Fehler erster und zweiter Art

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 12 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Einseitiger Hypothesentest

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Fehler erster und zweiter Art

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Test soll zeigen, dass ein neues Medikament besser wirkt. In Wahrheit wirkt es nicht besser, aber das Stichprobenergebnis liegt zufällig im Ablehnungsbereich. Was passiert?

  1. H0H_0 stimmt, wird aber verworfen." data-option="1">H0H_0 wird zu Unrecht abgelehnt: ein Fehler erster Art
  2. H0H_0 falsch und wird beibehalten. Hier ist H0H_0 richtig und wird abgelehnt." data-option="2">H0H_0 wird zu Unrecht beibehalten: ein Fehler zweiter Art

Die Grundidee

Jede Entscheidung kann falsch sein; die beiden Fehler haben eigene Wahrscheinlichkeiten.

Fehler erster Art: H0H_0 ist wahr, wird aber abgelehnt. Seine Wahrscheinlichkeit ist α′=Pp0(X∈K)\alpha' = P_{p_0}(X \in K), höchstens das Signifikanzniveau.

Fehler zweiter Art: H0H_0 ist falsch, wird aber beibehalten. Für eine wahre Wahrscheinlichkeit p1p_1 ist seine Wahrscheinlichkeit β=Pp1(X∉K)=1−Pp1(X∈K)\beta = P_{p_1}(X \notin K) = 1 - P_{p_1}(X \in K). Ein kleinerer Ablehnungsbereich senkt α′\alpha' und erhöht β\beta.

Beispiel

Test mit n=10n = 10, H0 ⁣:p=0,5H_0\colon p = 0{,}5, H1 ⁣:p>0,5H_1\colon p > 0{,}5, K={9;10}K = \{9; 10\}. In Wahrheit sei p=0,75p = 0{,}75; dann gilt P(X≥9)≈0,244P(X \geq 9) \approx 0{,}244.

α′=10+11024≈0,011\alpha' = \dfrac{10 + 1}{1024} \approx 0{,}011
Unter p = 0,5: P(X = 9) + P(X = 10).
β=1−0,244\beta = 1 - 0{,}244
Fehler zweiter Art: X liegt nicht in K.
β≈0,756\beta \approx 0{,}756
Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: Unter p1p_1 gilt P(X∈K)≈0,83P(X \in K) \approx 0{,}83. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art?

1−0,831 - 0{,}83
Gegenereignis.
0,170{,}17
Ergebnis.

Üben ★

  1. Ein Test prüft H0H_0: „Die Münze ist fair.“ Die Münze ist in Wahrheit gezinkt, aber das Ergebnis liegt nicht im Ablehnungsbereich. Welcher Fehler liegt vor?
    1. Ein Fehler zweiter Art
    2. Ein Fehler erster Art
    3. Kein Fehler
  1. Für die wahre Trefferwahrscheinlichkeit p1p_1 gilt P(X∈K)≈0,70P(X \in K) \approx 0{,}70. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Münze wird 4-mal geworfen; H0 ⁣:p=0,5H_0\colon p = 0{,}5 wird nur abgelehnt, wenn jedes Mal „Zahl“ fällt. In Wahrheit ist p=0,75p = 0{,}75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art?
  2. Eine Münze wird 3-mal geworfen; H0 ⁣:p=0,5H_0\colon p = 0{,}5 wird nur abgelehnt, wenn jedes Mal „Zahl“ fällt. In Wahrheit ist p=0,75p = 0{,}75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art?
  1. Man verkleinert den Ablehnungsbereich eines Tests, damit der Fehler erster Art seltener wird. Was passiert bei gleichem Stichprobenumfang mit dem Fehler zweiter Art?
    1. Er wird wahrscheinlicher
    2. Er wird auch seltener
    3. Er bleibt gleich
  1. Abschlussaufgabe. Eine Münze wird 4-mal geworfen; H0 ⁣:p=0,5H_0\colon p = 0{,}5 wird gegen H1 ⁣:p>0,5H_1\colon p > 0{,}5 getestet mit K={4}K = \{ 4 \}.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Test prüft H0H_0: „Die Münze ist fair.“ Die Münze ist in Wahrheit gezinkt, aber das Ergebnis liegt nicht im Ablehnungsbereich. Welcher Fehler liegt vor?
    1. Ein Fehler zweiter Art
    2. Ein Fehler erster Art
    3. Kein Fehler

Merkkarte

Fehler beim Testen

  • Erster Art: H0H_0 wahr, abgelehnt; Wahrscheinlichkeit Pp0(X∈K)P_{p_0}(X \in K).
  • Zweiter Art: H0H_0 falsch, beibehalten; β=1−Pp1(X∈K)\beta = 1 - P_{p_1}(X \in K).
  • Kleineres α\alpha bedeutet größeres β\beta.

Achtung: Die beiden Fehler nicht verwechseln.

Ende der Lektion

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Lösungen: Fehler erster und zweiter Art

A

  1. Ein Fehler zweiter Art

B

  1. 310\frac{3}{10}

C

  1. 175256\frac{175}{256}
  2. 3764\frac{37}{64}

D

  1. Er wird wahrscheinlicher

E

  1. 175256\frac{175}{256}

F

  1. Ein Fehler zweiter Art

CC BY-SA 4.0