(-3, 0)
  2. (−1,0)(-1, 0)

C

  1. ff hat bei x=−3x = -3 ein lokales Minimum · ff ist für x>−3x > -3 monoton steigend
  2. ff hat bei x=0x = 0 ein lokales Minimum · ff ist für x>0x > 0 monoton steigend

D

  1. −2-2
  2. −3-3
  3. −1-1

3. Die zweite Ableitung, Krümmung und Beschleunigung

A

  1. f′(x)>0f'(x) > 0 · f′′(x)<0f''(x) < 0 · f′f' ist fallend: Der Graph steigt immer langsamer

B

  1. 1616
  2. 1313

C

  1. (−1,4)(-1, 4)
  2. (−1,1)(-1, 1)

D

  1. 1616
  2. 1313
  3. 1818

4. Wendepunkte und Krümmung am Graphen ablesen

A

  1. 33
  2. 11
  3. 22

B

  1. Nein: f′′f'' wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
  2. Nein: f′′f'' wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen

C

  1. Der Graph von ff hat bei 1 einen Wendepunkt
  2. Der Graph von ff hat bei 5 einen Wendepunkt

D

  1. Ja: f′′=6xf'' = 6x wechselt bei 0 das Vorzeichen

E

  1. 33
  2. 11
  3. 22

5. Das Kriterium der zweiten Ableitung und Wendepunkte

A

  1. 11
  2. 44

B

  1. Ein lokales Minimum

C

  1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein

D

  1. 11
  2. 44
  3. 55

6. Eine Funktion untersuchen: Ableitung, Grenzwerte, Monotonie

A

  1. 55
  2. 00
  3. 22

B

  1. 3xe3x+e3x3 x e^{3 x} + e^{3 x}
  2. 5xe5x+e5x5 x e^{5 x} + e^{5 x}

C

  1. 22

D

  1. 22

E

  1. 00

F

  1. 55
  2. 00
  3. 22

7. Newton-Verfahren

A

  1. 94\frac{9}{4}
  2. 143\frac{14}{3}

B

  1. 233\frac{23}{3}

C

  1. Es bricht ab: Die Tangente ist waagrecht und hat keine Nullstelle

D

  1. 7312\frac{73}{12}

E

  1. 94\frac{9}{4}
  2. 143\frac{14}{3}
  3. 134\frac{13}{4}