Kapitel drucken

Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Mit Lösungen

Für ein PDF wähle im Druckdialog „Als PDF speichern“.

1. Parameterdarstellung einer Geraden

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Eine Drohne startet in $A(1|2|0)$ und bewegt sich jede Sekunde um $\vec{u} = (2|0|1)$ . Wo ist sie nach 3 Sekunden?

$(7|2|3)$
$(6|0|3)$

Die Grundidee

Ein Punkt $X$ liegt genau dann auf der Geraden durch $A$ mit Richtungsvektor $\vec{u}$ , wenn $\overrightarrow{AX} = t \cdot \vec{u}$ für eine reelle Zahl $t$ gilt.

Nicht maßstabsgetreu

Parameterform der Geraden durch $A(x_A|y_A|z_A)$ mit Richtungsvektor $\vec{u} = (a|b|c)$ , $g\colon \vec{X} = \vec{A} + t \cdot \vec{u}$ , also koordinatenweise:

$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$

Beispiel

Liegt der Punkt $B(5|4|7)$ auf der Geraden $x = 1 + 2t$ , $y = t + 2$ , $z = 3t + 1$ ?

1 + 2t = 5

, also

t = 2

Die erste Gleichung liefert t.

y = 2 + 2 = 4

: passt.

Probe mit y.

z = 3 \cdot 2 + 1 = 7

: passt.

Probe mit z.

B

liegt auf der Geraden.

Dasselbe t erfüllt alle drei Gleichungen.

Du bist dran

Jetzt du: Für $x = 2 + t$ , $y = 3t$ , $z = 1 - t$ bestimme $y$ für $t = 4$ .

y = 3 \cdot 4

t = 4 einsetzen.

12

Das Produkt.

Üben ★

Eine Gerade hat die Parameterform $x = -3 + 5t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?
Eine Gerade hat die Parameterform $x = 5 + 6t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?
Eine Gerade hat die Parameterform $x = -1 + 4t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Gerade hat die Parameterform $x = 2 + t$ , $y = 4 - 2t$ , $z = 2t$ . Welcher Vektor ist ein Richtungsvektor dieser Geraden?
1. $(1|-2|2)$
2. $(2|4|0)$
3. $(2|-2|2)$
Eine Gerade hat die Parameterform $x = 6 + t$ , $y = 4 - 2t$ , $z = 6t$ . Welcher Vektor ist ein Richtungsvektor dieser Geraden?
1. $(1|-2|6)$
2. $(6|4|0)$
3. $(6|-2|6)$

Eine Gerade geht durch $A(1|0|2)$ und hat den Richtungsvektor $\vec5 = (5|1|-1)$ . Gib $x$ in Abhängigkeit von $t$ an.
Eine Gerade geht durch $A(5|0|2)$ und hat den Richtungsvektor $\vec6 = (6|1|-1)$ . Gib $x$ in Abhängigkeit von $t$ an.

Die Gerade $x = 4 + t$ , $y = 2t$ , $z = 2$ geht durch einen Punkt mit der x-Koordinate $7$ . Welche y-Koordinate hat er?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Eine Gerade hat die Parameterform $x = -3 + 5t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?
Eine Gerade hat die Parameterform $x = 5 + 6t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?
Eine Gerade hat die Parameterform $x = -1 + 4t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?

Merkkarte

Parameterform einer Geraden

$x = x_A + at$ , $y = y_A + bt$ , $z = z_A + ct$ .
Konstanten: ein Aufpunkt. Koeffizienten von $t$ : ein Richtungsvektor.

Achtung: Bei der Punktprobe muss dasselbe $t$ alle drei Gleichungen erfüllen.

2. Geraden und Ebenen im Raum: gegenseitige Lage

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Im Würfel $ABCDEFGH$ sind die Geraden $AB$ und $CG$ nicht parallel. Schneiden sie sich?

Nicht maßstabsgetreu

Nein
Ja

Die Grundidee

Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festgelegt, eine Ebene durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungsvektoren.

Zwei Geraden im Raum schneiden sich, sind parallel oder sind windschief.

Eine Gerade und eine Ebene schneiden sich oder sind parallel. Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden oder sind parallel.

Beispiel

$\vec{u} = (1|0|2)$ ist Richtungsvektor der Geraden $g$ . Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|0|1)$ . Ist $g$ parallel zu $E$ ?

\vec{u} = \vec{v} + 2\vec{w}

Man versucht, u mit v und w darzustellen.

