Analytische Geometrie: Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Vektoren im Raum und Linearkombinationen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$ABCDEFGH$ ist ein Würfel. Welcher Vektor ist gleich $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$ ?

Nicht maßstabsgetreu

$\overrightarrow{AF}$
$\overrightarrow{AG}$ $A G$ braucht drei Schritte: AB, dann BC, dann CG. Hier gibt es nur zwei." data-option="2"> $\overrightarrow{AG}$

Die Grundidee

Mit Vektoren im Raum rechnet man wie in der Ebene.

Vektorkette: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .

Eine Linearkombination von $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ ist ein Vektor der Form $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$ mit reellen Zahlen $a$ , $b$ , $c$ .

Beispiel

Drücke im Würfel $\overrightarrow{AG}$ durch $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{AE}$ aus.

\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}

Vektorkette: Der Weg wird entlang der Kanten zerlegt.

\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}

Im Würfel sind BC = AD und CG = AE als Vektoren.

Du bist dran

Jetzt du: $\vec{u} = (2|-1|3)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $4\vec{u}$ ?

4\vec{u} = (8|-4|\dots)

Jede Koordinate mal 4.

Die dritte Koordinate ist

12

4 · 3.

Üben ★

$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(4|0|2)$ und $(1|2|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $3\vec{u} + 3\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(6|0|2)$ und $(1|2|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(2|0|2)$ und $(1|4|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

$ABCDEFGH$ ist ein Würfel ( $ABCD$ und $EFGH$ sind gegenüberliegende Flächen, $E$ liegt über $A$ ). Welcher Vektor ist gleich $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ ?
1. $\overrightarrow{AH}$
2. $\overrightarrow{AG}$
3. $\overrightarrow{AF}$
$ABCDEFGH$ ist ein Würfel ( $ABCD$ und $EFGH$ sind gegenüberliegende Flächen, $E$ liegt über $A$ ). Welcher Vektor ist gleich $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ ?
1. $\overrightarrow{AH}$
2. $\overrightarrow{AG}$
3. $\overrightarrow{AF}$

Die Vektoren $\vec{u} = (3|2|1)$ und $\vec{v} = (12|t|4)$ sind kollinear. Wie groß ist $t$ ?
Die Vektoren $\vec{u} = (5|2|1)$ und $\vec{v} = (20|t|4)$ sind kollinear. Wie groß ist $t$ ?

$\vec{u} = (2|0|1)$ und $\vec{v} = (1|2|-1)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\vec{u} + \vec{v}$ ?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(4|0|2)$ und $(1|2|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $3\vec{u} + 3\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(6|0|2)$ und $(1|2|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(2|0|2)$ und $(1|4|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?

Merkkarte

Vektoren im Raum

Vektorkette und Parallelogrammregel gelten weiter.
Linearkombination: $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$ .

Achtung: Im Raum gibt es drei Koordinaten.

2. Basen und Koordinatensysteme im Raum

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Die Vektoren $\vec{i} = (1|0|0)$ , $\vec{j} = (0|1|0)$ und $\vec{u} = (2|3|0)$ sind nicht der Nullvektor. Bilden sie eine Basis des Raums?

$\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ $u = 2 i + 3 j$ . Die drei Vektoren liegen in einer Ebene: Sie sind komplanar, also keine Basis." data-option="1">Nein
$\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ $u = 2 i + 3 j$ , sie sind komplanar." data-option="2">Ja

Die Grundidee

Mit einer Basis lässt sich jeder Vektor des Raums beschreiben.

Nicht maßstabsgetreu

Drei nicht komplanare Vektoren bilden eine Basis des Raums. Dann lässt sich jeder Vektor eindeutig als $\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{t}$ schreiben: $(x|y|z)$ sind seine Koordinaten.

Ein Koordinatensystem besteht aus einem Ursprung $O$ und einer Basis.

Beispiel

In einem Koordinatensystem sind $A(1|2|0)$ und $B(4|0|5)$ gegeben. Bestimme die Koordinaten von $\overrightarrow{AB}$ .

\overrightarrow{AB} = (4 - 1|0 - 2|5 - 0)

Koordinaten von A einzeln von denen von B abziehen.

