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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Mit Lösungen

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1. Das bestimmte Integral und seine Eigenschaften

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$\displaystyle\int_0^2 (-3)\,\mathrm{d}x$ : Die Gerade $y = -3$ liegt unterhalb der x-Achse. Welchen Wert hat das Integral?

$-6$
$6$

Die Grundidee

Ist $f$ auf $[a; b]$ stetig und positiv, so ist das Integral der Flächeninhalt unter dem Graphen, in Flächeneinheiten.

Eigenschaften von $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ :

Intervalladditivität: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ . Vertauschte Grenzen: $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$ . Linearität: $\displaystyle\int_a^b (kf + g) = k\int_a^b f + \int_a^b g$ . Konstante: $\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$ .

Beispiel

$\displaystyle\int_0^4 f = 5$ und $\displaystyle\int_4^6 f = -2$ . Berechne $\displaystyle\int_0^6 \big(2f(x) - 1\big)\,\mathrm{d}x$ .

\displaystyle\int_0^6 f = 5 + (-2) = 3

Intervalladditivität.

2 \cdot 3 - 1 \cdot 6

Linearität; die Konstante −1 über eine Länge von 6.

= 0

Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne mit derselben Funktion $f$ das Integral $\displaystyle\int_6^0 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

-3

Die Grenzen werden vertauscht: Das Vorzeichen ändert sich.

Üben ★

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Nutze die Geometrie: Berechne $\displaystyle\int_{-6}^{ 6 } \sqrt{ 36 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .
Nutze die Geometrie: Berechne $\displaystyle\int_{-1}^{ 1 } \sqrt{ 1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ . Berechne $\displaystyle\int_0^{ 4 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_0^{ 9 } f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ . Berechne $\displaystyle\int_0^{ 9 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Merkkarte

Bestimmtes Integral

Flächenbilanz: Unterhalb der x-Achse zählt die Fläche negativ.
Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen. Benachbarte Intervalle werden addiert.
$\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$ .

Achtung: Eine Konstante wird über die ganze Intervalllänge integriert.

2. Integralfunktionen: der Hauptsatz, Teil 2

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$g(x) = \displaystyle\int_0^x 2t\,\mathrm{d}t$ ist der Flächeninhalt unter der Geraden $y = 2t$ zwischen 0 und $x$ , also $x^2$ . Was ist $g'(x)$ ?

$2x$
$x^2$

Die Grundidee

Die Fläche wächst so schnell, wie der Graph hoch ist.

Ist

f

stetig, so ist die Integralfunktion

I_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

eine Stammfunktion von

f

mit Nullstelle

a

I_a' = f

und

I_a(a) = 0

Beispiel

$g(x) = \displaystyle\int_1^{x} \sqrt{t}\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ und $g(1)$ .

g'(x) = \sqrt{x}

g ist die Stammfunktion von √t mit Nullstelle 1.

g(1) = 0

Obere und untere Grenze sind gleich.

Du bist dran

Jetzt du: $g(x) = \displaystyle\int_2^x (t^3 - t)\,\mathrm{d}t$ .

g'(x) = x^3 - x

g ist eine Stammfunktion von t³ − t.

Üben ★

$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Hier ist der Graph von $y = f(t)$ . Es sei $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, dessen x-Wert zu einem lokalen Maximum von $g$ gehört.
Hier ist der Graph von $y = f(t)$ . Es sei $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, dessen x-Wert zu einem lokalen Maximum von $g$ gehört.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .

Merkkarte

Integralfunktion

$I_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $I_a(a) = 0$ .
$I_a$ steigt, wo $f > 0$ ist, und fällt, wo $f < 0$ ist.

Achtung: Die Ableitung liefert $f$ , nicht eine Stammfunktion von $f$ .

3. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Integrale berechnen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$v(t)$ ist eine Geschwindigkeit und $s(t)$ der Ort, also $s' = v$ . Die Fläche unter dem Graphen von $v$ über $[a; b]$ ist die Ortsänderung. Welcher Term passt dazu?

$s(b) - s(a)$
$s(a) - s(b)$

Die Grundidee

Zum Berechnen eines Integrals nimmt man eine Stammfunktion.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist

f

auf

[a; b]

stetig und

F

eine Stammfunktion von

f

, so gilt

\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)

Beispiel

Berechne $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$ .

