Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Funktionenscharen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax beschreibt eine ganze Schar von Parabeln, eine für jedes aa. Verändere aa. Wo liegt der Tiefpunkt für a=2a = 2?

Die Parabel f_a(x) = x² − 2ax: Ihr Tiefpunkt T(a | −a²) wandert auf der Parabel y = −x².
  1. f2′(x)=2x−4=0f_2'(x) = 2x - 4 = 0 bei x=2x = 2, und f2(2)=−4f_2(2) = -4." data-option="1">T(2∣−4)T(2|-4)
  2. xx, nicht nach aa: f2′(x)=2x−4=0f_2'(x) = 2x - 4 = 0 bei x=2x = 2." data-option="2">T(0∣0)T(0|0)

Die Grundidee

Rechne mit aa wie mit einer festen Zahl; abgeleitet wird nach xx.

Eine Funktionenschar faf_a ordnet jedem Wert des Parameters aa eine Funktion zu. Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte berechnest du wie sonst, mit aa im Ergebnis.

Ortskurve: Hängt der Extrempunkt von aa ab, T(x(a)∣y(a))T(x(a)|y(a)), löst du x=x(a)x = x(a) nach aa auf und setzt in yy ein. Gemeinsame Punkte aller Graphen: fa(x)=fb(x)f_a(x) = f_b(x) für a≠ba \neq b.

Beispiel

Tiefpunkt von fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax und seine Ortskurve.

fa′(x)=2x−2a=0f_a'(x) = 2x - 2a = 0, also x=ax = a
Nach x ableiten.
T(a∣−a2)T(a|-a^2)
Einsetzen.
Ortskurve y=−x2y = -x^2
x = a einsetzen.

Du bist dran

Jetzt du: fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax. Welche y-Koordinate hat der Tiefpunkt für a=3a = 3?

−32-3^2
T(a|−a²) mit a = 3.
−9-9
Ergebnis.

Üben ★

  1. fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax. Für welches aa liegt der Tiefpunkt bei x=3x = 3?
  2. fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax. Für welches aa liegt der Tiefpunkt bei x=2x = 2?
  1. fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax. Welche y-Koordinate hat der Tiefpunkt für a=−4a = -4?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Alle Graphen der Schar fa(x)=ax2−1axf_a(x) = ax^2 - 1ax (mit a≠0a \neq 0) gehen durch zwei gemeinsame Punkte. Welche x-Koordinate hat der Punkt mit x>0x > 0?
  2. Alle Graphen der Schar fa(x)=ax2−2axf_a(x) = ax^2 - 2ax (mit a≠0a \neq 0) gehen durch zwei gemeinsame Punkte. Welche x-Koordinate hat der Punkt mit x>0x > 0?
  1. Die Tiefpunkte der Schar faf_a sind T(a∣−a2)T(a|-a^2). Auf welcher Kurve liegen sie alle?
    1. y=−x2y = -x^2
    2. y=−a2y = -a^2
    3. y=x2y = x^2
  1. Abschlussaufgabe. Gegeben ist die Schar fa(x)=x2−2ax+9f_a(x) = x^2 - 2ax + 9.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax. Für welches aa liegt der Tiefpunkt bei x=3x = 3?
  2. fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax. Für welches aa liegt der Tiefpunkt bei x=2x = 2?
  3. fa(x)=x2−2axf_a(x) = x^2 - 2ax. Für welches aa liegt der Tiefpunkt bei x=−2x = -2?

Merkkarte

Funktionenscharen

  • aa ist eine feste Zahl; abgeleitet wird nach xx.
  • Ortskurve: x(a)x(a) nach aa auflösen und einsetzen.
  • Gemeinsame Punkte: fa(x)=fb(x)f_a(x) = f_b(x).

Achtung: Nicht nach aa ableiten.

2. Extrema, Optimierung und Ungleichungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie verläuft die Tangente an einer Maximumstelle einer differenzierbaren Funktion?

  1. Waagrecht
  2. Senkrecht

Die Grundidee

Lokale Extremstellen sucht man unter den Nullstellen von f′f'.

Hat ff an einer inneren Stelle aa ein lokales Extremum, so gilt f′(a)=0f'(a) = 0. Die Umkehrung ist falsch: f′f' muss das Vorzeichen wechseln.

Ungleichungen: Um f≥gf \geq g zu zeigen, untersucht man das Monotonieverhalten von f−gf - g.

Beispiel

Ein rechteckiges Gehege hat einen Umfang von 40 m. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?

A(x)=x(20−x)A(x) = x(20 - x)
Mit x ist die andere Seite 20 − x.
A′(x)=20−2x=0A'(x) = 20 - 2x = 0, also x=10x = 10
Nullstelle von A'.
A(10)=100A(10) = 100 m²
Flächeninhalt.

Du bist dran

Jetzt du: Hat f(x)=x3f(x) = x^3 bei 0 ein Extremum? Wie groß ist f′(0)f'(0)?

00
f' wird null, ohne das Vorzeichen zu wechseln: kein Extremum.

