Normalverteilung: Φ und symmetrische Intervalle

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die Kurve ist die Dichte der Standardnormalverteilung. $\Phi(z)$ ist die Fläche links von $z$ . Mit $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ : Wie groß ist die Fläche rechts von 1?

$1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ $1 - 0, 8413 = 0, 1587$ ." data-option="1"> $0{,}1587$
$1 - 0{,}8413$ $1 - 0, 8413$ ." data-option="2"> $0{,}8413$

Die Grundidee

Jede Normalverteilung führst du über $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ auf $\Phi$ zurück.

Ist $X$ normalverteilt mit $\mu$ und $\sigma$ , so gilt $P(X \leq x) = \Phi\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$ und $P(X \geq x) = 1 - \Phi\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$ .

Symmetrie: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ . Für ein symmetrisches Intervall gilt $P(\mu - c \leq X \leq \mu + c) = 2\,\Phi\left(\dfrac{c}{\sigma}\right) - 1$ .

Beispiel

Füllmengen sind normalverteilt mit $\mu = 500$ g und $\sigma = 4$ g. Gegeben ist $\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$ . Berechne $P(494 \leq X \leq 506)$ .

z = \dfrac{6}{4} = 1{,}5

Symmetrisches Intervall mit c = 6.

2 \cdot 0{,}9332 - 1

Formel für symmetrische Intervalle.

P(494 \leq X \leq 506) \approx 0{,}8664

Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: $\mu = 20$ , $\sigma = 5$ , $\Phi(2) \approx 0{,}9772$ . Berechne $P(X \geq 30)$ .

1 - \Phi(2)

z = (30 − 20)/5 = 2.

0{,}0228

Rest rechts von z = 2.

Üben ★

$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 71$ und $\sigma = 7$ . Gegeben ist $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ . Berechne $P(X \leq 78)$ .
$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 72$ und $\sigma = 5$ . Gegeben ist $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ . Berechne $P(X \leq 77)$ .

$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 74$ und $\sigma = 7$ . Gegeben ist $\Phi(2) \approx 0{,}9772$ . Berechne $P(X \geq 88)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 44$ und $\sigma = 8$ . Gegeben ist $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ . Berechne $P(36 \leq X \leq 52)$ .
$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 71$ und $\sigma = 3$ . Gegeben ist $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ . Berechne $P(68 \leq X \leq 74)$ .

$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 48$ und $\sigma = 3$ . Gegeben ist $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ . Berechne $P(X \leq 45)$ .

Abschlussaufgabe. Eine Maschine füllt Beutel; die Masse $X$ in g ist normalverteilt mit $\mu = 79$ und $\sigma = 7$ . Gegeben ist $\Phi(2) \approx 0{,}9772$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 71$ und $\sigma = 7$ . Gegeben ist $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ . Berechne $P(X \leq 78)$ .
$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 72$ und $\sigma = 5$ . Gegeben ist $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ . Berechne $P(X \leq 77)$ .
$X$ ist normalverteilt mit $\mu = 57$ und $\sigma = 4$ . Gegeben ist $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ . Berechne $P(X \leq 61)$ .

Merkkarte

Normalverteilung mit Φ

$P(X \leq x) = \Phi(z)$ mit $z = (x - \mu)/\sigma$ .
$P(X \geq x) = 1 - \Phi(z)$ und $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ .
Symmetrisch: $2\,\Phi(c/\sigma) - 1$ .

Achtung: Φ gibt die Fläche links an.

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