Schnitt Gerade-Ebene und orthogonale Projektion

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die Gerade $x = t$ , $y = t$ , $z = t$ schneidet die Ebene $x + y + z - 6 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?

$t = 2$
$t = 6$

Die Grundidee

Um eine Gerade mit einer Ebene zu schneiden, setzt man $x$ , $y$ , $z$ der Geraden in die Ebenengleichung ein.

Nicht maßstabsgetreu

Schnittpunkt: Man löst die Gleichung nach $t$ auf und berechnet den Punkt.

Lotfußpunkt von $M$ auf $E$ : Er ist der Schnittpunkt von $E$ mit der Lotgeraden durch $M$ , deren Richtungsvektor ein Normalenvektor von $E$ ist. Der Abstand von $M$ zu $E$ ist $MF$ .

Beispiel

Bestimme den Lotfußpunkt $F$ von $M(1|1|3)$ auf der Ebene $z = 0$ mit Normalenvektor $\vec{n} = (0|0|1)$ .

x = 1

,

y = 1

,

z = 3 + t

Die Lotgerade geht durch M, Richtung n.

3 + t = 0

, also

t = -3

Sie trifft die Ebene für z = 0.

F(1|1|0)

und

MF = 3

Den Punkt berechnen.

Du bist dran

Jetzt du: Die Gerade $x = 1 + t$ , $y = 2$ , $z = t$ schneidet die Ebene $x + z - 5 = 0$ . Bestimme $t$ .

2t - 4 = 0

Einsetzen: 1 + t + t − 5 = 0.

t = 2

Auflösen.

Üben ★

Die Gerade $x = t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 19 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?
Die Gerade $x = t$ , $y = 5t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 13 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?
Die Gerade $x = t$ , $y = 1t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 11 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Wie groß ist der Abstand des Punkts $M(3|2|7)$ von der Ebene $z = 0$ ?
Wie groß ist der Abstand des Punkts $M(2|5|7)$ von der Ebene $z = 0$ ?

Abschlussaufgabe. In einem kartesischen Koordinatensystem ist $E$ die Ebene $x + y + z - 6 = 0$ und $M$ der Punkt $(3|3|3)$ .

Die Gerade mit Richtungsvektor $\vec{u} = (1|-1|0)$ geht durch $A(0|0|2)$ , und die Ebene $E$ hat die Gleichung $x + y + z = 0$ . Was gilt?
1. Die Gerade ist parallel zu $E$ und schneidet sie nicht
2. Die Gerade schneidet $E$ in genau einem Punkt
3. Die Gerade liegt in $E$

Der Punkt $N(12|6|6)$ hat auf einer Ebene den Lotfußpunkt $M(3|6|6)$ . Wie groß ist der Abstand von $N$ zur Ebene?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Gerade $x = t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 19 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?
Die Gerade $x = t$ , $y = 5t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 13 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?
Die Gerade $x = t$ , $y = 1t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 11 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?

Merkkarte

Schnittpunkt und Lotfußpunkt

Gerade und Ebene: einsetzen, nach $t$ auflösen, Punkt berechnen.
Lotfußpunkt von $M$ auf $E$ : Die Lotgerade durch $M$ mit Richtung $\vec{n}$ schneidet $E$ in $F$ .

Achtung: Der Abstand von $M$ zu $E$ ist $MF$ , mit dem Lotfußpunkt $F$ .

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