Umkehrfunktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = x + 7$ addiert 7. Welche Funktion macht das rückgängig und liefert die Ausgangszahl zurück?

$x - 7$
$\dfrac{1}{x + 7}$
$x + 7$

Die Grundidee

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ macht $f$ rückgängig: Sie vertauscht Eingabe und Ausgabe.

Aus

f(a) = b

folgt

f^{-1}(b) = a

. So bestimmst du

f^{-1}(x)

:

y = f(x)

schreiben, nach

x

auflösen, dann die Variablen umbenennen. Der Graph von

f^{-1}

entsteht aus dem Graphen von

f

durch Spiegelung an der Geraden

y = x

.

$f^{-1}(x)$ ist nicht $\dfrac{1}{f(x)}$ : Die $-1$ ist hier kein Exponent.

Beispiel

$f(x) = 3x - 5$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .

y = 3x - 5

Die Ausgabe y nennen.

y + 5 = 3x

f zieht zuletzt 5 ab, also macht man das zuerst rückgängig: 5 addieren.

x = \dfrac{y + 5}{3}

Dann · 3 rückgängig machen: durch 3 teilen.

f^{-1}(x) = \dfrac{x + 5}{3}

Die Eingabe wieder x nennen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 2x + 6$ .

y = 2x + 6

Die Ausgabe y nennen.

y - 6 = 2x

Zuerst + 6 rückgängig machen.

f^{-1}(x) = \dfrac{x - 6}{2}

Durch 2 teilen, dann umbenennen.

Üben ★

$f(x) = 7x + 9$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 2x + 2$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 7x + 5$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 2x + 9$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = 2x + 6$ . Bestimme $f^{-1}(10)$ .
$f(x) = 2x + 9$ . Bestimme $f^{-1}(11)$ .
$f(x) = 3x + 1$ . Bestimme $f^{-1}(10)$ .

Der Punkt $(2|7)$ liegt auf dem Graphen von $f$ . Tippe auf den Punkt, der auf dem Graphen von $f^{-1}$ liegen muss.
Der Punkt $(5|7)$ liegt auf dem Graphen von $f$ . Tippe auf den Punkt, der auf dem Graphen von $f^{-1}$ liegen muss.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 7x + 9$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 2x + 2$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 7x + 5$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .

Merkkarte

Umkehrfunktionen

$y = f(x)$ schreiben.
Nach $x$ auflösen; die letzte Rechenoperation zuerst rückgängig machen.
Umbenennen: $f^{-1}(x)$ . Probe: $f(f^{-1}(x)) = x$ .

Achtung: $f^{-1}(x)$ ist nicht $\dfrac{1}{f(x)}$ .

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