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Neue Aufgaben aus dem ganzen Kapitel, für Papier.

Neue Aufgaben Mit Lösungen

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Nutze die Geometrie: Berechne $\displaystyle\int_{-6}^{ 6 } \sqrt{ 36 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ . Berechne $\displaystyle\int_0^{ 4 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_0^{x^{ 4 } } \cos t\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
Hier ist der Graph von $y = f(t)$ . Es sei $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, dessen x-Wert zu einem lokalen Maximum von $g$ gehört.
Berechne $\displaystyle\int_0^{ 5 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^{\pi/5} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Gib den exakten Wert an.
Berechne $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \mathrm{e}^{ 4x }$ mit $F(0) = \dfrac{1}{ 4 }$ .
Finde auf $\mathbb{R}$ die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 8}$ mit Nullstelle 0.
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \cos(5x)$ mit $F(0) = 0$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 2}\,dx$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = \tan x$ auf $\left]-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}\right[$ und $F(0) = 3$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 2x}$ und $F(0) = 0$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 5x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = x^2$ und $y = 4x - x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 1\cos x$ und $y = 1\sin x$ für $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{4}$ . Gib den exakten Wert an.
Berechne $\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 4 } }$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-4x}\,dx$ .
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 9 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 9$
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 6 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 6$
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 1 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 1$
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 7 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 7$
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 2 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 2$
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 3 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 3$
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 4 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 4$
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 5 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 5$
Was ergibt $\displaystyle\int_{ 8 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 8$
$F' = f$ , $F(0) = -1$ und $\displaystyle\int_0^{ 3 } f(x)\,dx = 0$ . Bestimme $F(3)$ .
In einem Tank sind 37 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 5 + 1t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 4 Minuten im Tank, in Litern?
$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 7 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 7$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 7$
$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 5 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 5$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 5$
$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 4 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 4$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 4$
$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 3 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 3$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 3$
$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 6 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 6$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 6$
$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 2 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 2$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 2$
$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 9 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 9$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 9$
$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 8 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 8$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 8$
Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 1$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 4$ , rotiert um die x-Achse (ein Kegel). Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = e^x$ , $0 \le x \le 1$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.

Lösungen

$18 \pi$
$-3$
$17$
$x^{2} + 2$
$4 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)}$
$(3, 0)$
$\frac{125}{3}$
$\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$
$60$
$\frac{\left(2 x + 2\right)^{6}}{12}$
$\frac{e^{4 x}}{4}$
$\ln{\left(x^{2} + 8 \right)} - \ln{\left(8 \right)}$
$\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$
$\ln{\left(\frac{3}{2} \right)}$
$3 - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
$\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2}$
$\frac{125}{6}$
$\frac{8}{3}$
$-1 + \sqrt{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$
Es divergiert: $\ln b \to \infty$
$-1$
$65$
Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 7$ , in Metern
$\frac{\pi}{2}$
$\frac{64 \pi}{3}$
$\frac{\pi \left(-1 + e^{2}\right)}{2}$