Also ist

g

parallel zu

E

u ist eine Linearkombination von zwei Richtungsvektoren von E.

Du bist dran

Jetzt du: $\vec{u} = (3|0|4) = a\vec{v} + b\vec{w}$ mit $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|0|1)$ . Wie groß ist $b$ ?

a = 3

Erste Koordinate ablesen.

b = 4

Dritte Koordinate ablesen.

Üben ★

Wie liegen im Würfel $ABCDEFGH$ ( $E$ über $A$ , $F$ über $B$ usw.) die Geraden $AB$ und $EF$ zueinander?
1. Parallel
2. Schneidend
3. Windschief
Wie liegen im Würfel $ABCDEFGH$ ( $E$ über $A$ , $F$ über $B$ usw.) die Geraden $AB$ und $EF$ zueinander?
1. Parallel
2. Schneidend
3. Windschief

Vorsicht!

Üben ★★

Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (3|3|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$
Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (2|1|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$

Mit $\vec{v} = (1|1|0)$ und $\vec{w} = (0|1|1)$ gilt $6\vec{v} + 7\vec{w} = (x|y|z)$ . Wie groß ist $y$ ?

Wie liegt im Würfel $ABCDEFGH$ ( $E$ über $A$ ) die Gerade $EF$ zur Ebene durch $A$ , $B$ und $C$ ?
1. Parallel zur Ebene, ohne gemeinsamen Punkt
2. Sie schneidet die Ebene
3. Sie liegt in der Ebene

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (3|3|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$
Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (2|1|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$
Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (4|4|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$

Merkkarte

Lagebeziehungen

Zwei Geraden: schneidend, parallel oder windschief.
Gerade und Ebene: schneidend oder parallel.
Zwei Ebenen: schneiden sich in einer Geraden oder sind parallel.

Achtung: Im Raum heißt „nicht parallel“ nicht „schneidend“.

3. Koordinatengleichung einer Ebene

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Eine Ebene geht durch den Ursprung und hat den Normalenvektor $\vec{n} = (1|2|3)$ . Liegt der Punkt $M(1|1|-1)$ in dieser Ebene?

$\overrightarrow{OM} \circ \vec{n} = 1 + 2 - 3 = 0$ $O M \circ n = 1 + 2 - 3 = 0$ , also steht OM senkrecht auf n." data-option="1">Ja
$\overrightarrow{OM} \circ \vec{n}$ $O M \circ n$ : Es ist 0, also liegt M in der Ebene." data-option="2">Nein

Die Grundidee

$X$ liegt genau dann in der Ebene durch $A$ mit Normalenvektor $\vec{n}$ , wenn $\overrightarrow{AX} \circ \vec{n} = 0$ gilt (Normalenform).

Eine Ebene mit Normalenvektor $\vec{n} = (a|b|c)$ hat eine Koordinatenform $ax + by + cz + d = 0$ .

Man bestimmt $d$ , indem man einen gegebenen Punkt in die Gleichung einsetzt.

Beispiel

Bestimme eine Gleichung der Ebene durch $A(1|2|1)$ mit Normalenvektor $\vec{n} = (2|1|3)$ .

2x + y + 3z + d = 0

Die Koordinaten von n liefern a, b, c.

2 + 2 + 3 + d = 0

A liegt in der Ebene: einsetzen.

d = -7

Auflösen.

2x + y + 3z - 7 = 0

Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: Die Ebene $x + 4y - z + d = 0$ geht durch $A(1|1|2)$ . Bestimme $d$ .

3 + d = 0

Einsetzen: 1 + 4 − 2 + d = 0.

d = -3

Auflösen.

Üben ★

Die Ebene $1x + 1y + 1z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(3|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?
Die Ebene $5x + 4y + 4z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(5|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?
Die Ebene $2x + 4y + 5z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(5|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene $2x - 3y + z - 6 = 0$ ?
1. $(2|-3|1)$
2. $(2|-3|-6)$
3. $(2|3|1)$
Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene $6x - 2y + z - 6 = 0$ ?
1. $(6|-2|1)$
2. $(6|-2|-6)$
3. $(6|2|1)$

Der Punkt $M(1|1|z)$ liegt in der Ebene $2x + 1y + z - 8 = 0$ . Wie groß ist $z$ ?
Der Punkt $M(1|1|z)$ liegt in der Ebene $3x + 1y + z - 8 = 0$ . Wie groß ist $z$ ?

