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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Mit Lösungen

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1. Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Eine Münze wird zweimal geworfen; $X$ ist die Anzahl von „Zahl“. Welche Werte nimmt $X$ an?

$0$ , $1$ , $2$
$1$ , $2$

Die Grundidee

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von

X

gibt

P(X = x_i)

für jeden Wert an. Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ist 1.

Beispiel

Verteilung von $X$ bei zwei Münzwürfen.

P(X = 0) = \dfrac{1}{4}

KK.

P(X = 1) = \dfrac{1}{2}

ZK oder KZ.

P(X = 2) = \dfrac{1}{4}

ZZ.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist $P(X \geq 1)$ für diese Verteilung?

\dfrac{3}{4}

1/2 + 1/4.

Üben ★

$X$ nimmt drei Werte an; zwei davon haben die Wahrscheinlichkeiten $\dfrac{ 1 }{10}$ und $\dfrac{ 3 }{10}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des dritten?
$X$ nimmt drei Werte an; zwei davon haben die Wahrscheinlichkeiten $\dfrac{ 4 }{10}$ und $\dfrac{ 4 }{10}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des dritten?
$X$ nimmt drei Werte an; zwei davon haben die Wahrscheinlichkeiten $\dfrac{ 3 }{10}$ und $\dfrac{ 3 }{10}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des dritten?

Vorsicht!

Üben ★★

$P(X = 0) = \dfrac{ 2 }{10}$ , $P(X = 1) = \dfrac{ 2 }{10}$ , und $X$ nimmt auch den Wert 2 an. Bestimme $P(X \geq 1)$ .
$P(X = 0) = \dfrac{ 3 }{10}$ , $P(X = 1) = \dfrac{ 3 }{10}$ , und $X$ nimmt auch den Wert 2 an. Bestimme $P(X \geq 1)$ .

$P(X = 1) = \dfrac{ 2 }{10}$ , $P(X = 2) = \dfrac{ 3 }{10}$ , und $X$ nimmt nur die Werte 0, 1 und 2 an. Bestimme $P(X \geq 1)$ .

Wie groß ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?
1. 1
2. 0
3. Die Anzahl der Werte

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$X$ nimmt drei Werte an; zwei davon haben die Wahrscheinlichkeiten $\dfrac{ 1 }{10}$ und $\dfrac{ 3 }{10}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des dritten?
$X$ nimmt drei Werte an; zwei davon haben die Wahrscheinlichkeiten $\dfrac{ 4 }{10}$ und $\dfrac{ 4 }{10}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des dritten?
$X$ nimmt drei Werte an; zwei davon haben die Wahrscheinlichkeiten $\dfrac{ 3 }{10}$ und $\dfrac{ 3 }{10}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des dritten?

Merkkarte

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Werte und Wahrscheinlichkeiten.
Summe = 1.

Achtung: Prüfe immer die Summe.

2. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Spiel bringt mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ genau 10 € und sonst 0 €. Wie hoch ist der mittlere Gewinn?

$1$ €
$5$ €

Die Grundidee

Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert.

$E(X) = \displaystyle\sum x_i \cdot P(X = x_i)$ .

$Var(X) = \displaystyle\sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)$ und $\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$ .

Beispiel

$X$ ist 0 oder 2, jeweils mit $P = \dfrac{1}{2}$ .

E(X) = 1

Erwartungswert.

Var(X) = 1 \cdot \dfrac{1}{2} + 1 \cdot \dfrac{1}{2} = 1

Varianz.

\sigma(X) = 1

Standardabweichung.

Du bist dran

Jetzt du: $X$ ist 1 mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}2$ , sonst 0. Berechne $E(X)$ .

0{,}2

1 · 0,2.

Üben ★

$X$ ist 6 mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 4 }$ und sonst 0. Berechne $E(X)$ .
$X$ ist 3 mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 7 }$ und sonst 0. Berechne $E(X)$ .
$X$ ist 5 mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 4 }$ und sonst 0. Berechne $E(X)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$X$ ist $-6$ oder $6$ , jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{2}$ . Berechne $Var(X)$ .
$X$ ist $-5$ oder $5$ , jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{2}$ . Berechne $Var(X)$ .

Abschlussaufgabe. Ein Spiel kostet 1 € und bringt mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 4 }$ genau 2 €, sonst nichts.

$E(X) = 7$ . Berechne $E(4X + 2)$ .

$Var(X) = 3$ . Berechne $Var(3X + 2)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$X$ ist 6 mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 4 }$ und sonst 0. Berechne $E(X)$ .
$X$ ist 3 mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 7 }$ und sonst 0. Berechne $E(X)$ .
$X$ ist 5 mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 4 }$ und sonst 0. Berechne $E(X)$ .

