Binomialverteilung: Schwellenwerte und Intervalle

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Münze zeigt „Zahl“ mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{2}$ . Man möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $0{,}99$ mindestens einmal „Zahl“. Wie berechnet man $P(X \geq 1)$ am einfachsten?

$1 - P(X = 0)$
$P(X = 1)$

Die Grundidee

Taschenrechner oder Tabellenkalkulation liefern die kumulierten Wahrscheinlichkeiten $P(X \leq k)$ .

$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$ .

„Mindestens“-Aufgaben: Gesucht ist die kleinste ganze Zahl $k$ mit $P(X \leq k) \geq \alpha$ oder das kleinste $n$ mit $1 - (1 - p)^n \geq \alpha$ .

Beispiel

Bestimme das kleinste $n$ mit $1 - 0{,}5^n \geq 0{,}99$ .

0{,}5^n \leq 0{,}01

Die Potenz isolieren.

n = 7

0,5⁶ ≈ 0,0156 und 0,5⁷ ≈ 0,0078.

Du bist dran

Jetzt du: $P(X \leq 5) = 0{,}9$ und $P(X \leq 2) = 0{,}3$ . Wie groß ist $P(3 \leq X \leq 5)$ ?

0{,}6

0,9 − 0,3.

Üben ★

$X$ ist nach $B\left(6; \dfrac{1}{ 2 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{ 3 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{ 4 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Bestimme die kleinste ganze Zahl $n$ mit $1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 1 - \dfrac{1}{10^{ 2 }}$ .
Bestimme die kleinste ganze Zahl $n$ mit $1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 1 - \dfrac{1}{10^{ 3 }}$ .

$X$ ist nach $B\left(3; \dfrac{1}{2}\right)$ verteilt. Berechne $P(1 \leq X \leq 2)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{2}\right)$ verteilt. Berechne $P(1 \leq X \leq 4)$ .

$X$ ist nach $B\left(4; \dfrac{1}{2}\right)$ verteilt. Berechne $P(X = 1)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$X$ ist nach $B\left(6; \dfrac{1}{ 2 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{ 3 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{ 4 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .

Merkkarte

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$ .
„Mindestens einmal“: über das Gegenereignis.

Achtung: auf das $a - 1$ achten.

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