Stetige Zufallsgrößen und Normalverteilung

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Stetige Verteilungen mit Dichte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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XX ist eine stetige Zufallsgröße mit einer Dichtefunktion. Wie groß ist P(X=2)P(X = 2)?

  1. 00
  2. f(2)f(2)

Die Grundidee

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion.

ff ist eine Dichtefunktion auf [a;b][a; b], wenn f≥0f \geq 0 und ∫abf(x) dx=1\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = 1. Dann gilt P(c≤X≤d)=∫cdf(x) dxP(c \leq X \leq d) = \displaystyle\int_c^d f(x)\,\mathrm{d}x.

F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \leq x) ist die Verteilungsfunktion. E(X)=∫abxf(x) dxE(X) = \displaystyle\int_a^b xf(x)\,\mathrm{d}x und Var(X)=∫ab(x−E(X))2f(x) dxVar(X) = \displaystyle\int_a^b (x - E(X))^2f(x)\,\mathrm{d}x.

Beispiel

f(x)=2xf(x) = 2x auf [0;1][0; 1]. Berechne P(X≤0,5)P(X \leq 0{,}5) und E(X)E(X).

P(X≤0,5)=0,52=0,25P(X \leq 0{,}5) = 0{,}5^2 = 0{,}25
Stammfunktion x².
E(X)=∫012x2 dx=23E(X) = \displaystyle\int_0^1 2x^2\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3}
Erwartungswert.

Du bist dran

Jetzt du: ff ist eine Dichtefunktion auf [0;1][0; 1]. Welchen Wert hat ∫01f(x) dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x?

11
Gesamtfläche.

Üben ★

  1. f(x)=2xf(x) = 2x ist eine Dichtefunktion auf [0;1][0; 1]. Berechne P(X≤12)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 2 }\right).
  2. f(x)=2xf(x) = 2x ist eine Dichtefunktion auf [0;1][0; 1]. Berechne P(X≤15)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 5 }\right).
  3. f(x)=2xf(x) = 2x ist eine Dichtefunktion auf [0;1][0; 1]. Berechne P(X≤18)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 8 }\right).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f(x)=kxf(x) = kx ist eine Dichtefunktion auf [0;7][0; 7]. Bestimme kk.
  2. f(x)=kxf(x) = kx ist eine Dichtefunktion auf [0;6][0; 6]. Bestimme kk.
  1. XX ist eine stetige Zufallsgröße. Wie groß ist P(X=2)P(X = 2)?
    1. 0
    2. f(2)f(2)
    3. 1
  1. ff ist auf [0;6][0; 6] konstant gleich kk und eine Dichtefunktion. Wie groß ist kk?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=2xf(x) = 2x ist eine Dichtefunktion auf [0;1][0; 1]. Berechne P(X≤12)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 2 }\right).
  2. f(x)=2xf(x) = 2x ist eine Dichtefunktion auf [0;1][0; 1]. Berechne P(X≤15)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 5 }\right).
  3. f(x)=2xf(x) = 2x ist eine Dichtefunktion auf [0;1][0; 1]. Berechne P(X≤18)P\left(X \leq \dfrac{1}{ 8 }\right).

Merkkarte

Stetige Zufallsgrößen

  • Wahrscheinlichkeit = Fläche unter der Dichtefunktion.
  • P(X=a)=0P(X = a) = 0.

Achtung: Die Dichte ist keine Wahrscheinlichkeit.

2. z-Werte und das Normalverteilungsmodell

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die blaue Kurve ist die Dichte einer Normalverteilung mit Erwartungswert mm und Standardabweichung ss. Verändere die beiden Werte.

Eine Glockenkurve mit Erwartungswert m und Standardabweichung s: symmetrisch um m, breiter und flacher, wenn s wächst.

Was passiert mit der Kurve, wenn ss größer wird?

  1. Sie wird breiter und flacher
  2. Sie verschiebt sich nach rechts

Die Grundidee

Zum Vergleichen standardisiert man; dazu kommen die Sigma-Regeln.