Die Ebene mit Normalenvektor $\vec{n} = (5|2|1)$ geht durch $A(4|3|0)$ . Ihre Gleichung lautet $5x + 2y + z + d = 0$ . Wie groß ist $d$ ?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Ebene $1x + 1y + 1z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(3|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?
Die Ebene $5x + 4y + 4z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(5|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?
Die Ebene $2x + 4y + 5z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(5|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?

Merkkarte

Koordinatenform einer Ebene

Normalenvektor $\vec{n} = (a|b|c)$ : $ax + by + cz + d = 0$ .
$d$ bestimmt man mit einem Punkt der Ebene.

Achtung: $d$ nicht vergessen, sonst ginge die Ebene durch den Ursprung.

4. Normalenvektor und senkrechte Ebenen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Der Fußboden eines Zimmers ist eine Ebene, und ein Lot hängt senkrecht herab. Wie steht der Faden zu allen Geraden, die man auf den Boden zeichnet?

Er steht senkrecht auf ihnen
Er ist parallel zu ihnen

Die Grundidee

Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der auf zwei nicht parallelen Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht.

$\vec{n}$ ist genau dann Normalenvektor der Ebene $E$ mit den Richtungsvektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , wenn $\vec{n} \circ \vec{u} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{v} = 0$ .

Zwei Ebenen stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind. Sie sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind.

Beispiel

Ist $\vec{n} = (1|-1|2)$ Normalenvektor der Ebene mit den Richtungsvektoren $\vec{u} = (1|1|0)$ und $\vec{v} = (2|0|-1)$ ?

\vec{n} \circ \vec{u} = 1 - 1 + 0 = 0

Erste Probe.

\vec{n} \circ \vec{v} = 2 + 0 - 2 = 0

Zweite Probe.

Ja,

\vec{n}

ist ein Normalenvektor der Ebene.

Er steht auf beiden Richtungsvektoren senkrecht.

Du bist dran

Jetzt du: Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n} = (1|2|3)$ und $\vec{m} = (2|2|-2)$ . Berechne $\vec{n} \circ \vec{m}$ .

2 + 4 - 6

Komponentenweise multiplizieren.

0

Das Ergebnis: Die Ebenen stehen senkrecht aufeinander.

Üben ★

Der Vektor $\vec{n} = (1|3|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?
Der Vektor $\vec{n} = (2|4|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?
Der Vektor $\vec{n} = (4|3|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n} = (2|1|0)$ und $\vec{m} = (1|-2|3)$ . Was gilt für die Ebenen?
1. Sie stehen senkrecht aufeinander
2. Sie sind parallel
3. Sie sind identisch
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n} = (5|1|0)$ und $\vec{m} = (1|-5|3)$ . Was gilt für die Ebenen?
1. Sie stehen senkrecht aufeinander
2. Sie sind parallel
3. Sie sind identisch

Eine Ebene hat die Richtungsvektoren $\vec{u} = (1|0|1)$ und $\vec{v} = (0|1|1)$ . Welcher dieser Vektoren ist ein Normalenvektor?
1. $\vec{n} = (5|5|-5)$
2. $\vec5 = (5|0|5)$
3. $\vec{b} = (5|5|5)$
Eine Ebene hat die Richtungsvektoren $\vec{u} = (1|0|1)$ und $\vec{v} = (0|1|1)$ . Welcher dieser Vektoren ist ein Normalenvektor?
1. $\vec{n} = (2|2|-2)$
2. $\vec2 = (2|0|2)$
3. $\vec{b} = (2|2|2)$

Der Vektor $\vec{n}$ ist Normalenvektor der Ebene $E$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{n}$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ steht senkrecht auf $E$
2. $g$ ist parallel zu $E$
3. $g$ liegt in $E$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Der Vektor $\vec{n} = (1|3|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?
Der Vektor $\vec{n} = (2|4|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?
Der Vektor $\vec{n} = (4|3|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?

Merkkarte

Normalenvektor

$\vec{n}$ Normalenvektor von $E$ : senkrecht auf zwei nicht parallelen Vektoren von $E$ .
Ebenen senkrecht: Normalenvektoren orthogonal.
Ebenen parallel: Normalenvektoren parallel.

Achtung: Ein Normalenvektor ist kein Richtungsvektor der Ebene.

5. Schnitt Gerade-Ebene und orthogonale Projektion

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Die Gerade $x = t$ , $y = t$ , $z = t$ schneidet die Ebene $x + y + z - 6 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?

$t = 2$
$t = 6$

Die Grundidee

Um eine Gerade mit einer Ebene zu schneiden, setzt man $x$ , $y$ , $z$ der Geraden in die Ebenengleichung ein.