Merkkarte

Erwartungswert und Varianz

$E(X) = \sum x_i \cdot p_i$ .
$\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$ .

Achtung: Mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten.

3. Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Los gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 genau 10 Euro, sonst nichts. Wie viel gewinnt man auf lange Sicht im Mittel pro Los?

1 Euro
5 Euro

Die Grundidee

Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße.

E(X) = \mu = \sum x \cdot P(X = x)

, der Mittelwert auf lange Sicht.

Var(X) = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(X = x)

und

\sigma = \sqrt{Var(X)}

. Ist

X

mit der Wahrscheinlichkeit

p

gleich 1 und sonst 0:

\mu = p

Var(X) = p(1 - p)

Beispiel

$X$ : 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,3, 0,4, 0,3.

E(X) = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 = 1

Σ x · P(X = x).

Var(X) = 0{,}3 + 0 + 0{,}3 = 0{,}6

Σ (x − 1)² · P(X = x).

\sigma = \sqrt{0{,}6} \approx 0{,}77

Wurzel ziehen.

Du bist dran

Jetzt du: $X$ = 0, 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,6, 0,4. Bestimme $E(X)$ .

2

5 · 0,4.

Üben ★

X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 51/100, 15/100 und 34/100 an. Bestimme E(X).
X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 56/100, 25/100 und 19/100 an. Bestimme E(X).

Ein Spiel kostet 1 Euro. Mit der Wahrscheinlichkeit 1/7 gewinnst du netto 9 Euro; sonst ist dein Euro verloren. Bestimme deinen erwarteten Nettogewinn in Euro.

Vorsicht!

Üben ★★

X = 1 mit der Wahrscheinlichkeit 7/10, sonst X = 0. Bestimme die Standardabweichung von X.
X = 1 mit der Wahrscheinlichkeit 9/10, sonst X = 0. Bestimme die Standardabweichung von X.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 51/100, 15/100 und 34/100 an. Bestimme E(X).
X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 56/100, 25/100 und 19/100 an. Bestimme E(X).
X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 77/100, 10/100 und 13/100 an. Bestimme E(X).

Merkkarte

Erwartungswert und Standardabweichung

$E(X) = \sum x \cdot P(X = x)$ ; $\sigma = \sqrt{\sum (x - \mu)^2 \cdot P(X = x)}$ .

Achtung: Mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten; Verluste mitzählen.

4. Kombinationen und Binomialkoeffizienten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Aus einer Gruppe von 5 Schülerinnen und Schülern werden 2 für einen Ausflug ausgewählt. Das Paar Ana-Ben ist dasselbe wie Ben-Ana. Wie viele Paare gibt es?

Die Grundidee

Eine Kombination von $k$ Elementen ist eine Teilmenge mit $k$ Elementen: ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung.

$\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Man liest „ $n$ über $k$ “. Zu jeder Teilmenge gehören $k!$ geordnete Listen, deshalb teilt man durch $k!$ .

Beispiel

Berechne $\dbinom{6}{2}$ und deute das Ergebnis.

\dbinom{6}{2} = \dfrac{6 \cdot 5}{2!}

Zwei Faktoren im Zähler, weil k = 2.

\dbinom{6}{2} = 15

2! = 2.

Es gibt 15 Möglichkeiten, 2 Elemente aus 6 auszuwählen.

Deutung: Teilmengen mit 2 Elementen.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne $\dbinom{7}{3}$ .

\dbinom{7}{3} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6}

Drei Faktoren, geteilt durch 3! = 6.

35

210 : 6.

Üben ★

Berechne $\dbinom{ 11 }{ 2 }$ .
Berechne $\dbinom{ 12 }{ 3 }$ .
Berechne $\dbinom{ 12 }{ 2 }$ .

Vorsicht!

Üben ★★

In einem Team aus 21 Personen wird eine Dreiergruppe ohne besondere Rollen gebildet. Wie viele verschiedene Gruppen gibt es?
In einem Team aus 7 Personen wird eine Dreiergruppe ohne besondere Rollen gebildet. Wie viele verschiedene Gruppen gibt es?

In einer Klasse mit 17 Schülerinnen und Schülern werden ein Klassensprecher und ein Stellvertreter ausgelost. Mit welcher Rechnung erhältst du die Anzahl der möglichen Auslosungen?
1. $17 \cdot 16$
2. $\dbinom{ 17 }{2}$
3. $17^2$
In einer Klasse mit 18 Schülerinnen und Schülern werden ein Klassensprecher und ein Stellvertreter ausgelost. Mit welcher Rechnung erhältst du die Anzahl der möglichen Auslosungen?
1. $18 \cdot 17$
2. $\dbinom{ 18 }{2}$
3. $18^2$

Ein Verein hat 6 Mädchen und 3 Jungen. Es werden 2 Mädchen und 1 Junge ausgewählt. Wie viele Gruppen sind möglich?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $\dbinom{ 11 }{ 2 }$ .
Berechne $\dbinom{ 12 }{ 3 }$ .
Berechne $\dbinom{ 12 }{ 2 }$ .

