Vektorprodukt

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$\vec{u} = (1|0|0)$ und $\vec{v} = (0|1|0)$ spannen die $x_1x_2$ -Ebene auf. Welcher Vektor steht auf beiden senkrecht?

Nicht maßstabsgetreu

$x_3$ $x_{3}$ -Achse. Das Vektorprodukt liefert genau solche Vektoren." data-option="1"> $(0|0|1)$
$0$ , das Skalarprodukt

Die Grundidee

Das Vektorprodukt liefert einen Vektor, der auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht steht.

$\vec{u} \times \vec{v} = \left(u_2v_3 - u_3v_2 \,|\, u_3v_1 - u_1v_3 \,|\, u_1v_2 - u_2v_1\right)$ . Es steht senkrecht auf $\vec{u}$ und auf $\vec{v}$ , eignet sich also als Normalenvektor.

$|\vec{u} \times \vec{v}|$ ist der Flächeninhalt des von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aufgespannten Parallelogramms; ein Dreieck $ABC$ hat den Flächeninhalt $\dfrac{1}{2}\,|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ .

Beispiel

$\vec{u} = (1|2|0)$ , $\vec{v} = (0|1|2)$ . Berechne $\vec{u} \times \vec{v}$ .

\vec{u} \times \vec{v} = (4|-2|1)

2 · 2 − 0 · 1, 0 · 0 − 1 · 2, 1 · 1 − 2 · 0.

(4|-2|1) \circ (1|2|0) = 4 - 4 + 0 = 0

Probe mit dem Skalarprodukt.

|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}

Fläche des Parallelogramms.

Du bist dran

Jetzt du: Das Dreieck mit $A(0|0|0)$ , $B(4|0|0)$ , $C(0|3|0)$ : Es ist $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0|0|12)$ . Berechne den Flächeninhalt.

\dfrac{1}{2} \cdot 12

Betrag 12.

6

Flächeninhalt.

Üben ★

$\vec{u} = (-1|-2|1)$ und $\vec{v} = (4|4|-1)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?
$\vec{u} = (-2|3|2)$ und $\vec{v} = (-4|2|-4)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?
$\vec{u} = (0|-1|-3)$ und $\vec{v} = (-3|-1|1)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Die Vektoren $\vec{u} = (4|0|0)$ und $\vec{v} = (2|1|0)$ spannen ein Parallelogramm auf. Berechne seinen Flächeninhalt mit dem Vektorprodukt.
Die Vektoren $\vec{u} = (5|0|0)$ und $\vec{v} = (0|7|0)$ spannen ein Parallelogramm auf. Berechne seinen Flächeninhalt mit dem Vektorprodukt.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $A(0|0|0)$ , $B(3|0|0)$ , $C(0|5|0)$ mit dem Vektorprodukt.

Was gilt für $\vec{u} \times \vec{v}$ , wenn $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nicht kollinear sind?
1. Es ist ein Vektor, der auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht steht
2. Es ist eine Zahl, die angibt, ob $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal sind
3. Es ist ein Vektor in der Ebene von $\vec{u}$ und $\vec{v}$

Abschlussaufgabe. Die Ebene $E$ wird von $\vec{u} = (2|4|0)$ und $\vec{v} = (0|1|2)$ aufgespannt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$\vec{u} = (-1|-2|1)$ und $\vec{v} = (4|4|-1)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?
$\vec{u} = (-2|3|2)$ und $\vec{v} = (-4|2|-4)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?
$\vec{u} = (0|-1|-3)$ und $\vec{v} = (-3|-1|1)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?

Merkkarte

Vektorprodukt

$\vec{u} \times \vec{v}$ steht senkrecht auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ .
$|\vec{u} \times \vec{v}|$ : Fläche des Parallelogramms.
Dreieck: die Hälfte.

Achtung: Das Vektorprodukt ist ein Vektor, das Skalarprodukt eine Zahl.

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