Nicht maßstabsgetreu

Schnittpunkt: Man löst die Gleichung nach $t$ auf und berechnet den Punkt.

Lotfußpunkt von $M$ auf $E$ : Er ist der Schnittpunkt von $E$ mit der Lotgeraden durch $M$ , deren Richtungsvektor ein Normalenvektor von $E$ ist. Der Abstand von $M$ zu $E$ ist $MF$ .

Beispiel

Bestimme den Lotfußpunkt $F$ von $M(1|1|3)$ auf der Ebene $z = 0$ mit Normalenvektor $\vec{n} = (0|0|1)$ .

x = 1

y = 1

z = 3 + t

Die Lotgerade geht durch M, Richtung n.

3 + t = 0

, also

t = -3

Sie trifft die Ebene für z = 0.

F(1|1|0)

und

MF = 3

Den Punkt berechnen.

Du bist dran

Jetzt du: Die Gerade $x = 1 + t$ , $y = 2$ , $z = t$ schneidet die Ebene $x + z - 5 = 0$ . Bestimme $t$ .

2t - 4 = 0

Einsetzen: 1 + t + t − 5 = 0.

t = 2

Auflösen.

Üben ★

Die Gerade $x = t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 19 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?
Die Gerade $x = t$ , $y = 5t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 13 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?
Die Gerade $x = t$ , $y = 1t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 11 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Wie groß ist der Abstand des Punkts $M(3|2|7)$ von der Ebene $z = 0$ ?
Wie groß ist der Abstand des Punkts $M(2|5|7)$ von der Ebene $z = 0$ ?

Abschlussaufgabe. In einem kartesischen Koordinatensystem ist $E$ die Ebene $x + y + z - 6 = 0$ und $M$ der Punkt $(3|3|3)$ .

Die Gerade mit Richtungsvektor $\vec{u} = (1|-1|0)$ geht durch $A(0|0|2)$ , und die Ebene $E$ hat die Gleichung $x + y + z = 0$ . Was gilt?
1. Die Gerade ist parallel zu $E$ und schneidet sie nicht
2. Die Gerade schneidet $E$ in genau einem Punkt
3. Die Gerade liegt in $E$

Der Punkt $N(12|6|6)$ hat auf einer Ebene den Lotfußpunkt $M(3|6|6)$ . Wie groß ist der Abstand von $N$ zur Ebene?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Gerade $x = t$ , $y = 2t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 19 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?
Die Gerade $x = t$ , $y = 5t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 13 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?
Die Gerade $x = t$ , $y = 1t$ , $z = 1$ schneidet die Ebene $x + y + z - 11 = 0$ . Für welchen Wert von $t$ ?

Merkkarte

Schnittpunkt und Lotfußpunkt

Gerade und Ebene: einsetzen, nach $t$ auflösen, Punkt berechnen.
Lotfußpunkt von $M$ auf $E$ : Die Lotgerade durch $M$ mit Richtung $\vec{n}$ schneidet $E$ in $F$ .

Achtung: Der Abstand von $M$ zu $E$ ist $MF$ , mit dem Lotfußpunkt $F$ .

Lösungen: Geraden und Ebenen im Raum

1. Parameterdarstellung einer Geraden

$7$
$17$
$7$

$(1|-2|2)$
$(1|-2|6)$

$5 t + 1$
$6 t + 5$

$7$
$17$
$7$

2. Geraden und Ebenen im Raum: gegenseitige Lage

Parallel
Parallel

$g$ ist parallel zu $E$
$g$ ist parallel zu $E$

$13$

Parallel zur Ebene, ohne gemeinsamen Punkt

$g$ ist parallel zu $E$
$g$ ist parallel zu $E$
$g$ ist parallel zu $E$

3. Koordinatengleichung einer Ebene

$-6$
$-37$
$-24$

$(2|-3|1)$
$(6|-2|1)$

$-26$

$-6$
$-37$
$-24$

4. Normalenvektor und senkrechte Ebenen

$-4$
$-6$
$-7$

Sie stehen senkrecht aufeinander
Sie stehen senkrecht aufeinander

$\vec{n} = (5|5|-5)$
$\vec{n} = (2|2|-2)$

$g$ steht senkrecht auf $E$

$-4$
$-6$
$-7$

5. Schnitt Gerade-Ebene und orthogonale Projektion

$\sqrt{3}$

Die Gerade ist parallel zu $E$ und schneidet sie nicht