Optimierung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Bauer hat $p$ m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks an einer Mauer. Der Graph zeigt den Flächeninhalt $A(x) = x(p - 2x)$ für die Breite $x$ . Verändere $p$ .

Der Flächeninhalt A(x) = x(p − 2x) eines Rechtecks, das an drei Seiten mit p Metern Zaun begrenzt ist. Jede Parabel hat ihren Hochpunkt bei x = p/4.

Wo ist der Flächeninhalt für $p = 40$ am größten?

Bei $x = 10$
Bei $x \approx 13{,}3$ , einem Quadrat

Die Grundidee

Mach aus dem Text eine Funktion mit einer Variablen und vergleiche dann Extremstellen und Randwerte.

Extremwertaufgaben: (1) die zu optimierende Größe und die Variablen benennen; (2) mit der Nebenbedingung als Funktion einer Variablen schreiben; (3) die Definitionsmenge angeben; (4) Extremstellen bestimmen und mit den Randwerten vergleichen; (5) die gestellte Frage beantworten, mit Einheit.

Beispiel

Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Maximiere ihr Produkt.

P(x) = x(20 - x)

,

0 < x < 20

Nebenbedingung y = 20 − x.

x = 10

, ein Maximum (

P'' = -2

)

P'(x) = 20 − 2x.

Größtes Produkt

P(10) = 100

Gefragt ist das Produkt.

Du bist dran

Jetzt du: dieselbe Aufgabe mit der Summe 30.

Größtes Produkt

225

x = 15 = y.

Üben ★

Zwei positive Zahlen haben die Summe 35. Wie groß kann ihr Produkt höchstens sein?
Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Wie groß kann ihr Produkt höchstens sein?

Ein Bauer hat 104 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².
Ein Bauer hat 40 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².

Vorsicht!

Üben ★★

Aus den Ecken eines quadratischen Blatts mit 9 cm Seitenlänge werden Quadrate mit der Seite $x$ ausgeschnitten, und die Ränder werden zu einer offenen Schachtel hochgeklappt. Für welches $x$ ist das Volumen am größten?
Aus den Ecken eines quadratischen Blatts mit 15 cm Seitenlänge werden Quadrate mit der Seite $x$ ausgeschnitten, und die Ränder werden zu einer offenen Schachtel hochgeklappt. Für welches $x$ ist das Volumen am größten?

Abschlussaufgabe. Aus den Ecken eines quadratischen Blatts mit 18 cm Seitenlänge werden Quadrate mit der Seite $x$ ausgeschnitten, um eine offene Schachtel zu falten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ein Bauer hat 104 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².
Ein Bauer hat 40 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².
Ein Bauer hat 60 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².

Merkkarte

Extremwertaufgaben

Zielgröße und Nebenbedingung.
Funktion einer Variablen und ihre Definitionsmenge.
Extremstellen und Randwerte vergleichen.
Die Frage beantworten: Wert oder Stelle, mit Einheit.

Achtung: Nicht jede Nullstelle von $f'$ ist das Optimum.

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