\overrightarrow{AB} = (3|-2|5)

Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: $A(2|1|3)$ und $B(5|1|7)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?

7 - 3

z von B minus z von A.

4

Die Differenz.

Üben ★

$A(1|-1|6)$ und $B(4|2|5)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?
$A(1|4|4)$ und $B(4|-1|8)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?
$A(1|2|6)$ und $B(4|-2|8)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Bilden die Vektoren $\vec{u} = (1|0|0)$ , $\vec{v} = (0|1|0)$ und $\vec{w} = (4|5|0)$ eine Basis des Raums?
1. Nein, denn $\vec{w} = 4\vec{u} + 5\vec{v}$
2. Ja, denn keiner ist der Nullvektor
3. Ja, denn je zwei sind nicht kollinear
Bilden die Vektoren $\vec{u} = (1|0|0)$ , $\vec{v} = (0|1|0)$ und $\vec{w} = (3|5|0)$ eine Basis des Raums?
1. Nein, denn $\vec{w} = 3\vec{u} + 5\vec{v}$
2. Ja, denn keiner ist der Nullvektor
3. Ja, denn je zwei sind nicht kollinear

In der Basis $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ sind $\vec{a} = 6\vec{u} + 5\vec{v}$ und $\vec{b} = 6\vec{v} + \vec{w}$ . Wie lautet die Koordinate von $\vec{a} + \vec{b}$ zu $\vec{v}$ ?

In einem räumlichen Koordinatensystem sind $A(12|0|5)$ und $B(0|8|5)$ . Wie lautet die zweite Koordinate des Mittelpunkts der Strecke $[AB]$ ?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$A(1|-1|6)$ und $B(4|2|5)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?
$A(1|4|4)$ und $B(4|-1|8)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?
$A(1|2|6)$ und $B(4|-2|8)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?

Merkkarte

Basis und Koordinatensystem

Basis: drei nicht komplanare Vektoren.
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A|y_B - y_A|z_B - z_A)$ .

Achtung: Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren bilden nicht immer eine Basis.

3. Koordinaten: Skalarprodukt, Betrag und Abstand

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

In einem kartesischen Koordinatensystem ist $\vec{u} = (1|2|2)$ . Wie lang ist $\vec{u}$ ?

$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ $1 + 4 + 4 = 9 = 3$ ." data-option="1"> $3$
$1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$ $1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 9$ ist das Quadrat der Länge. Zieh noch die Wurzel." data-option="2"> $9$
$\sqrt{1 + 4 + 4}$ $1 + 4 + 4$ ." data-option="3"> $\sqrt{5}$

Die Grundidee

In einem kartesischen Koordinatensystem rechnet man alles mit den Koordinaten.

Für $\vec{u} = (x|y|z)$ und $\vec{v} = (x'|y'|z')$ : $\vec{u} \circ \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ und $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

$\overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

Beispiel

Sind $\vec{u} = (2|-1|3)$ und $\vec{v} = (1|5|1)$ orthogonal?

\vec{u} \circ \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 + 3 \cdot 1

Koordinaten paarweise multiplizieren, dann addieren.

\vec{u} \circ \vec{v} = 2 - 5 + 3 = 0

Ausrechnen.

Sie sind orthogonal.

Skalarprodukt null bedeutet orthogonal.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ für $\vec{u} = (1|2|3)$ und $\vec{v} = (4|0|2)$ .

4 + 0 + 6

xx' + yy' + zz'.

10

Die Summe.

Üben ★

In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-3|6|2)$ und $\vec{v} = (3|4|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-4|2|2)$ und $\vec{v} = (1|2|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-2|5|2)$ und $\vec{v} = (5|6|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

Vorsicht!

Üben ★★

In einem kartesischen Koordinatensystem sind $A(-2|-4|1)$ und $B(-1|-2|3)$ . Berechne den Abstand $\overline{AB}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $A(-4|-2|1)$ und $B(0|6|9)$ . Berechne den Abstand $\overline{AB}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $A(-2|0|1)$ und $B(0|4|5)$ . Berechne den Abstand $\overline{AB}$ .

Für welchen Wert von $t$ sind $\vec{u} = (3|6|1)$ und $\vec{v} = (1|1|t)$ orthogonal?

