Quotientenregel, ln-Funktion und weitere Funktionen

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Die Quotientenregel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$\dfrac{x^3}{x} = x^2$ , mit der Ableitung $2x$ . Der Quotient der Ableitungen wäre $\dfrac{3x^2}{1}$ . Stimmt das überein?

Nein
Ja

Die Grundidee

Zuerst die Ableitung des Zählers, dann subtrahieren.

Quotientenregel:

\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}

mit

g \neq 0

Beispiel

$h(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ . Bestimme $h'(x)$ .

f' = 2x

g' = 1

f = x², g = x + 1.

h'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2}

f'g − fg' durch g².

h'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}

Zähler vereinfachen.

Du bist dran

Jetzt du: $h(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x}$ .

h'(x) = \dfrac{x\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^x}{x^2}

f = eˣ, g = x: f'g − fg' = xeˣ − eˣ.

Üben ★

$f(x) = \dfrac{x}{x + 6}$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{x}{x + 3}$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{x}{x + 2}$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{ 4\sin x}{x}$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{ 1\sin x}{x}$ . Bestimme $f'(x)$ .

$f(1) = 1$ , $f'(1) = -2$ , $g(1) = 4$ und $g'(1) = 2$ . Bestimme $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(1)$ .
$f(1) = 1$ , $f'(1) = 1$ , $g(1) = 1$ und $g'(1) = 4$ . Bestimme $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(1)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \dfrac{x}{x + 6}$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{x}{x + 3}$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{x}{x + 2}$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Quotientenregel

$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ : „Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, durch unten zum Quadrat“.

Achtung: Die Reihenfolge im Zähler zählt.

2. Ableitung von Produkt, Kehrwert, Quotient

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = x \cdot x$ . Gilt $f'(x) = 1 \cdot 1$ ?

Nein: $f'(x) = 2x$
Ja

Die Grundidee

Produkt, Kehrwert, Quotient: Jedes hat seine eigene Regel.

(uv)' = u'v + uv'

;

\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}

;

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Beispiel

$f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ . Bestimme $f'(x)$ .

u' = 2x

v' = 1

u = x², v = x + 1.

f'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2}

Regel anwenden.

f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}

Vereinfachen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x\sqrt{x}$ . Wie groß ist $f'(4)$ ?

3

f'(x) = √x + x/(2√x); f'(4) = 2 + 1.

Üben ★

$f(x) = (x + 2)x^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 2)x^{ 2 }$ . Bestimme $f'(x)$ .

$f(x) = \dfrac{1}{x + 7}$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{x}{x + 4}$ . Bestimme $f'(x)$ .

$f(x) = 7x^3 + 5x^2$ . Bestimme $f'(x)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = (x + 2)x^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 2)x^{ 2 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 3)x^{ 3 }$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Ableitungsregeln

$(uv)' = u'v + uv'$ .
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Achtung: Niemals $(uv)' = u'v'$ .

3. Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion von e^x

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die Exponentialfunktion ist stetig und streng monoton steigend, mit der Wertemenge $]0; +\infty[$ . Wie viele Lösungen hat $\mathrm{e}^x = a$ für $a > 0$ ?

Genau eine
Zwei

Die Grundidee

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Für $a > 0$ ist $\ln a$ die einzige reelle Zahl mit $\mathrm{e}^{\ln a} = a$ .

$\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ . Außerdem gilt $\ln(\mathrm{e}^x) = x$ für jede reelle Zahl $x$ , $\ln 1 = 0$ und $\ln \mathrm{e} = 1$ .

Beispiel

Löse $\ln x = 3$ .

x = \mathrm{e}^3

Auf beide Seiten exp anwenden: exp und ln sind Umkehrfunktionen.

\mathrm{e}^3 > 0

: Die Lösung passt.

Die Lösung ist positiv.

Du bist dran

Jetzt du: Vereinfache $\ln(\mathrm{e}^{5})$ .

5

ln und exp sind Umkehrfunktionen.

Üben ★

Löse $\ln x = 4$ .
Löse $\ln x = 6$ .
Löse $\ln x = 1$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Löse $\ln x = 4$ .
Löse $\ln x = 6$ .

Berechne $\ln(\mathrm{e}^{ 4 })$ .