Merkkarte

Kombinationen

$\dbinom{n}{k}$ : Anzahl der Teilmengen mit $k$ Elementen einer Menge mit $n$ Elementen.
$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .

Achtung: Wenn die Reihenfolge zählt, ist es keine Kombination.

5. Die Binomialverteilung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie viele Folgen enthalten genau einmal Zahl?

Die Grundidee

Ein Bernoulli-Experiment hat zwei Ergebnisse: Treffer mit der Wahrscheinlichkeit $p$ und Niete. Eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ wiederholt es $n$ -mal unabhängig.

Die Anzahl

X

der Treffer ist binomialverteilt nach

B(n; p)

P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}

, wobei

\binom{n}{k}

die Pfade im Baumdiagramm mit

k

Treffern zählt.

Beispiel

$X$ ist nach $B(5; 0{,}2)$ verteilt. Berechne $P(X = 2)$ .

\binom{5}{2} = 10

Anzahl der Pfade.

0{,}2^2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}02048

Wahrscheinlichkeit eines Pfads.

P(X = 2) = 0{,}2048

Multiplizieren.

Du bist dran

Jetzt du: $X$ ist nach $B\left(4; \dfrac{1}{2}\right)$ verteilt. Berechne $P(X = 1)$ .

\dfrac{1}{4}

4 · (½)⁴.

Üben ★

Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 6 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 5 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.
Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 5 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 6 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.

Welche Situation lässt sich mit einer Binomialverteilung beschreiben?
1. Die Anzahl von „Zahl“ bei 9 Würfen einer fairen Münze
2. Die Anzahl der Würfe bis zur ersten „Zahl“
3. Die Anzahl der Asse unter 9 Karten, die ohne Zurücklegen gezogen werden

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Samenkorn keimt mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 4 }$ , unabhängig von den anderen. Es werden 6 Körner gesät. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei keimen.
Ein Samenkorn keimt mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 3 }$ , unabhängig von den anderen. Es werden 8 Körner gesät. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei keimen.

Abschlussaufgabe. Ein Bauteil einer Maschine ist mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 5 }$ defekt, unabhängig von den anderen. Vier Bauteile werden geprüft; $X$ zählt die defekten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 6 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 5 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.
Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 5 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 6 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.
Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{ 2 }$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 7 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.

Merkkarte

Binomialverteilung

$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$ für $X$ nach $B(n; p)$ .

Achtung: Mit der Anzahl der Pfade multiplizieren.

6. Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine faire Münze wird 100-mal geworfen. Wie oft erwartet man im Mittel „Zahl“?

Die Grundidee

Eine binomialverteilte Zufallsgröße ist die Summe von $n$ unabhängigen Bernoulli-Größen.

Ist

X

nach

B(n; p)

verteilt, so gilt

E(X) = n \cdot p

Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)

und

\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}

Beispiel

$X$ ist nach $B(50; 0{,}3)$ verteilt.

E(X) = 15

n · p.

Var(X) = 10{,}5

n · p · (1 − p).

\sigma(X) \approx 3{,}24

Wurzel.

Du bist dran

Jetzt du: $n = 200$ , $p = 0{,}1$ . Berechne den Erwartungswert.

20

200 · 0,1.

Üben ★

$X$ ist binomialverteilt mit $n = 91$ und $p = \dfrac{1}{ 9 }$ . Berechne $E(X)$ .
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 87$ und $p = \dfrac{1}{ 8 }$ . Berechne $E(X)$ .

$X$ ist binomialverteilt mit $n = 70$ und $p = \dfrac{1}{ 5 }$ . Berechne $\sigma(X)$ .
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 71$ und $p = \dfrac{1}{ 2 }$ . Berechne $\sigma(X)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Multiple-Choice-Test hat 87 Fragen mit je 4 Antworten. Jemand kreuzt alle zufällig an. Was bedeutet $E(X) = \frac{87}{4}$ ?
1. Bei sehr vielen zufällig ausgefüllten Tests liegt die mittlere Anzahl richtiger Antworten nahe bei \frac{87}{4}
2. Es werden genau \frac{87}{4} Antworten richtig sein
3. \frac{87}{4} ist das bestmögliche Ergebnis

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$X$ ist binomialverteilt mit $n = 91$ und $p = \dfrac{1}{ 9 }$ . Berechne $E(X)$ .
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 87$ und $p = \dfrac{1}{ 8 }$ . Berechne $E(X)$ .
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 59$ und $p = \dfrac{1}{ 5 }$ . Berechne $E(X)$ .

