Ableitungen von Sinus und Kosinus

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die violetten Kurven sind die Graphen von $y = \sin x$ und $y = \cos x$ ; die blaue Gerade ist die Tangente an den Sinusgraphen bei $x = a$ . Verschiebe $a$ und vergleiche die Steigung der Tangente mit der Höhe des Kosinus bei $x = a$ .

Der Sinusgraph, der Kosinusgraph und die Tangente an den Sinusgraphen bei x = a. Die Steigung der Tangente ist immer gleich der Höhe des Kosinus bei a.

Bei $a = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ hat der Sinus sein Maximum. Wie groß ist dort die Steigung, und wie groß ist $\cos\dfrac{\pi}{2}$ ?

Beide sind 0
Beide sind 1

Die Grundidee

Mit $x$ im Bogenmaß gilt:

\sin' = \cos

und

\cos' = -\sin

. Für differenzierbares

u

:

(\sin u)' = u'\cos u

und

(\cos u)' = -u'\sin u

.

Beispiel

$f(x) = 3\sin x - 4\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .

(3\sin x)' = 3\cos x

sin' = cos.

(-4\cos x)' = 4\sin x

cos' = −sin, und minus mal minus ist plus.

f'(x) = 3\cos x + 4\sin x

Zusammenfassen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 2\cos x + x^2$ .

f'(x) = -2\sin x + 2x

−2 sin x und 2x.

Üben ★

$f(x) = 3\sin x + 5\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 5\sin x + 7\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 5\sin x + 9\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen von $y = \sin x$ bei $x = \dfrac{\pi}{ 2 }$ ? Gib den exakten Wert an.
Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen von $y = \sin x$ bei $x = \dfrac{\pi}{ 3 }$ ? Gib den exakten Wert an.

$f(x) = 4x - 4\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4x - 8\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 3\sin x + 5\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 5\sin x + 7\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 5\sin x + 9\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Ableitungen von sin und cos

$\sin' = \cos$ .
$\cos' = -\sin$ .

Achtung: Das Minuszeichen gehört zur Ableitung des Kosinus; die Regeln gelten für $x$ im Bogenmaß.

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