F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x

Eine Stammfunktion.

F(3) - F(1) = 12 - \dfrac{4}{3}

F(3) = 12 und F(1) = 4/3.

= \dfrac{32}{3}

Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: $\displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x$ .

= 8

F(x) = x³: F(2) − F(0).

Üben ★

Berechne $\displaystyle\int_0^{ 5 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^{ 9 } x^2\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^{ 8 } x^2\,\mathrm{d}x$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne $\displaystyle\int_0^{\pi/5} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Gib den exakten Wert an.
Berechne $\displaystyle\int_0^{\pi/3} \cos x\,\mathrm{d}x$ . Gib den exakten Wert an.

Berechne $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x$ .

Abschlussaufgabe. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen der Parabel $y = 4 - x^2$ und der x-Achse.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $\displaystyle\int_{ -1 }^{ 4 } (2x + 9)\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_{ 1 }^{ 4 } (2x + 7)\,\mathrm{d}x$ .
Berechne $\displaystyle\int_{ -2 }^{ 5 } (2x + 8)\,\mathrm{d}x$ .

Merkkarte

Integral berechnen

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$ , mit $F' = f$ .

Achtung: obere Grenze minus untere Grenze; prüfe die Vorzeichen der Stammfunktion.

4. Eine verkettete Ableitung erkennen, um eine Stammfunktion zu finden

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Bekannt ist $\big(\sin(x^2)\big)' = 2x\cos(x^2)$ . Was ist also eine Stammfunktion von $2x\cos(x^2)$ ?

$\sin(x^2)$
$2x\sin(x^2)$

Die Grundidee

Gesucht ist die Form $v'(u(x)) \cdot u'(x)$ ; eine Stammfunktion davon ist $v(u(x))$ .

Formen zum Erkennen, für differenzierbares $u$ :

$u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ (mit $u > 0$ ); $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n + 1}$ ; $\dfrac{u'}{\sqrt{u}} \to 2\sqrt{u}$ ; $u'\cos u \to \sin u$ ; $u'\sin u \to -\cos u$ .

Beispiel

Finde eine Stammfunktion von $f(x) = x(x^2 + 1)^4$ .

f(x) = \dfrac{1}{2} \cdot 2x(x^2 + 1)^4

Mit u = x² + 1 ist u' = 2x. Es fehlt ein Faktor 2.

F(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(x^2 + 1)^5}{5}

u'u⁴ hat die Stammfunktion u⁵/5.

F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^5}{10}

Vereinfachen.

Du bist dran

Jetzt du: eine Stammfunktion von $3x^2\mathrm{e}^{x^3}$ .

\mathrm{e}^{x^3}

u = x³ und u' = 3x²: genau die Form u'eᵘ.

Üben ★

Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (3x + 1)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (6x + 1)^{ 2 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \mathrm{e}^{ 4x }$ mit $F(0) = \dfrac{1}{ 4 }$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \mathrm{e}^{ 3x }$ mit $F(0) = \dfrac{1}{ 3 }$ .

Finde auf $\mathbb{R}$ die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 8}$ mit Nullstelle 0.
Finde auf $\mathbb{R}$ die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 9}$ mit Nullstelle 0.

Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \cos(5x)$ mit $F(0) = 0$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (2x + 2)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 2 }{ 2 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (3x + 1)^{ 5 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 3 }\right) = 0$ .
Finde die Stammfunktion $F$ von $f(x) = (6x + 1)^{ 2 }$ mit $F\left(-\dfrac{ 1 }{ 6 }\right) = 0$ .

Merkkarte

Verkettete Funktionen integrieren

$u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ .
Fehlt ein konstanter Faktor, gleicht man ihn aus.

Achtung: Ein Faktor $x$ lässt sich nicht ausgleichen, nur ein konstanter Faktor.

5. Integrale mit Logarithmus; Exponentialfunktionen und Tangens

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

In $\displaystyle\int \dfrac{2x}{x^2 + 1}\,dx$ ist der Zähler die Ableitung des Nenners. Mit $u = x^2 + 1$ wird daraus $\displaystyle\int \dfrac{du}{u}$ . Was ergibt das?

$\ln|u| + C$
$\dfrac{u^0}{0} + C$

Die Grundidee

Drei Muster tauchen immer wieder auf.