Standardisieren: z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma} gibt an, um wie viele Standardabweichungen xx über dem Erwartungswert liegt. Sigma-Regeln für eine Normalverteilung: etwa 68 % der Werte liegen in [μ−σ;μ+σ][\mu - \sigma; \mu + \sigma], 95 % in [μ−2σ;μ+2σ][\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma], 99,7 % in [μ−3σ;μ+3σ][\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma].

Beispiel

Ein Leistungstest hat den Erwartungswert 520 und die Standardabweichung 110. Ein Ergebnis von 685.

z=1,5z = 1{,}5
(685 − 520)/110.
Zwischen 300 und 740: etwa 95 % der Ergebnisse
Innerhalb von 2σ: etwa 95 %.
Über 740: etwa 2,5 %
Die Hälfte der restlichen 5 %.

Du bist dran

Jetzt du: Erwartungswert 70, Standardabweichung 5. Der z-Wert von 62.

z=−1,6z = -1{,}6
(62 − 70)/5.

Üben ★

  1. Testergebnisse haben den Erwartungswert 75 und die Standardabweichung 3. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 52.
  2. Testergebnisse haben den Erwartungswert 55 und die Standardabweichung 2. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 81.
  3. Testergebnisse haben den Erwartungswert 66 und die Standardabweichung 10. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 94.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Körpergrößen sind näherungsweise normalverteilt mit Erwartungswert 76 und Standardabweichung 4. Wie viel Prozent liegen nach den Sigma-Regeln zwischen 72 und 84?
  2. Körpergrößen sind näherungsweise normalverteilt mit Erwartungswert 69 und Standardabweichung 6. Wie viel Prozent liegen nach den Sigma-Regeln zwischen 63 und 81?
  1. Erwartungswert 71, Standardabweichung 8. Welcher Wert hat den z-Wert −3-3?
  2. Erwartungswert 79, Standardabweichung 6. Welcher Wert hat den z-Wert 33?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Testergebnisse haben den Erwartungswert 75 und die Standardabweichung 3. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 52.
  2. Testergebnisse haben den Erwartungswert 55 und die Standardabweichung 2. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 81.
  3. Testergebnisse haben den Erwartungswert 66 und die Standardabweichung 10. Bestimme den z-Wert des Ergebnisses 94.

Merkkarte

Normalverteilung und Sigma-Regeln

  • z=(x−μ)/σz = (x - \mu)/\sigma; x=μ+zσx = \mu + z\sigma.
  • 68 %, 95 %, 99,7 % innerhalb von 1σ, 2σ, 3σ.

Achtung: Die Prozentsätze gelten für beide Seiten zusammen.

3. Normalverteilung: Φ und symmetrische Intervalle

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die Kurve ist die Dichte der Standardnormalverteilung. Φ(z)\Phi(z) ist die Fläche links von zz. Mit Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413: Wie groß ist die Fläche rechts von 1?

  1. 1−0,8413=0,15871 - 0{,}8413 = 0{,}1587." data-option="1">0,15870{,}1587
  2. 1−0,84131 - 0{,}8413." data-option="2">0,84130{,}8413

Die Grundidee

Jede Normalverteilung führst du über z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma} auf Φ\Phi zurück.

Ist XX normalverteilt mit μ\mu und σ\sigma, so gilt P(X≤x)=Φ(x−μσ)P(X \leq x) = \Phi\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right) und P(X≥x)=1−Φ(x−μσ)P(X \geq x) = 1 - \Phi\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right).

Symmetrie: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Für ein symmetrisches Intervall gilt P(μ−c≤X≤μ+c)=2 Φ(cσ)−1P(\mu - c \leq X \leq \mu + c) = 2\,\Phi\left(\dfrac{c}{\sigma}\right) - 1.

Beispiel

Füllmengen sind normalverteilt mit μ=500\mu = 500 g und σ=4\sigma = 4 g. Gegeben ist Φ(1,5)≈0,9332\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332. Berechne P(494≤X≤506)P(494 \leq X \leq 506).

z=64=1,5z = \dfrac{6}{4} = 1{,}5
Symmetrisches Intervall mit c = 6.
2⋅0,9332−12 \cdot 0{,}9332 - 1
Formel für symmetrische Intervalle.
P(494≤X≤506)≈0,8664P(494 \leq X \leq 506) \approx 0{,}8664
Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: μ=20\mu = 20, σ=5\sigma = 5, Φ(2)≈0,9772\Phi(2) \approx 0{,}9772. Berechne P(X≥30)P(X \geq 30).

