Kugeln

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 13 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Schnittwinkel, Abstände und Kugeln

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Kugeln

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Alle Punkte des Raums mit dem Abstand 3 vom Punkt MM bilden eine Kugel. Welche Gleichung gehört zur Kugel um M(0∣0∣0)M(0|0|0) mit Radius 3?

Nicht maßstabsgetreu
  1. sqrtx2+y2+z2=3\\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 3." data-option="1">x2+y2+z2=9x^2 + y^2 + z^2 = 9
  2. r2=9r^2 = 9." data-option="2">x2+y2+z2=3x^2 + y^2 + z^2 = 3

Die Grundidee

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte mit dem Abstand rr vom Mittelpunkt MM.

Die Kugel mit Mittelpunkt M(m1∣m2∣m3)M(m_1|m_2|m_3) und Radius rr hat die Gleichung (x−m1)2+(y−m2)2+(z−m3)2=r2(x - m_1)^2 + (y - m_2)^2 + (z - m_3)^2 = r^2.

Ein Punkt liegt auf, in oder außerhalb der Kugel, je nachdem, ob sein Abstand zu MM gleich, kleiner oder größer als rr ist. Steht die Gleichung ausmultipliziert da, ergänzt du quadratisch.

Beispiel

Mittelpunkt und Radius von x2−4x+y2+z2+6z=3x^2 - 4x + y^2 + z^2 + 6z = 3.

(x−2)2−4+y2+(z+3)2−9=3(x - 2)^2 - 4 + y^2 + (z + 3)^2 - 9 = 3
Quadratisch ergänzen.
(x−2)2+y2+(z+3)2=16(x - 2)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 16
Ordnen.
M(2∣0∣−3)M(2|0|-3), r=4r = 4
Ablesen.

Du bist dran

Jetzt du: Kugel um M(1∣1∣1)M(1|1|1) durch P(3∣2∣3)P(3|2|3). Berechne rr.

r=9r = \sqrt{9}
Abstand: √(4 + 1 + 4).
33
Radius.

Üben ★

  1. Wie groß ist der Radius der Kugel (x−−1)2+(y−3)2+z2=81(x - -1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 81?
  2. Wie groß ist der Radius der Kugel (x−−5)2+(y−−5)2+z2=25(x - -5)^2 + (y - -5)^2 + z^2 = 25?
  3. Wie groß ist der Radius der Kugel (x−2)2+(y−−4)2+z2=4(x - 2)^2 + (y - -4)^2 + z^2 = 4?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Die Kugel hat den Mittelpunkt M(4∣4∣1)M(4|4|1) und geht durch P(6∣8∣5)P(6|8|5). Wie groß ist ihr Radius?
  2. Die Kugel hat den Mittelpunkt M(0∣0∣2)M(0|0|2) und geht durch P(3∣6∣8)P(3|6|8). Wie groß ist ihr Radius?
  1. Wie groß ist der Radius der Kugel x2−6x+y2−8y+z2=24x^2 - 6x + y^2 - 8y + z^2 = 24?
  1. Liegt der Punkt P(3∣6∣6)P(3|6|6) auf, in oder außerhalb der Kugel x2+y2+z2=81x^2 + y^2 + z^2 = 81?
    1. Auf der Kugel
    2. In der Kugel
    3. Außerhalb der Kugel
  1. Abschlussaufgabe. Die Kugel K ⁣:(x−1)2+(y−3)2+(z−3)2=25K\colon (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 25 wird von der Ebene z=0z = 0 geschnitten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist der Radius der Kugel (x−−1)2+(y−3)2+z2=81(x - -1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 81?
  2. Wie groß ist der Radius der Kugel (x−−5)2+(y−−5)2+z2=25(x - -5)^2 + (y - -5)^2 + z^2 = 25?
  3. Wie groß ist der Radius der Kugel (x−2)2+(y−−4)2+z2=4(x - 2)^2 + (y - -4)^2 + z^2 = 4?

Merkkarte

Kugeln

  • (x−m1)2+(y−m2)2+(z−m3)2=r2(x - m_1)^2 + (y - m_2)^2 + (z - m_3)^2 = r^2.
  • Lage eines Punkts: Abstand zu MM mit rr vergleichen.
  • Ausmultiplizierte Form: quadratisch ergänzen.

Achtung: Rechts steht r2r^2, nicht rr.

Ende der Lektion

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Lösungen: Kugeln

A

  1. 99
  2. 55
  3. 22

B

  1. 66
  2. 99

C

  1. 77

D

  1. Auf der Kugel

E

  1. 44

F

  1. 99
  2. 55
  3. 22

CC BY-SA 4.0