Berechne $\mathrm{e}^{\ln 19}$ .

Auf welchem Intervall gilt $\ln x < 0$ ?
1. $]0; 1[$
2. $]-\infty; 0[$
3. $]1; +\infty[$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $\ln x = 4$ .
Löse $\ln x = 6$ .
Löse $\ln x = 1$ .

Merkkarte

Natürlicher Logarithmus

$\ln$ ist auf $]0; +\infty[$ definiert.
$\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ (mit $a > 0$ ).
$\ln 1 = 0$ und $\ln \mathrm{e} = 1$ .

Achtung: Den Logarithmus einer negativen Zahl oder von 0 gibt es nicht.

4. Rechenregeln des natürlichen Logarithmus

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Mit dem Taschenrechner: $\ln 2 \approx 0{,}69$ und $\ln 3 \approx 1{,}10$ . Welche dieser Zahlen ist ungefähr $1{,}79$ ?

$\ln 6$
$\ln 5$

Die Grundidee

Der Logarithmus macht aus Produkten Summen.

Für $a > 0$ , $b > 0$ und eine ganze Zahl $n$ gilt:

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln \dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ ; $\ln \dfrac{1}{b} = -\ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$ ; $\ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a$ .

Beispiel

Schreibe $A = \ln 12 - 2\ln 2$ in der Form $\ln c$ .

A = \ln 12 - \ln 4

n ln a = ln(aⁿ).

A = \ln \dfrac{12}{4}

Differenz: ln des Quotienten.

A = \ln 3

12 : 4.

Du bist dran

Jetzt du: Vereinfache $\ln 5 + \ln 2 - \ln 10$ .

\ln 10 - \ln 10

Summe: ln des Produkts.

0

Die Differenz.

Üben ★

Man schreibt $\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2$ . Wie groß ist $c$ ?
Man schreibt $\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3$ . Wie groß ist $c$ ?
Man schreibt $\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2$ . Wie groß ist $c$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Welcher Term ist gleich $\ln(2 \cdot 5)$ ?
1. $\ln 2 + \ln 5$
2. $\ln 2 \cdot \ln 5$
3. $\ln(2 + 5)$
Welcher Term ist gleich $\ln(6 \cdot 8)$ ?
1. $\ln 6 + \ln 8$
2. $\ln 6 \cdot \ln 8$
3. $\ln(6 + 8)$

Drücke $\ln 9 - \ln 3$ durch $\ln 3$ aus: Es ist $c\ln 3$ . Wie groß ist $c$ ?
Drücke $\ln 16807 - \ln 7$ durch $\ln 7$ aus: Es ist $c\ln 7$ . Wie groß ist $c$ ?

$\ln\dfrac{1}{ 3 } = c\ln 3$ . Wie groß ist $c$ ?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Man schreibt $\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2$ . Wie groß ist $c$ ?
Man schreibt $\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3$ . Wie groß ist $c$ ?
Man schreibt $\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2$ . Wie groß ist $c$ ?

Merkkarte

Rechenregeln für ln ( $a, b > 0$ )

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ .
$\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$ .
$\ln(a^n) = n\ln a$ .

Achtung: Für $\ln(a + b)$ gibt es keine Regel.

5. Gleichungen und Ungleichungen mit ln und exp

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Was prüfst du zuerst, bevor du $\ln(x - 3) = 2$ löst?

Dass $x - 3 > 0$ ist
Dass $x > 0$ ist

Die Grundidee

$\ln$ und $\exp$ sind streng monoton steigend: Sie erhalten die Reihenfolge.

Für $a, b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b$ und $\ln a < \ln b \iff a < b$ .

$\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$ .

Vorgehen: Definitionsmenge angeben, lösen und prüfen, ob die Lösungen in der Definitionsmenge liegen.

Beispiel

Löse $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 15$ .

Definitionsmenge:

x > 2

Es muss x > 0 und x − 2 > 0 gelten.

x(x - 2) = 15

Summe: ln des Produkts, und ln ist umkehrbar.

x = 5

oder

x = -3

Quadratische Gleichung lösen.

Die einzige Lösung ist

x = 5

−3 erfüllt x > 2 nicht.

