Ableitung und Stammfunktion: Produkt- und Kettenregel, e-Funktion, Sinus und Kosinus

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Stammfunktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Welche Funktion hat die Ableitung $3x^2$ ?

$x^3$
$6x$

Die Grundidee

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$ auf einem Intervall, wenn $F' = f$ gilt. Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Wichtige Stammfunktionen: $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ für $n \neq -1$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ auf $]0; +\infty[$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x}$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos x \to \sin x$ ; $\sin x \to -\cos x$ .

Beispiel

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 4x^3 + \sin x$ mit $F(0) = 2$ .

F(x) = x^4 - \cos x + C

Summandenweise.

C = 3

F(0) = 0 − 1 + C = 2.

F(x) = x^4 - \cos x + 3

Probe durch Ableiten.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 6x^2$ mit $F(0) = 0$ .

F(x) = 2x^3

6x³/3.

Üben ★

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 4x^{ 3 } + 9$ mit $F(0) = 0$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 2x^{ 2 } + 8$ mit $F(0) = 0$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 5x^{ 4 } + 6$ mit $F(0) = 0$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \cos x + \mathrm{e}^x$ mit $F(0) = 6$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \cos x + \mathrm{e}^x$ mit $F(0) = 4$ .

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{1}{x}$ für $x > 0$ mit $F(1) = -9$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{1}{x}$ für $x > 0$ mit $F(1) = 8$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 4x^{ 3 } + 9$ mit $F(0) = 0$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 2x^{ 2 } + 8$ mit $F(0) = 0$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 5x^{ 4 } + 6$ mit $F(0) = 0$ .

Merkkarte

Stammfunktionen

$x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos \to \sin$ ; $\sin \to -\cos$ .
Ein gegebener Funktionswert legt $C$ fest.

Achtung: Mach immer die Probe durch Ableiten.

2. Die Produktregel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = x$ und $g(x) = x$ , also $f(x) \cdot g(x) = x^2$ . Ist $(x^2)'$ gleich $f'(x) \cdot g'(x) = 1 \cdot 1$ ?

Nein
Ja

Die Grundidee

Jeder Faktor wird einmal abgeleitet, während der andere stehen bleibt.

Produktregel:

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

Beispiel

$h(x) = x^3 \mathrm{e}^x$ . Bestimme $h'(x)$ .

f' = 3x^2

g' = \mathrm{e}^x

f = x³, g = eˣ.

h'(x) = 3x^2 \mathrm{e}^x + x^3 \mathrm{e}^x

f'g + fg'.

h'(x) = x^2 \mathrm{e}^x (3 + x)

Ausklammern, wenn du willst.

Du bist dran

Jetzt du: $h(x) = x\cos x$ .

f' = 1

g' = -\sin x

f = x, g = cos x.

h'(x) = \cos x - x\sin x

f'g + fg'.

Üben ★

$f(x) = x^{ 2 }\sin x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = x^{ 3 }\sin x$ . Bestimme $f'(x)$ .

$f(x) = (x + 3)\mathrm{e}^x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 8)\mathrm{e}^x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(2) = 4$ , $f'(2) = 4$ , $g(2) = -4$ und $g'(2) = -1$ . Bestimme $(fg)'(2)$ .
$f(2) = -4$ , $f'(2) = -2$ , $g(2) = 2$ und $g'(2) = 3$ . Bestimme $(fg)'(2)$ .
$f(2) = -1$ , $f'(2) = 1$ , $g(2) = 5$ und $g'(2) = -1$ . Bestimme $(fg)'(2)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = x^{ 2 }\sin x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = x^{ 3 }\sin x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = x^{ 5 }\sin x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Produktregel

$(fg)' = f'g + fg'$ : einen Faktor ableiten, den anderen stehen lassen, dann umgekehrt.

Achtung: $(fg)' \neq f'g'$ .

3. Die Kettenregel

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Die violette Kurve ist der Graph von $y = \sin x$ , die blaue der von $y = \sin(kx)$ . Vergrößere $k$ .

Die Graphen von y = sin x und y = sin(kx). Für k = 2 schwingt die blaue Kurve doppelt so schnell, und ihre größte Steigung ist 2 statt 1.

Für $k = 2$ läuft die blaue Kurve doppelt so schnell. Welche Steigung hat die Tangente an $y = \sin(2x)$ bei $x = 0$ ?

Die Grundidee

Bei einer Verkettung leitest du die äußere Funktion ab, lässt die innere stehen und multiplizierst mit der Ableitung der inneren.

