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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Mit Lösungen

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1. Einseitiger Signifikanztest

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Mia glaubt, dass ihre Münze öfter „Zahl“ zeigt. Sie wirft 20-mal. Unter der Annahme $p = 0{,}5$ gilt $P(X \geq 15) \approx 0{,}021$ und $P(X \geq 14) \approx 0{,}058$ . Ab wie vielen Zahlwürfen hält sie die Münze bei einem Signifikanzniveau von 5 % für gezinkt?

$\\{15; \\dots; 20\\}$ $15; d o t s; 20$ hat unter $p = 0{,}5$ die Wahrscheinlichkeit 0,021, höchstens 5 %." data-option="1">Ab 15
Ab 14

Die Grundidee

Ein Test entscheidet mit einer Stichprobe zwischen zwei Hypothesen; das Risiko eines Fehlurteils wird begrenzt.

Die Nullhypothese $H_0$ ist die bisherige Annahme, die Gegenhypothese $H_1$ das, was man zeigen möchte. Prüfgröße: die Trefferzahl $X$ , unter $H_0$ binomialverteilt.

Rechtsseitiger Test ( $H_1\colon p > p_0$ ): Ablehnungsbereich $\{k; \dots; n\}$ mit dem kleinsten $k$ , für das $P(X \geq k) \leq \alpha$ gilt. Linksseitiger Test ( $H_1\colon p < p_0$ ): $\{0; \dots; k\}$ mit dem größten $k$ , für das $P(X \leq k) \leq \alpha$ gilt. $\alpha$ ist das Signifikanzniveau.

Beispiel

Ein Hersteller gibt an, dass höchstens 10 % der Lose Gewinne sind ( $p_0 = 0{,}1$ ). Ein Händler vermutet mehr und prüft 50 Lose. Unter $p = 0{,}1$ gilt $P(X \geq 10) \approx 0{,}025$ und $P(X \geq 9) \approx 0{,}058$ .

H_0\colon p \leq 0{,}1

H_1\colon p > 0{,}1

: rechtsseitig

Der Händler will mehr Gewinne zeigen.

k = 10

Kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05.

Bei mindestens 10 Gewinnen wird

H_0

abgelehnt.

Entscheidungsregel.

Du bist dran

Jetzt du: Rechtsseitiger Test, $\alpha = 5\,\%$ . Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 8) \approx 0{,}03$ und $P(X \geq 7) \approx 0{,}09$ . Wo beginnt der Ablehnungsbereich?

P(X \geq 8) \leq 0{,}05

0,03 ≤ 0,05, aber 0,09 > 0,05.

k = 8

Kleinstes solches k.

Üben ★

Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 10) \approx 0{,}03$ und $P(X \geq 9) \approx 0{,}07$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?
Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 8) \approx 0{,}04$ und $P(X \geq 7) \approx 0{,}09$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?

Ein Hersteller gibt an, dass höchstens 2 % seiner Bauteile defekt sind. Eine Kundin vermutet mehr und will das mit einer Stichprobe zeigen. Welche Nullhypothese testet sie?
1. $H_0\colon p \leq 0{,}02$
2. $H_0\colon p > 0{,}02$
3. $H_0\colon p < 0{,}02$

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Münze wird 5-mal geworfen, um $H_0\colon p = 0{,}5$ gegen $H_1\colon p > 0{,}5$ zu testen ( $p$ : Wahrscheinlichkeit für „Zahl“). $H_0$ wird nur abgelehnt, wenn jedes Mal „Zahl“ fällt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird $H_0$ abgelehnt, obwohl sie stimmt?
Eine Münze wird 6-mal geworfen, um $H_0\colon p = 0{,}5$ gegen $H_1\colon p > 0{,}5$ zu testen ( $p$ : Wahrscheinlichkeit für „Zahl“). $H_0$ wird nur abgelehnt, wenn jedes Mal „Zahl“ fällt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird $H_0$ abgelehnt, obwohl sie stimmt?

Ein neues Lernprogramm soll die Bestehensquote von bisher 70 % erhöhen. Wo liegt der Ablehnungsbereich des Tests von $H_0\colon p \leq 0{,}7$ ?
1. Rechts: viele Bestandene sprechen gegen $H_0$
2. Links: wenige Bestandene sprechen gegen $H_0$
3. Auf beiden Seiten

Abschlussaufgabe. Eine Münze wird 8-mal geworfen; getestet wird $H_0\colon p = 0{,}5$ gegen $H_1\colon p > 0{,}5$ mit dem Ablehnungsbereich $\{ 7; 8 \}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 10) \approx 0{,}03$ und $P(X \geq 9) \approx 0{,}07$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?
Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 8) \approx 0{,}04$ und $P(X \geq 7) \approx 0{,}09$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?
Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 14) \approx 0{,}02$ und $P(X \geq 13) \approx 0{,}06$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?

Merkkarte

Einseitiger Signifikanztest

$H_1$ ist die Vermutung, die man zeigen will.
Rechtsseitig: kleinstes $k$ mit $P(X \geq k) \leq \alpha$ .
Linksseitig: größtes $k$ mit $P(X \leq k) \leq \alpha$ .