Üben ★

  1. Ein Rechteck hat den Umfang 30. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?
  2. Ein Rechteck hat den Umfang 20. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?
  3. Ein Rechteck hat den Umfang 12. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welchen Tiefstwert hat f(x)=x2−10x+29f(x) = x^2 - 10x + 29?
  2. Welchen Tiefstwert hat f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8?
  1. Abschlussaufgabe. Untersucht wird f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.
  1. Für f(x)=x3f(x) = x^3 gilt f′(0)=0f'(0) = 0. Liegt bei 0 ein Extremum vor?
    1. Nein: f′f' wechselt nicht das Vorzeichen
    2. Ja: f′f' wird null
    3. Ja: ein Minimum
  1. An welcher Stelle xx hat f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x ihr Maximum?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Rechteck hat den Umfang 30. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?
  2. Ein Rechteck hat den Umfang 20. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?
  3. Ein Rechteck hat den Umfang 12. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?

Merkkarte

Optimieren

  • Nullstellen von f′f' bestimmen.
  • Vorzeichenwechsel prüfen.

Achtung: f′(a)=0f'(a) = 0 reicht nicht.

3. Optimierung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Bauer hat pp m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks an einer Mauer. Der Graph zeigt den Flächeninhalt A(x)=x(p−2x)A(x) = x(p - 2x) für die Breite xx. Verändere pp.

Der Flächeninhalt A(x) = x(p − 2x) eines Rechtecks, das an drei Seiten mit p Metern Zaun begrenzt ist. Jede Parabel hat ihren Hochpunkt bei x = p/4.

Wo ist der Flächeninhalt für p=40p = 40 am größten?

  1. Bei x=10x = 10
  2. Bei x≈13,3x \approx 13{,}3, einem Quadrat

Die Grundidee

Mach aus dem Text eine Funktion mit einer Variablen und vergleiche dann Extremstellen und Randwerte.

Extremwertaufgaben: (1) die zu optimierende Größe und die Variablen benennen; (2) mit der Nebenbedingung als Funktion einer Variablen schreiben; (3) die Definitionsmenge angeben; (4) Extremstellen bestimmen und mit den Randwerten vergleichen; (5) die gestellte Frage beantworten, mit Einheit.

Beispiel

Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Maximiere ihr Produkt.

P(x)=x(20−x)P(x) = x(20 - x), 0<x<200 < x < 20
Nebenbedingung y = 20 − x.
x=10x = 10, ein Maximum (P′′=−2P'' = -2)
P'(x) = 20 − 2x.
Größtes Produkt P(10)=100P(10) = 100
Gefragt ist das Produkt.

Du bist dran

Jetzt du: dieselbe Aufgabe mit der Summe 30.

Größtes Produkt 225225
x = 15 = y.

Üben ★

  1. Zwei positive Zahlen haben die Summe 35. Wie groß kann ihr Produkt höchstens sein?
  2. Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Wie groß kann ihr Produkt höchstens sein?
  1. Ein Bauer hat 104 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².
  2. Ein Bauer hat 40 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Aus den Ecken eines quadratischen Blatts mit 9 cm Seitenlänge werden Quadrate mit der Seite xx ausgeschnitten, und die Ränder werden zu einer offenen Schachtel hochgeklappt. Für welches xx ist das Volumen am größten?
  2. Aus den Ecken eines quadratischen Blatts mit 15 cm Seitenlänge werden Quadrate mit der Seite xx ausgeschnitten, und die Ränder werden zu einer offenen Schachtel hochgeklappt. Für welches xx ist das Volumen am größten?
  1. Abschlussaufgabe. Aus den Ecken eines quadratischen Blatts mit 18 cm Seitenlänge werden Quadrate mit der Seite xx ausgeschnitten, um eine offene Schachtel zu falten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Bauer hat 104 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².
  2. Ein Bauer hat 40 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².
  3. Ein Bauer hat 60 m Zaun für drei Seiten eines Rechtecks; eine lange Mauer bildet die vierte Seite. Bestimme den größtmöglichen Flächeninhalt in m².

Merkkarte

Extremwertaufgaben

  1. Zielgröße und Nebenbedingung.
  2. Funktion einer Variablen und ihre Definitionsmenge.
  3. Extremstellen und Randwerte vergleichen.
  4. Die Frage beantworten: Wert oder Stelle, mit Einheit.

Achtung: Nicht jede Nullstelle von f′f' ist das Optimum.

Lösungen: Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

1. Funktionenscharen

A

  1. 33
  2. 22

B

  1. −16-16

C

  1. 11
  2. 22

D

  1. y=−x2y = -x^2

E

  1. 33

F

  1. 33
  2. 22
  3. −2-2

2. Extrema, Optimierung und Ungleichungen

A

  1. 2254\frac{225}{4}
  2. 2525
  3. 99

B

  1. 44
  2. 77

C

  1. 22

D

  1. Nein: f′f' wechselt nicht das Vorzeichen

E

  1. 22

F

  1. 2254\frac{225}{4}
  2. 2525
  3. 99

3. Optimierung

A

  1. 12254\frac{1225}{4}
  2. 100100

B

  1. 13521352
  2. 200200

C

  1. 32\frac{3}{2}
  2. 52\frac{5}{2}

D

  1. 432432

E

  1. 13521352
  2. 200200
  3. 450450