Du bist dran

Jetzt du: Löse $\ln(x - 3) = \ln 7$ .

x - 3 = 7

ln ist umkehrbar.

x = 10

3 addieren. Probe: 10 − 3 > 0.

Üben ★

Löse $\ln(x - 7) = \ln 5$ .
Löse $\ln(x - 1) = \ln 8$ .
Löse $\ln(x - 2) = \ln 10$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Löse die Ungleichung $\ln x < \ln 8$ .
Löse die Ungleichung $\ln x < \ln 17$ .
Löse die Ungleichung $\ln x < \ln 14$ .

Löse $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 8$ . Gib alle Lösungen an.

Löse $\ln(5x) = \ln 35$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $\ln(x - 7) = \ln 5$ .
Löse $\ln(x - 1) = \ln 8$ .
Löse $\ln(x - 2) = \ln 10$ .

Merkkarte

Gleichungen und Ungleichungen

Die Definitionsmenge angeben.
Mit der Monotonie von $\ln$ oder $\exp$ lösen.
Nur Lösungen aus der Definitionsmenge behalten.

Achtung: Eine Lösung der umgeformten Gleichung ist nicht immer eine Lösung der Ausgangsgleichung.

6. Die Funktion ln: Ableitung, Monotonie, Grenzwerte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Graph von $\ln$ entsteht aus dem von $\exp$ durch Spiegelung an der Geraden $y = x$ . Wogegen strebt $\ln x$ , wenn $x$ von rechts gegen 0 geht?

$-\infty$
$0$

Die Grundidee

Die Funktion $\ln$ ist auf $]0; +\infty[$ differenzierbar.

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , und das ist positiv: $\ln$ ist streng monoton steigend. Für differenzierbares $u > 0$ : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ und $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ .

Beispiel

Bestimme die Ableitung von $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

u'(x) = 2x

u(x) = x² + 1 ist positiv.

f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}

(ln u)' = u'/u.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \ln(3x)$ für $x > 0$ . Wie groß ist $f'(1)$ ?

f'(x) = \dfrac{1}{x}

u'/u = 3/(3x) = 1/x.

f'(1) = 1

x = 1 einsetzen.

Üben ★

$f(x) = \ln(8x + 9)$ für $x > 0$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(6x + 2)$ für $x > 0$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(7x + 8)$ für $x > 0$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Wogegen strebt $8 + \ln x$ , wenn $x$ von rechts gegen 0 geht?
1. $-\infty$
2. $8$
3. $+\infty$
Wogegen strebt $9 + \ln x$ , wenn $x$ von rechts gegen 0 geht?
1. $-\infty$
2. $9$
3. $+\infty$

$f(x) = x - 8\ln x$ für $x > 0$ . Wo ist $f'(x) = 0$ ?
$f(x) = x - 4\ln x$ für $x > 0$ . Wo ist $f'(x) = 0$ ?

$f(x) = \ln(x^2 + 4)$ . Bestimme $f'(x)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \ln(8x + 9)$ für $x > 0$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(6x + 2)$ für $x > 0$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \ln(7x + 8)$ für $x > 0$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Die Funktion ln

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ und $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .
Streng monoton steigend auf $]0; +\infty[$ .
Grenzwerte: $-\infty$ bei 0, $+\infty$ für $x \to +\infty$ .

Achtung: $\ln$ wächst sehr langsam gegen $+\infty$ , aber es wächst unbegrenzt.

7. Umkehrfunktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = x + 7$ addiert 7. Welche Funktion macht das rückgängig und liefert die Ausgangszahl zurück?

$x - 7$
$\dfrac{1}{x + 7}$
$x + 7$

Die Grundidee

Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ macht $f$ rückgängig: Sie vertauscht Eingabe und Ausgabe.

Aus

f(a) = b

folgt

f^{-1}(b) = a

. So bestimmst du

f^{-1}(x)

y = f(x)

schreiben, nach

x

auflösen, dann die Variablen umbenennen. Der Graph von

f^{-1}

entsteht aus dem Graphen von

f

durch Spiegelung an der Geraden

y = x

$f^{-1}(x)$ ist nicht $\dfrac{1}{f(x)}$ : Die $-1$ ist hier kein Exponent.