\displaystyle\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C

;

\displaystyle\int e^{kx}\,dx = \dfrac{e^{kx}}{k} + C

;

\displaystyle\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C

Beispiel

$\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sin x + 3}\,dx$ .

u = \sin x + 3

du = \cos x\,dx

Der Zähler ist die Ableitung des Nenners.

\ln(\sin x + 3) + C

ln|u|; sin x + 3 > 0.

Du bist dran

Jetzt du: $\displaystyle\int e^{5x}\,dx$ .

\dfrac{e^{5x}}{5} + C

Durch 5 teilen.

Üben ★

Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 2x}$ und $F(0) = 0$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 5x}$ und $F(0) = 0$ .

Berechne $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 2}\,dx$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 9}\,dx$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Finde $F$ mit $F'(x) = \tan x$ auf $\left]-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}\right[$ und $F(0) = 3$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = \tan x$ auf $\left]-\tfrac{\pi}{2}; \tfrac{\pi}{2}\right[$ und $F(0) = -4$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 2x}$ und $F(0) = 0$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 5x}$ und $F(0) = 0$ .
Finde $F$ mit $F'(x) = e^{ 4x}$ und $F(0) = 0$ .

Merkkarte

Nützliche Muster

$\dfrac{g'}{g} \to \ln|g|$ .
$e^{kx} \to \dfrac{e^{kx}}{k}$ .
$\tan x \to -\ln|\cos x|$ .

Achtung: das Minuszeichen aus $du$ .

6. Fläche zwischen Kurven

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Die violette Kurve ist der Graph von $y = x^2$ , die blaue Gerade der von $y = kx$ . Zwischen $x = 0$ und $x = k$ schließen sie eine Fläche ein. Verändere $k$ .

Die Gerade y = kx und die Parabel y = x². Sie schneiden sich bei x = 0 und x = k; dazwischen liegt die Gerade oben.

Welcher Graph liegt auf $[0; k]$ oben?

Die Gerade $y = kx$
Die Parabel $y = x^2$

Die Grundidee

Fläche zwischen zwei Graphen: Man integriert die Differenz „oben minus unten“.

Ist

f(x) \geq g(x)

auf

[a; b]

, so ist der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen

\displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x

. Die Grenzen sind oft die x-Werte der Schnittpunkte.

Beispiel

Inhalt der Fläche zwischen $y = 2x$ und $y = x^2$ .

Grenzen:

0

und

2

2x = x² bei 0 und bei 2.

\displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x

Oben minus unten.

= 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}

Stammfunktion x² − x³/3, von 0 bis 2.

Du bist dran

Jetzt du: Inhalt der Fläche zwischen $y = 3x$ und $y = x^2$ .

\dfrac{9}{2}

3³/6.

Üben ★

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 5x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 4x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 1x$ und $y = x^2$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = x^2$ und $y = 4x - x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = x^2$ und $y = 2x - x^2$ .

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 1\cos x$ und $y = 1\sin x$ für $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{4}$ . Gib den exakten Wert an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 5x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 4x$ und $y = x^2$ .
Berechne den Inhalt der Fläche zwischen $y = 1x$ und $y = x^2$ .

Merkkarte

Fläche zwischen zwei Graphen

Schnittpunkte bestimmen.
Feststellen, welcher Graph oben liegt.
„Oben minus unten“ integrieren.

Achtung: Ein negatives Ergebnis heißt, dass die Reihenfolge vertauscht ist.

7. Uneigentliche Integrale über unbeschränkte Intervalle

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$\displaystyle\int_1^b \dfrac{dx}{x^2} = 1 - \dfrac{1}{b}$ . Für $b = 10$ , $100$ , $1000$ ergibt das $0{,}9$ , $0{,}99$ , $0{,}999$ . Was passiert für $b \to \infty$ ?

Es nähert sich 1
Es wächst über alle Grenzen

Die Grundidee

Ein unbeschränktes Intervall behandelt man mit einem Grenzwert: das uneigentliche Integral.

\displaystyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx

. Ist der Grenzwert eine Zahl, so konvergiert das Integral; sonst divergiert es.

Beispiel

$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-2x}\,dx$ .

\displaystyle\int_0^b e^{-2x}\,dx = \dfrac{1 - e^{-2b}}{2}

Bis b integrieren.

\displaystyle\lim_{b \to \infty} \dfrac{1 - e^{-2b}}{2} = \dfrac{1}{2}

e^{−2b} → 0.

