Rotationsvolumen: Scheibenmethode

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Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse: Es entsteht ein Kegel. Der Schnitt an der Stelle $x$ ist eine Kreisscheibe. Welchen Radius hat sie?

$x$
$\pi x$

Die Grundidee

Rotiert eine Fläche um die x-Achse, so sind die Schnitte Kreisscheiben.

Rotationskörper: Rotiert die Fläche unter

y = f(x) \ge 0

,

a \le x \le b

, um die x-Achse, so gilt

V = \pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx

.

Beispiel

Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse.

V = \pi\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx

Radius x.

= 9\pi

x³/3.

Passt zu

\tfrac{1}{3}\pi r^2 h

Probe: Ein Kegel mit Radius 3 und Höhe 3 hat (1/3)π·9·3.

Du bist dran

Jetzt du: die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 4$ .

V = 8\pi

π∫₀⁴ x dx.

Üben ★

Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 1$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.

Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 4$ , rotiert um die x-Achse (ein Kegel). Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 7$ , rotiert um die x-Achse (ein Kegel). Bestimme das Volumen.

Vorsicht!

Üben ★★

Die Fläche unter $y = e^x$ , $0 \le x \le 1$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = e^x$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 1$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 4$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.

Merkkarte

Rotationskörper

$V = \pi\displaystyle\int_a^b (\text{Radius})^2\,dx$ .

Achtung: Radius quadrieren und $\pi$ nicht vergessen.

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