Beispiel

$f(x) = 3x - 5$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .

y = 3x - 5

Die Ausgabe y nennen.

y + 5 = 3x

f zieht zuletzt 5 ab, also macht man das zuerst rückgängig: 5 addieren.

x = \dfrac{y + 5}{3}

Dann · 3 rückgängig machen: durch 3 teilen.

f^{-1}(x) = \dfrac{x + 5}{3}

Die Eingabe wieder x nennen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 2x + 6$ .

y = 2x + 6

Die Ausgabe y nennen.

y - 6 = 2x

Zuerst + 6 rückgängig machen.

f^{-1}(x) = \dfrac{x - 6}{2}

Durch 2 teilen, dann umbenennen.

Üben ★

$f(x) = 7x + 9$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 2x + 2$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 7x + 5$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 2x + 9$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = 2x + 6$ . Bestimme $f^{-1}(10)$ .
$f(x) = 2x + 9$ . Bestimme $f^{-1}(11)$ .
$f(x) = 3x + 1$ . Bestimme $f^{-1}(10)$ .

Der Punkt $(2|7)$ liegt auf dem Graphen von $f$ . Tippe auf den Punkt, der auf dem Graphen von $f^{-1}$ liegen muss.
Der Punkt $(5|7)$ liegt auf dem Graphen von $f$ . Tippe auf den Punkt, der auf dem Graphen von $f^{-1}$ liegen muss.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 7x + 9$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 2x + 2$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .
$f(x) = 7x + 5$ . Bestimme $f^{-1}(x)$ .

Merkkarte

Umkehrfunktionen

$y = f(x)$ schreiben.
Nach $x$ auflösen; die letzte Rechenoperation zuerst rückgängig machen.
Umbenennen: $f^{-1}(x)$ . Probe: $f(f^{-1}(x)) = x$ .

Achtung: $f^{-1}(x)$ ist nicht $\dfrac{1}{f(x)}$ .

Lösungen: Quotientenregel, ln-Funktion und weitere Funktionen

1. Die Quotientenregel

$\frac{6}{\left(x + 6\right)^{2}}$
$\frac{3}{\left(x + 3\right)^{2}}$
$\frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}$

$\frac{4 x \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$
$\frac{x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$

$- \frac{5}{8}$
$-3$

$\frac{6}{\left(x + 6\right)^{2}}$
$\frac{3}{\left(x + 3\right)^{2}}$
$\frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}}$

2. Ableitung von Produkt, Kehrwert, Quotient

$x^{4} + x^{3} \left(4 x + 8\right)$
$x^{2} + x \left(2 x + 4\right)$

$- \frac{1}{\left(x + 7\right)^{2}}$

$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
$\frac{4}{\left(x + 4\right)^{2}}$

$21 x^{2} + 10 x$

$x^{4} + x^{3} \left(4 x + 8\right)$
$x^{2} + x \left(2 x + 4\right)$
$x^{3} + x^{2} \left(3 x + 9\right)$

3. Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion von e^x

$e^{4}$
$e^{6}$
$e$

$e^{4}$
$e^{6}$

$19$

$]0; 1[$

$e^{4}$
$e^{6}$
$e$

4. Rechenregeln des natürlichen Logarithmus

$\ln 2 + \ln 5$
$\ln 6 + \ln 8$

$-1$

5. Gleichungen und Ungleichungen mit ln und exp

$12$
$9$
$12$

$]0\,;\,8[$
$]0\,;\,17[$
$]0\,;\,14[$

$12$
$9$
$12$

6. Die Funktion ln: Ableitung, Monotonie, Grenzwerte

$\frac{8}{8 x + 9}$
$\frac{6}{6 x + 2}$
$\frac{7}{7 x + 8}$

$-\infty$
$-\infty$

$\frac{2 x}{x^{2} + 4}$

$\frac{8}{8 x + 9}$
$\frac{6}{6 x + 2}$
$\frac{7}{7 x + 8}$

7. Umkehrfunktionen

$\frac{x}{7} - \frac{9}{7}$
$\frac{x}{2} - 1$
$\frac{x}{7} - \frac{5}{7}$
$\frac{x}{2} - \frac{9}{2}$

$(7, 2)$
$(7, 5)$

$\frac{x}{7} - \frac{9}{7}$
$\frac{x}{2} - 1$
$\frac{x}{7} - \frac{5}{7}$