Achtung: Die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs unter $H_0$ darf $\alpha$ nicht übersteigen.

2. Fehler erster und zweiter Art

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Test soll zeigen, dass ein neues Medikament besser wirkt. In Wahrheit wirkt es nicht besser, aber das Stichprobenergebnis liegt zufällig im Ablehnungsbereich. Was passiert?

$H_0$ $H_{0}$ stimmt, wird aber verworfen." data-option="1"> $H_0$ wird zu Unrecht abgelehnt: ein Fehler erster Art
$H_0$ $H_{0}$ falsch und wird beibehalten. Hier ist $H_0$ richtig und wird abgelehnt." data-option="2"> $H_0$ wird zu Unrecht beibehalten: ein Fehler zweiter Art

Die Grundidee

Jede Entscheidung kann falsch sein; die beiden Fehler haben eigene Wahrscheinlichkeiten.

Fehler erster Art: $H_0$ ist wahr, wird aber abgelehnt. Seine Wahrscheinlichkeit ist $\alpha' = P_{p_0}(X \in K)$ , höchstens das Signifikanzniveau.

Fehler zweiter Art: $H_0$ ist falsch, wird aber beibehalten. Für eine wahre Wahrscheinlichkeit $p_1$ ist seine Wahrscheinlichkeit $\beta = P_{p_1}(X \notin K) = 1 - P_{p_1}(X \in K)$ . Ein kleinerer Ablehnungsbereich senkt $\alpha'$ und erhöht $\beta$ .

Beispiel

Test mit $n = 10$ , $H_0\colon p = 0{,}5$ , $H_1\colon p > 0{,}5$ , $K = \{9; 10\}$ . In Wahrheit sei $p = 0{,}75$ ; dann gilt $P(X \geq 9) \approx 0{,}244$ .

\alpha' = \dfrac{10 + 1}{1024} \approx 0{,}011

Unter p = 0,5: P(X = 9) + P(X = 10).

\beta = 1 - 0{,}244

Fehler zweiter Art: X liegt nicht in K.

\beta \approx 0{,}756

Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: Unter $p_1$ gilt $P(X \in K) \approx 0{,}83$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art?

1 - 0{,}83

Gegenereignis.

0{,}17

Ergebnis.

Üben ★

Ein Test prüft $H_0$ : „Die Münze ist fair.“ Die Münze ist in Wahrheit gezinkt, aber das Ergebnis liegt nicht im Ablehnungsbereich. Welcher Fehler liegt vor?
1. Ein Fehler zweiter Art
2. Ein Fehler erster Art
3. Kein Fehler

Für die wahre Trefferwahrscheinlichkeit $p_1$ gilt $P(X \in K) \approx 0{,}70$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art?

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Münze wird 4-mal geworfen; $H_0\colon p = 0{,}5$ wird nur abgelehnt, wenn jedes Mal „Zahl“ fällt. In Wahrheit ist $p = 0{,}75$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art?
Eine Münze wird 3-mal geworfen; $H_0\colon p = 0{,}5$ wird nur abgelehnt, wenn jedes Mal „Zahl“ fällt. In Wahrheit ist $p = 0{,}75$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art?

Man verkleinert den Ablehnungsbereich eines Tests, damit der Fehler erster Art seltener wird. Was passiert bei gleichem Stichprobenumfang mit dem Fehler zweiter Art?
1. Er wird wahrscheinlicher
2. Er wird auch seltener
3. Er bleibt gleich

Abschlussaufgabe. Eine Münze wird 4-mal geworfen; $H_0\colon p = 0{,}5$ wird gegen $H_1\colon p > 0{,}5$ getestet mit $K = \{ 4 \}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ein Test prüft $H_0$ : „Die Münze ist fair.“ Die Münze ist in Wahrheit gezinkt, aber das Ergebnis liegt nicht im Ablehnungsbereich. Welcher Fehler liegt vor?
1. Ein Fehler zweiter Art
2. Ein Fehler erster Art
3. Kein Fehler

Merkkarte

Fehler beim Testen

Erster Art: $H_0$ wahr, abgelehnt; Wahrscheinlichkeit $P_{p_0}(X \in K)$ .
Zweiter Art: $H_0$ falsch, beibehalten; $\beta = 1 - P_{p_1}(X \in K)$ .
Kleineres $\alpha$ bedeutet größeres $\beta$ .

Achtung: Die beiden Fehler nicht verwechseln.

Lösungen: Einseitiger Hypothesentest

1. Einseitiger Signifikanztest

$10$
$8$

$H_0\colon p \leq 0{,}02$

$\frac{1}{32}$
$\frac{1}{64}$

Rechts: viele Bestandene sprechen gegen $H_0$

$\frac{9}{256}$

$10$
$8$
$14$

2. Fehler erster und zweiter Art

Ein Fehler zweiter Art

$\frac{3}{10}$

$\frac{175}{256}$
$\frac{37}{64}$

Er wird wahrscheinlicher

$\frac{175}{256}$

Ein Fehler zweiter Art