Konvergiert gegen

\tfrac{1}{2}

Ein endlicher Grenzwert.

Du bist dran

Jetzt du: $\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^3}$ .

= \tfrac{1}{2}

[−1/(2x²)] von 1 bis b → 0 + ½.

Üben ★

Berechne $\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 4 } }$ .
Berechne $\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 3 } }$ .

Berechne $\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-4x}\,dx$ .
Berechne $\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-3x}\,dx$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Was ergibt $\displaystyle\int_{ 9 }^{\infty} \dfrac{dx}{x}$ ?
1. Es divergiert: $\ln b \to \infty$
2. Es konvergiert, weil $\dfrac{1}{x} \to 0$
3. Es ist $\ln 9$

Abschlussaufgabe. Berechne $\displaystyle\int_0^{\infty} x e^{-1x}\,dx$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 4 } }$ .
Berechne $\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 3 } }$ .
Berechne $\displaystyle\int_1^{\infty} \dfrac{dx}{x^{ 2 } }$ .

Merkkarte

Uneigentliche Integrale

$\infty$ durch $b$ ersetzen.
Integrieren.
$\lim_{b \to \infty}$ bilden: Eine Zahl heißt Konvergenz.

Achtung: $f \to 0$ garantiert keine Konvergenz.

8. Gesamtänderung: eine Größe aus ihrer Änderungsrate

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In einer Badewanne sind 40 L. In 10 Minuten fließen $\displaystyle\int_0^{10} r(t)\,dt = 60$ L zu. Wie viel Wasser ist jetzt in der Wanne?

100 L
60 L

Die Grundidee

Das Integral einer Änderungsrate ist die Gesamtänderung des Bestands.

Rekonstruktion des Bestands:

F(b) = F(a) + \displaystyle\int_a^b F'(t)\,dt

. Anfangsbestand plus Gesamtänderung.

Beispiel

Eine Stadt hat 5000 Einwohner und wächst mit $r(t) = 200 + 30t$ Personen pro Jahr. Einwohnerzahl nach 4 Jahren?

\displaystyle\int_0^4 (200 + 30t)\,dt = 800 + 240 = 1040

Gesamtänderung.

5000 + 1040 = 6040

Anfangsbestand dazu.

Du bist dran

Jetzt du: $F(2) = 7$ und $\displaystyle\int_2^5 F'(x)\,dx = -3$ . Bestimme $F(5)$ .

F(5) = 4

7 + (−3).

Üben ★

$F' = f$ , $F(0) = -1$ und $\displaystyle\int_0^{ 3 } f(x)\,dx = 0$ . Bestimme $F(3)$ .
$F' = f$ , $F(0) = -2$ und $\displaystyle\int_0^{ 6 } f(x)\,dx = -9$ . Bestimme $F(6)$ .
$F' = f$ , $F(0) = 8$ und $\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,dx = -2$ . Bestimme $F(4)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

In einem Tank sind 37 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 5 + 1t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 4 Minuten im Tank, in Litern?
In einem Tank sind 57 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 6 + 3t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 5 Minuten im Tank, in Litern?

$v(t)$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens in m/s. Was gibt $\displaystyle\int_0^{ 7 } v(t)\,dt$ an?
1. Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 7$ , in Metern
2. Die gesamte zurückgelegte Strecke, in Metern
3. Seine Geschwindigkeit bei $t = 7$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

In einem Tank sind 37 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 5 + 1t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 4 Minuten im Tank, in Litern?
In einem Tank sind 57 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 6 + 3t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 5 Minuten im Tank, in Litern?
In einem Tank sind 38 L. Es fließt Wasser mit $r(t) = 4 + 1t$ L/min zu. Wie viel Wasser ist nach 2 Minuten im Tank, in Litern?

Merkkarte

Integral als Gesamtänderung

$F(b) = F(a) + \displaystyle\int_a^b F'(t)\,dt$ : Anfangsbestand + Gesamtänderung.

Achtung: Eine momentane Rate ist kein Bestand.

9. Rotationsvolumen: Scheibenmethode

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse: Es entsteht ein Kegel. Der Schnitt an der Stelle $x$ ist eine Kreisscheibe. Welchen Radius hat sie?