Kettenregel:

\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \cdot u'(x)

: äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Beispiel

$h(x) = (x^2 + 1)^5$ . Bestimme $h'(x)$ .

v(u) = u^5

und

u(x) = x^2 + 1

Außen die 5. Potenz, innen x² + 1.

h'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x

v'(u) = 5u⁴ mit stehen gelassener innerer Funktion, und u'(x) = 2x.

h'(x) = 10x(x^2 + 1)^4

Ordnen.

Du bist dran

Jetzt du: $h(x) = \mathrm{e}^{3x}$ .

h'(x) = 3\mathrm{e}^{3x}

Außen exp, innen 3x: mal 3.

Üben ★

$f(x) = (6x + 7)^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (7x + 6)^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (3x + 5)^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \sin(4x^2)$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \sin(6x^2)$ . Bestimme $f'(x)$ .

$f(x) = \mathrm{e}^{ 5x^2}$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \mathrm{e}^{ 4x^2}$ . Bestimme $f'(x)$ .

Abschlussaufgabe. $h(x) = x^{ 3 }\sin(4x)$ . Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen bei $x = \dfrac{\pi}{ 4 }$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = (6x + 7)^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (7x + 6)^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (3x + 5)^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Kettenregel

$\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \cdot u'(x)$ : äußere Ableitung (innere Funktion stehen lassen) mal innere Ableitung.

Achtung: Vergiss den Faktor $u'(x)$ nicht.

4. Die Zahl e und Exponentialfunktionen zur Basis e

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Berechne $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ für $x = 1$ , $10$ , $100$ und $1000$ mit dem Taschenrechner.

Was fällt dir auf, wenn $x$ größer wird?

Die Grundidee

Die Werte nähern sich einer Zahl, der Eulerschen Zahl $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ . Funktionen mit der Basis $\mathrm{e}$ beschreiben stetiges Wachstum.

Stetiges Wachstum mit der Rate

r

(als Dezimalzahl):

A(t) = A_0 \cdot \mathrm{e}^{rt}

In $f(t) = a \cdot \mathrm{e}^{kt}$ wird $f$ multipliziert mit $\mathrm{e}^{k}$ , wenn $t$ um 1 wächst.

Beispiel

Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $a(t) = 10\mathrm{e}^{t}$ mm². Mit welchem Faktor wächst er pro Tag, und wie groß ist er nach 2 Tagen?

Faktor pro Tag:

\mathrm{e} \approx 2{,}718

Hier ist k = 1: Jeder Tag multipliziert die Fläche mit e¹.

a(2) = 10\mathrm{e}^{2}

t = 2 einsetzen.

a(2) \approx 73{,}9

mm²

e² ≈ 7,389.

Du bist dran

Jetzt du: 500 Euro wachsen stetig mit 4 % pro Jahr. Ergänze die fehlende Zeile.

r = 0{,}04

4 % als Dezimalzahl.

A(t) = 500\mathrm{e}^{0{,}04t}

A₀ · e^(rt) verwenden.

Üben ★

Auf einem Konto liegen 400 Euro, die stetig mit 3 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.
Auf einem Konto liegen 100 Euro, die stetig mit 8 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.
Auf einem Konto liegen 300 Euro, die stetig mit 3 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.
Auf einem Konto liegen 600 Euro, die stetig mit 6 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.
Auf einem Konto liegen 500 Euro, die stetig mit 5 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 2\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 3\mathrm{e}^{ 1t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 7\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 2\mathrm{e}^{ 2t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 3\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 2\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 3\mathrm{e}^{ 1t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 7\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.

Merkkarte

Die Eulersche Zahl $\mathrm{e}$

$\mathrm{e} \approx 2{,}718$ , der Grenzwert von $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ .
Stetiges Wachstum mit der Rate $r$ : $A(t) = A_0 \cdot \mathrm{e}^{rt}$ .
In $a \cdot \mathrm{e}^{kt}$ ist der Faktor pro Einheit von $t$ gleich $\mathrm{e}^{k}$ .

Achtung: „stetig mit r“ ist nicht „einmal pro Jahr mit 1 + r“.

5. Exponentialfunktion: Definition und Eigenschaften

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Es gibt genau eine differenzierbare Funktion auf $\mathbb{R}$ mit $f' = f$ und $f(0) = 1$ . Welche?

Die Exponentialfunktion
Die Quadratfunktion

Die Grundidee

Die Exponentialfunktion macht aus Summen im Exponenten Produkte.

$\exp' = \exp$ und $\exp(0) = 1$ . Man schreibt $\mathrm{e}^x = \exp(x)$ , mit $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ .

$\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$ ; $\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$ ; $\mathrm{e}^{x - y} = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^y}$ ; $(\mathrm{e}^x)^n = \mathrm{e}^{nx}$ .

Beispiel

Vereinfache $\dfrac{\mathrm{e}^{3x} \cdot \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{x}}$ .

\dfrac{\mathrm{e}^{3x + 2}}{\mathrm{e}^x}

Produkt im Zähler.

\mathrm{e}^{2x + 2}

Quotient.

Du bist dran

Jetzt du: Vereinfache $\mathrm{e}^{x} \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .

1

e⁰.

Üben ★

Vereinfache $\mathrm{e}^{ 2x } \cdot \mathrm{e}^{ 3x }$ .
Vereinfache $\mathrm{e}^{ 2x } \cdot \mathrm{e}^{ 4x }$ .
Vereinfache $\mathrm{e}^{ 8x } \cdot \mathrm{e}^{ 3x }$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Vereinfache $\dfrac{\mathrm{e}^{ 8x }}{\mathrm{e}^{ 3x }}$ .
Vereinfache $\dfrac{\mathrm{e}^{ 9x }}{\mathrm{e}^{ 1x }}$ .

Vereinfache $\left(\mathrm{e}^{ 4x }\right)^{ 5 }$ .

Welches Vorzeichen hat $\mathrm{e}^x$ ?
1. Positiv für jede reelle Zahl $x$
2. Negativ für $x < 0$
3. Null bei 0

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Vereinfache $\mathrm{e}^{ 2x } \cdot \mathrm{e}^{ 3x }$ .
Vereinfache $\mathrm{e}^{ 2x } \cdot \mathrm{e}^{ 4x }$ .
Vereinfache $\mathrm{e}^{ 8x } \cdot \mathrm{e}^{ 3x }$ .

Merkkarte

Exponentialfunktion

$\exp' = \exp$ , $\exp(0) = 1$ .
$\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$ .

Achtung: $\mathrm{e}^{x + y}$ ist nicht $\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^y$ .

6. Ableitungen von Exponentialfunktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die violette Kurve ist $y = \mathrm{e}^x$ , die blaue Gerade ihre Tangente bei $x = a$ . Verschiebe $a$ und vergleiche die Steigung der Geraden mit der Höhe des Punkts.

Die Kurve y = eˣ und ihre Tangente bei x = a. Die Steigung der Tangente ist gleich der Höhe eᵃ des Berührpunkts.

Bei $a = 0$ ist der Punkt $(0|1)$ . Welche Steigung hat die Tangente dort?

Die Grundidee

Der Exponent ist variabel, also gilt die Potenzregel nicht.

(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x

. Für jede Basis

b > 0

(b^x)' = b^x \ln b

Beispiel

$f(x) = 3\mathrm{e}^x - 2^x$ . Bestimme $f'(x)$ .

(3\mathrm{e}^x)' = 3\mathrm{e}^x

eˣ ist seine eigene Ableitung.

(2^x)' = 2^x \ln 2

Basis 2: mal ln 2.

f'(x) = 3\mathrm{e}^x - 2^x \ln 2

Zusammenfassen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 5\mathrm{e}^x + x^3$ .

f'(x) = 5\mathrm{e}^x + 3x^2

5eˣ bleibt; x³ ergibt 3x².

Üben ★

$f(x) = 8\mathrm{e}^x + 5x^2$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4\mathrm{e}^x + 6x^2$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 7\mathrm{e}^x + 4x^2$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = 3^x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4^x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Bestimme die Steigung der Tangente an $y = 8\mathrm{e}^x + 1$ bei $x = 0$ .
Bestimme die Steigung der Tangente an $y = 2\mathrm{e}^x + 4$ bei $x = 0$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 3^x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4^x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 2^x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Exponentialfunktionen

$(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$ .
$(b^x)' = b^x \ln b$ .

Achtung: $x^n$ (variable Basis) und $b^x$ (variabler Exponent) haben verschiedene Regeln.

7. Ableitungen von Sinus und Kosinus

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die violetten Kurven sind die Graphen von $y = \sin x$ und $y = \cos x$ ; die blaue Gerade ist die Tangente an den Sinusgraphen bei $x = a$ . Verschiebe $a$ und vergleiche die Steigung der Tangente mit der Höhe des Kosinus bei $x = a$ .

Der Sinusgraph, der Kosinusgraph und die Tangente an den Sinusgraphen bei x = a. Die Steigung der Tangente ist immer gleich der Höhe des Kosinus bei a.