Berechne in einem kartesischen Koordinatensystem die Länge von $\vec{u} = (1|2|2)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-3|6|2)$ und $\vec{v} = (3|4|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-4|2|2)$ und $\vec{v} = (1|2|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-2|5|2)$ und $\vec{v} = (5|6|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

Merkkarte

Im kartesischen Koordinatensystem

$\vec{u} \circ \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ .
$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .
$\overline{AB} = |\overrightarrow{AB}|$ .

Achtung: Wurzel und dritte Koordinate nicht vergessen.

4. Das Skalarprodukt im Raum

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

In einem Würfel mit der Kantenlänge 1 liegen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AE}$ auf zwei zueinander senkrechten Kanten. Wie groß ist $\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AE}$ ?

Die Grundidee

Zwei Vektoren im Raum liegen immer in einer Ebene: Das Skalarprodukt wird wie in der Ebene definiert.

$\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$ , wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

$\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind genau dann orthogonal, wenn $\vec{u} \circ \vec{v} = 0$ gilt.

Linearität: $\vec{u} \circ (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \circ \vec{v} + b\,\vec{u} \circ \vec{w}$ . Außerdem: $\vec{u} \circ \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(|\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\right)$ .

Beispiel

$|\vec{u}| = 3$ , $|\vec{v}| = 4$ , und der Winkel zwischen ihnen ist $60°$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

\vec{u} \circ \vec{v} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60°

Definition anwenden.

\vec{u} \circ \vec{v} = 6

cos 60° = 1/2.

Du bist dran

Jetzt du: $\vec{u} \circ \vec{v} = 5$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 2$ . Berechne $\vec{u} \circ (3\vec{v} + \vec{w})$ .

3 \cdot 5 + 2

Linearität.

17

Die Summe.

Üben ★

$|\vec{u}| = 2$ , $|\vec{v}| = 5$ , und der Winkel zwischen den Vektoren ist $60°$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
$|\vec{u}| = 7$ , $|\vec{v}| = 4$ , und der Winkel zwischen den Vektoren ist $60°$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
$|\vec{u}| = 3$ , $|\vec{v}| = 7$ , und der Winkel zwischen den Vektoren ist $60°$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 9$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 1$ . Berechne $\vec{u} \circ (5\vec{v} + 4\vec{w})$ .
Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 3$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 5$ . Berechne $\vec{u} \circ (3\vec{v} + 4\vec{w})$ .
Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 1$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 1$ . Berechne $\vec{u} \circ (4\vec{v} + 4\vec{w})$ .

$|\vec4| = 4$ , $|\vec5| = 5$ und $\vec4 \circ \vec5 = 3$ . Berechne $|\vec4 + \vec5|^2$ .

$|\vec{u}| = 7$ , $|\vec{v}| = 4$ und $\vec{u} \perp \vec{v}$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 9$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 1$ . Berechne $\vec{u} \circ (5\vec{v} + 4\vec{w})$ .
Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 3$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 5$ . Berechne $\vec{u} \circ (3\vec{v} + 4\vec{w})$ .
Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 1$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 1$ . Berechne $\vec{u} \circ (4\vec{v} + 4\vec{w})$ .

Merkkarte

Skalarprodukt

$\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$ .
Orthogonal $\iff \vec{u} \circ \vec{v} = 0$ .
$\vec{u} \circ (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \circ \vec{v} + b\,\vec{u} \circ \vec{w}$ .

Achtung: Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.

5. Vektorprodukt

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$\vec{u} = (1|0|0)$ und $\vec{v} = (0|1|0)$ spannen die $x_1x_2$ -Ebene auf. Welcher Vektor steht auf beiden senkrecht?

Nicht maßstabsgetreu

$x_3$ $x_{3}$ -Achse. Das Vektorprodukt liefert genau solche Vektoren." data-option="1"> $(0|0|1)$
$0$ , das Skalarprodukt

Die Grundidee

Das Vektorprodukt liefert einen Vektor, der auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht steht.

$\vec{u} \times \vec{v} = \left(u_2v_3 - u_3v_2 \,|\, u_3v_1 - u_1v_3 \,|\, u_1v_2 - u_2v_1\right)$ . Es steht senkrecht auf $\vec{u}$ und auf $\vec{v}$ , eignet sich also als Normalenvektor.