1−Φ(2)1 - \Phi(2)
z = (30 − 20)/5 = 2.
0,02280{,}0228
Rest rechts von z = 2.

Üben ★

  1. XX ist normalverteilt mit μ=71\mu = 71 und σ=7\sigma = 7. Gegeben ist Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413. Berechne P(X≤78)P(X \leq 78).
  2. XX ist normalverteilt mit μ=72\mu = 72 und σ=5\sigma = 5. Gegeben ist Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413. Berechne P(X≤77)P(X \leq 77).
  1. XX ist normalverteilt mit μ=74\mu = 74 und σ=7\sigma = 7. Gegeben ist Φ(2)≈0,9772\Phi(2) \approx 0{,}9772. Berechne P(X≥88)P(X \geq 88).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. XX ist normalverteilt mit μ=44\mu = 44 und σ=8\sigma = 8. Gegeben ist Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413. Berechne P(36≤X≤52)P(36 \leq X \leq 52).
  2. XX ist normalverteilt mit μ=71\mu = 71 und σ=3\sigma = 3. Gegeben ist Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413. Berechne P(68≤X≤74)P(68 \leq X \leq 74).
  1. XX ist normalverteilt mit μ=48\mu = 48 und σ=3\sigma = 3. Gegeben ist Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413. Berechne P(X≤45)P(X \leq 45).
  1. Abschlussaufgabe. Eine Maschine füllt Beutel; die Masse XX in g ist normalverteilt mit μ=79\mu = 79 und σ=7\sigma = 7. Gegeben ist Φ(2)≈0,9772\Phi(2) \approx 0{,}9772.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. XX ist normalverteilt mit μ=71\mu = 71 und σ=7\sigma = 7. Gegeben ist Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413. Berechne P(X≤78)P(X \leq 78).
  2. XX ist normalverteilt mit μ=72\mu = 72 und σ=5\sigma = 5. Gegeben ist Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413. Berechne P(X≤77)P(X \leq 77).
  3. XX ist normalverteilt mit μ=57\mu = 57 und σ=4\sigma = 4. Gegeben ist Φ(1)≈0,8413\Phi(1) \approx 0{,}8413. Berechne P(X≤61)P(X \leq 61).

Merkkarte

Normalverteilung mit Φ

  • P(X≤x)=Φ(z)P(X \leq x) = \Phi(z) mit z=(x−μ)/σz = (x - \mu)/\sigma.
  • P(X≥x)=1−Φ(z)P(X \geq x) = 1 - \Phi(z) und Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z).
  • Symmetrisch: 2 Φ(c/σ)−12\,\Phi(c/\sigma) - 1.

Achtung: Φ gibt die Fläche links an.

Lösungen: Stetige Zufallsgrößen und Normalverteilung

1. Stetige Verteilungen mit Dichte

A

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 125\frac{1}{25}
  3. 164\frac{1}{64}

B

  1. 249\frac{2}{49}
  2. 118\frac{1}{18}

C

  1. 0

D

  1. 16\frac{1}{6}

E

  1. 14\frac{1}{4}
  2. 125\frac{1}{25}
  3. 164\frac{1}{64}

2. z-Werte und das Normalverteilungsmodell

A

  1. −233- \frac{23}{3}
  2. 1313
  3. 145\frac{14}{5}

B

  1. 1632\frac{163}{2}
  2. 1632\frac{163}{2}

C

  1. 4747
  2. 9797

D

  1. −233- \frac{23}{3}
  2. 1313
  3. 145\frac{14}{5}

3. Normalverteilung: Φ und symmetrische Intervalle

A

  1. 841310000\frac{8413}{10000}
  2. 841310000\frac{8413}{10000}

B

  1. 572500\frac{57}{2500}

C

  1. 34135000\frac{3413}{5000}
  2. 34135000\frac{3413}{5000}

D

  1. 158710000\frac{1587}{10000}

E

  1. 11931250\frac{1193}{1250}

F

  1. 841310000\frac{8413}{10000}
  2. 841310000\frac{8413}{10000}
  3. 841310000\frac{8413}{10000}