Bei $a = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ hat der Sinus sein Maximum. Wie groß ist dort die Steigung, und wie groß ist $\cos\dfrac{\pi}{2}$ ?

Beide sind 0
Beide sind 1

Die Grundidee

Mit $x$ im Bogenmaß gilt:

\sin' = \cos

und

\cos' = -\sin

. Für differenzierbares

u

(\sin u)' = u'\cos u

und

(\cos u)' = -u'\sin u

Beispiel

$f(x) = 3\sin x - 4\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .

(3\sin x)' = 3\cos x

sin' = cos.

(-4\cos x)' = 4\sin x

cos' = −sin, und minus mal minus ist plus.

f'(x) = 3\cos x + 4\sin x

Zusammenfassen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 2\cos x + x^2$ .

f'(x) = -2\sin x + 2x

−2 sin x und 2x.

Üben ★

$f(x) = 3\sin x + 5\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 5\sin x + 7\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 5\sin x + 9\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen von $y = \sin x$ bei $x = \dfrac{\pi}{ 2 }$ ? Gib den exakten Wert an.
Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen von $y = \sin x$ bei $x = \dfrac{\pi}{ 3 }$ ? Gib den exakten Wert an.

$f(x) = 4x - 4\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4x - 8\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 3\sin x + 5\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 5\sin x + 7\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 5\sin x + 9\cos x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Ableitungen von sin und cos

$\sin' = \cos$ .
$\cos' = -\sin$ .

Achtung: Das Minuszeichen gehört zur Ableitung des Kosinus; die Regeln gelten für $x$ im Bogenmaß.

Lösungen: Ableitung und Stammfunktion: Produkt- und Kettenregel, e-Funktion, Sinus und Kosinus

1. Stammfunktionen

$x^{4} + 9 x$
$\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x$
$x^{5} + 6 x$

$e^{x} + \sin{\left(x \right)} + 5$
$e^{x} + \sin{\left(x \right)} + 3$

$\ln{\left(x \right)} - 9$
$\ln{\left(x \right)} + 8$

$x^{4} + 9 x$
$\frac{2 x^{3}}{3} + 8 x$
$x^{5} + 6 x$

2. Die Produktregel

$x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}$
$x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)}$

$\left(x + 4\right) e^{x}$
$\left(x + 9\right) e^{x}$

$-20$
$-16$
$6$

$x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}$
$x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)}$
$x^{5} \cos{\left(x \right)} + 5 x^{4} \sin{\left(x \right)}$

3. Die Kettenregel

$24 \left(6 x + 7\right)^{3}$
$28 \left(7 x + 6\right)^{3}$
$12 \left(3 x + 5\right)^{3}$

$8 x \cos{\left(4 x^{2} \right)}$
$12 x \cos{\left(6 x^{2} \right)}$

$10 x e^{5 x^{2}}$
$8 x e^{4 x^{2}}$

$- \frac{\pi^{3}}{16}$

$24 \left(6 x + 7\right)^{3}$
$28 \left(7 x + 6\right)^{3}$
$12 \left(3 x + 5\right)^{3}$

4. Die Zahl e und Exponentialfunktionen zur Basis e

$400 e^{\frac{3 t}{100}}$
$100 e^{\frac{2 t}{25}}$
$300 e^{\frac{3 t}{100}}$
$600 e^{\frac{3 t}{50}}$
$500 e^{\frac{t}{20}}$

$e^{4}$
$e$
$e^{4}$
$e^{2}$
$e^{4}$

$e^{4}$
$e$
$e^{4}$

5. Exponentialfunktion: Definition und Eigenschaften

$e^{5 x}$
$e^{6 x}$
$e^{11 x}$

$e^{5 x}$
$e^{8 x}$

$e^{20 x}$

Positiv für jede reelle Zahl $x$

$e^{5 x}$
$e^{6 x}$
$e^{11 x}$

6. Ableitungen von Exponentialfunktionen

$10 x + 8 e^{x}$
$12 x + 4 e^{x}$
$8 x + 7 e^{x}$

$3^{x} \ln{\left(3 \right)}$
$4^{x} \ln{\left(4 \right)}$

$3^{x} \ln{\left(3 \right)}$
$4^{x} \ln{\left(4 \right)}$
$2^{x} \ln{\left(2 \right)}$

7. Ableitungen von Sinus und Kosinus

$- 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}$
$- 7 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$
$- 9 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$

$0$
$\frac{1}{2}$

$4 \sin{\left(x \right)} + 4$
$8 \sin{\left(x \right)} + 4$

$- 5 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}$
$- 7 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$
$- 9 \sin{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$