Merkkarte

Erwartungswert und Standardabweichung

$E(X) = n \cdot p$ und $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .

Achtung: Die Standardabweichung ist die Wurzel aus $n \cdot p \cdot (1 - p)$ .

7. Binomialverteilung: Schwellenwerte und Intervalle

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Münze zeigt „Zahl“ mit der Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{2}$ . Man möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $0{,}99$ mindestens einmal „Zahl“. Wie berechnet man $P(X \geq 1)$ am einfachsten?

$1 - P(X = 0)$
$P(X = 1)$

Die Grundidee

Taschenrechner oder Tabellenkalkulation liefern die kumulierten Wahrscheinlichkeiten $P(X \leq k)$ .

$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$ .

„Mindestens“-Aufgaben: Gesucht ist die kleinste ganze Zahl $k$ mit $P(X \leq k) \geq \alpha$ oder das kleinste $n$ mit $1 - (1 - p)^n \geq \alpha$ .

Beispiel

Bestimme das kleinste $n$ mit $1 - 0{,}5^n \geq 0{,}99$ .

0{,}5^n \leq 0{,}01

Die Potenz isolieren.

n = 7

0,5⁶ ≈ 0,0156 und 0,5⁷ ≈ 0,0078.

Du bist dran

Jetzt du: $P(X \leq 5) = 0{,}9$ und $P(X \leq 2) = 0{,}3$ . Wie groß ist $P(3 \leq X \leq 5)$ ?

0{,}6

0,9 − 0,3.

Üben ★

$X$ ist nach $B\left(6; \dfrac{1}{ 2 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{ 3 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{ 4 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Bestimme die kleinste ganze Zahl $n$ mit $1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 1 - \dfrac{1}{10^{ 2 }}$ .
Bestimme die kleinste ganze Zahl $n$ mit $1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 1 - \dfrac{1}{10^{ 3 }}$ .

$X$ ist nach $B\left(3; \dfrac{1}{2}\right)$ verteilt. Berechne $P(1 \leq X \leq 2)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{2}\right)$ verteilt. Berechne $P(1 \leq X \leq 4)$ .

$X$ ist nach $B\left(4; \dfrac{1}{2}\right)$ verteilt. Berechne $P(X = 1)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$X$ ist nach $B\left(6; \dfrac{1}{ 2 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{ 3 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .
$X$ ist nach $B\left(5; \dfrac{1}{ 4 }\right)$ verteilt. Berechne $P(X \geq 1)$ .

Merkkarte

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$ .
„Mindestens einmal“: über das Gegenereignis.

Achtung: auf das $a - 1$ achten.

Lösungen: Zufallsgrößen und Binomialverteilung

1. Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung

$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{2}{5}$

$\frac{4}{5}$
$\frac{7}{10}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{5}$
$\frac{1}{5}$
$\frac{2}{5}$

2. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

$\frac{3}{2}$
$\frac{3}{7}$
$\frac{5}{4}$

$36$
$25$

$\frac{3}{4}$

$30$

$27$

$\frac{3}{2}$
$\frac{3}{7}$
$\frac{5}{4}$

3. Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße

$\frac{83}{100}$
$\frac{63}{100}$

$\frac{3}{7}$

$\frac{\sqrt{21}}{10}$
$\frac{3}{10}$

$\frac{83}{100}$
$\frac{63}{100}$
$\frac{9}{25}$

4. Kombinationen und Binomialkoeffizienten

$55$
$220$
$66$

$1330$
$35$

$17 \cdot 16$
$18 \cdot 17$

$45$

$55$
$220$
$66$

5. Die Binomialverteilung

$\frac{3125}{7776}$
$\frac{6144}{15625}$

Die Anzahl von „Zahl“ bei 9 Würfen einer fairen Münze

$\frac{1215}{4096}$
$\frac{1792}{6561}$

$\frac{4}{5}$

$\frac{3125}{7776}$
$\frac{6144}{15625}$
$\frac{7}{128}$

6. Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung

$\frac{91}{9}$
$\frac{87}{8}$

$\frac{2 \sqrt{70}}{5}$
$\frac{\sqrt{71}}{2}$

Bei sehr vielen zufällig ausgefüllten Tests liegt die mittlere Anzahl richtiger Antworten nahe bei \frac{87}{4}

$\frac{91}{9}$
$\frac{87}{8}$
$\frac{59}{5}$

7. Binomialverteilung: Schwellenwerte und Intervalle

$\frac{63}{64}$
$\frac{211}{243}$
$\frac{781}{1024}$

$7$
$10$

$\frac{3}{4}$
$\frac{15}{16}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{63}{64}$
$\frac{211}{243}$
$\frac{781}{1024}$