$x$
$\pi x$

Die Grundidee

Rotiert eine Fläche um die x-Achse, so sind die Schnitte Kreisscheiben.

Rotationskörper: Rotiert die Fläche unter

y = f(x) \ge 0

a \le x \le b

, um die x-Achse, so gilt

V = \pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,dx

Beispiel

Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse.

V = \pi\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx

Radius x.

= 9\pi

x³/3.

Passt zu

\tfrac{1}{3}\pi r^2 h

Probe: Ein Kegel mit Radius 3 und Höhe 3 hat (1/3)π·9·3.

Du bist dran

Jetzt du: die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 4$ .

V = 8\pi

π∫₀⁴ x dx.

Üben ★

Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 1$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.

Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 4$ , rotiert um die x-Achse (ein Kegel). Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = x$ , $0 \le x \le 7$ , rotiert um die x-Achse (ein Kegel). Bestimme das Volumen.

Vorsicht!

Üben ★★

Die Fläche unter $y = e^x$ , $0 \le x \le 1$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = e^x$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 1$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 3$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.
Die Fläche unter $y = \sqrt{x}$ , $0 \le x \le 4$ , rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.

Merkkarte

Rotationskörper

$V = \pi\displaystyle\int_a^b (\text{Radius})^2\,dx$ .

Achtung: Radius quadrieren und $\pi$ nicht vergessen.

Lösungen: Flächeninhalt und bestimmtes Integral

1. Das bestimmte Integral und seine Eigenschaften

$-3$
$-1$

$18 \pi$
$\frac{\pi}{2}$

$17$
$30$

$-3$
$-1$
$-12$

2. Integralfunktionen: der Hauptsatz, Teil 2

$x^{2} + 2$
$x^{3} + 2$
$x^{3} + 1$

$(3, 0)$
$(1, 0)$

$x^{2} + 2$
$x^{3} + 2$
$x^{3} + 1$

3. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Integrale berechnen

$\frac{125}{3}$
$243$
$\frac{512}{3}$

$\sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$60$
$36$

$\frac{32}{3}$

$60$
$36$
$77$

4. Eine verkettete Ableitung erkennen, um eine Stammfunktion zu finden

$\frac{\left(2 x + 2\right)^{6}}{12}$
$\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}$
$\frac{\left(6 x + 1\right)^{3}}{18}$

$\frac{e^{4 x}}{4}$
$\frac{e^{3 x}}{3}$

$\ln{\left(x^{2} + 8 \right)} - \ln{\left(8 \right)}$
$\ln{\left(x^{2} + 9 \right)} - \ln{\left(9 \right)}$

$\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$

$\frac{\left(2 x + 2\right)^{6}}{12}$
$\frac{\left(3 x + 1\right)^{6}}{18}$
$\frac{\left(6 x + 1\right)^{3}}{18}$

5. Integrale mit Logarithmus; Exponentialfunktionen und Tangens

$\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2}$
$\frac{e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5}$

$\ln{\left(\frac{3}{2} \right)}$
$\ln{\left(\frac{10}{9} \right)}$

$3 - \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
$- \ln{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - 4$

$\frac{e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2}$
$\frac{e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5}$
$\frac{e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4}$

6. Fläche zwischen Kurven

$\frac{125}{6}$
$\frac{32}{3}$
$\frac{1}{6}$

$\frac{8}{3}$
$\frac{1}{3}$

$-1 + \sqrt{2}$

$\frac{125}{6}$
$\frac{32}{3}$
$\frac{1}{6}$

7. Uneigentliche Integrale über unbeschränkte Intervalle

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{3}$

Es divergiert: $\ln b \to \infty$

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$1$

8. Gesamtänderung: eine Größe aus ihrer Änderungsrate

$-1$
$-11$
$6$

$65$
$\frac{249}{2}$

Seine Ortsänderung von $t = 0$ bis $t = 7$ , in Metern

$65$
$\frac{249}{2}$
$48$

9. Rotationsvolumen: Scheibenmethode

$\frac{\pi}{2}$
$\frac{9 \pi}{2}$

$\frac{64 \pi}{3}$
$\frac{343 \pi}{3}$

$\frac{\pi \left(-1 + e^{2}\right)}{2}$
$\frac{\pi \left(-1 + e^{6}\right)}{2}$

$\frac{\pi}{2}$
$\frac{9 \pi}{2}$
$8 \pi$