$|\vec{u} \times \vec{v}|$ ist der Flächeninhalt des von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aufgespannten Parallelogramms; ein Dreieck $ABC$ hat den Flächeninhalt $\dfrac{1}{2}\,|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ .

Beispiel

$\vec{u} = (1|2|0)$ , $\vec{v} = (0|1|2)$ . Berechne $\vec{u} \times \vec{v}$ .

\vec{u} \times \vec{v} = (4|-2|1)

2 · 2 − 0 · 1, 0 · 0 − 1 · 2, 1 · 1 − 2 · 0.

(4|-2|1) \circ (1|2|0) = 4 - 4 + 0 = 0

Probe mit dem Skalarprodukt.

|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}

Fläche des Parallelogramms.

Du bist dran

Jetzt du: Das Dreieck mit $A(0|0|0)$ , $B(4|0|0)$ , $C(0|3|0)$ : Es ist $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0|0|12)$ . Berechne den Flächeninhalt.

\dfrac{1}{2} \cdot 12

Betrag 12.

6

Flächeninhalt.

Üben ★

$\vec{u} = (-1|-2|1)$ und $\vec{v} = (4|4|-1)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?
$\vec{u} = (-2|3|2)$ und $\vec{v} = (-4|2|-4)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?
$\vec{u} = (0|-1|-3)$ und $\vec{v} = (-3|-1|1)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Die Vektoren $\vec{u} = (4|0|0)$ und $\vec{v} = (2|1|0)$ spannen ein Parallelogramm auf. Berechne seinen Flächeninhalt mit dem Vektorprodukt.
Die Vektoren $\vec{u} = (5|0|0)$ und $\vec{v} = (0|7|0)$ spannen ein Parallelogramm auf. Berechne seinen Flächeninhalt mit dem Vektorprodukt.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $A(0|0|0)$ , $B(3|0|0)$ , $C(0|5|0)$ mit dem Vektorprodukt.

Was gilt für $\vec{u} \times \vec{v}$ , wenn $\vec{u}$ und $\vec{v}$ nicht kollinear sind?
1. Es ist ein Vektor, der auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht steht
2. Es ist eine Zahl, die angibt, ob $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal sind
3. Es ist ein Vektor in der Ebene von $\vec{u}$ und $\vec{v}$

Abschlussaufgabe. Die Ebene $E$ wird von $\vec{u} = (2|4|0)$ und $\vec{v} = (0|1|2)$ aufgespannt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$\vec{u} = (-1|-2|1)$ und $\vec{v} = (4|4|-1)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?
$\vec{u} = (-2|3|2)$ und $\vec{v} = (-4|2|-4)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?
$\vec{u} = (0|-1|-3)$ und $\vec{v} = (-3|-1|1)$ . Wie lautet die erste Koordinate von $\vec{u} \times \vec{v}$ ?

Merkkarte

Vektorprodukt

$\vec{u} \times \vec{v}$ steht senkrecht auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ .
$|\vec{u} \times \vec{v}|$ : Fläche des Parallelogramms.
Dreieck: die Hälfte.

Achtung: Das Vektorprodukt ist ein Vektor, das Skalarprodukt eine Zahl.

Lösungen: Analytische Geometrie: Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt

1. Vektoren im Raum und Linearkombinationen

$\overrightarrow{AH}$
$\overrightarrow{AH}$

2. Basen und Koordinatensysteme im Raum

$3$
$-5$
$-4$

Nein, denn $\vec{w} = 4\vec{u} + 5\vec{v}$
Nein, denn $\vec{w} = 3\vec{u} + 5\vec{v}$

$11$

$3$
$-5$
$-4$

3. Koordinaten: Skalarprodukt, Betrag und Abstand

$13$
$-2$
$18$

$3$
$12$
$6$

$-9$

$13$
$-2$
$18$

4. Das Skalarprodukt im Raum

$5$
$14$
$\frac{21}{2}$

$49$
$29$
$8$

$47$

$49$
$29$
$8$

5. Vektorprodukt

$-2$
$-16$
$-4$

$4$
$35$

$\frac{15}{2}$

Es ist ein Vektor, der auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht steht

$2 \sqrt{21}$

$-2$
$-16$
$-4$