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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Eine Gerade trifft eine Ebene. Ihr Richtungsvektor $\vec{u}$ und der Normalenvektor $\vec{n}$ schließen den Winkel $\alpha$ ein. Wie hängt der Schnittwinkel $\varphi$ zwischen Gerade und Ebene mit $\alpha$ zusammen (für $\alpha \leq 90°$ )?

Nicht maßstabsgetreu

$\\vec{n}$ $v ec n$ steht senkrecht auf der Ebene, also ergänzen sich die beiden Winkel zu 90°. Deshalb nimmt man den Sinus." data-option="1"> $\varphi = 90° - \alpha$
$\\alpha$ $a l p ha$ ist der Winkel zum Normalenvektor, nicht zur Ebene. Die beiden Winkel ergänzen sich zu 90°." data-option="2"> $\varphi = \alpha$

Die Grundidee

Schnittwinkel berechnest du mit dem Skalarprodukt der passenden Vektoren.

Zwei Geraden (Richtungsvektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ): $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ . Zwei Ebenen: dieselbe Formel mit den Normalenvektoren.

Gerade und Ebene: $\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$ . Der Betrag sorgt dafür, dass $0° \leq \varphi \leq 90°$ .

Beispiel

Berechne den Schnittwinkel der Ebenen mit $\vec{n}_1 = (1|0|0)$ und $\vec{n}_2 = (1|1|0)$ .

\vec{n}_1 \circ \vec{n}_2 = 1

Skalarprodukt.

\cos\varphi = \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{2}}

Längen 1 und √2.

\varphi = 45°

Winkel.

Du bist dran

Jetzt du: Gerade mit $\vec{u} = (0|0|2)$ , Ebene $z = 0$ mit $\vec{n} = (0|0|1)$ . Berechne $\sin\varphi$ .

\sin\varphi = \dfrac{2}{2 \cdot 1}

u ∘ n = 2, Längen 2 und 1.

1

Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene.

Üben ★

Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|5|2)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|1|4)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|2|4)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u}$ , die Ebene $E$ den Normalenvektor $\vec{n}$ . Mit welcher Formel berechnest du den Schnittwinkel $\varphi$ von $g$ und $E$ ?
1. $\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$
2. $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$
3. $\sin\varphi = |\vec{u} \circ \vec{n}|$

Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (3|0|0)$ und $\vec{n}_2 = (4|4|0)$ . Wie groß ist ihr Schnittwinkel in Grad?

Abschlussaufgabe. Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (5|10|10)$ , die Ebene $E$ ist $z = 0$ mit $\vec{n} = (0|0|1)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|5|2)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|1|4)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (1|2|2)$ und $\vec{n}_2 = (0|2|4)$ . Berechne $\cos\varphi$ für ihren Schnittwinkel $\varphi$ .

Merkkarte

Schnittwinkel

Gerade–Gerade und Ebene–Ebene: Kosinus.
Gerade–Ebene: Sinus, mit $\vec{u}$ und $\vec{n}$ .
Immer den Betrag des Skalarprodukts.

Achtung: Gerade und Ebene: Sinus, nicht Kosinus.

2. Abstände und Hessesche Normalform

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Punkt $P(1|2|7)$ liegt über der Ebene $z = 3$ . Wie groß ist sein Abstand von der Ebene?

Nicht maßstabsgetreu

$P$ $P$ auf die Ebene ist senkrecht, also zählt nur der Unterschied der z-Koordinaten." data-option="1"> $4$
$z = 0$ $z = 0$ . Die Ebene liegt bei $z = 3$ ." data-option="2"> $7$

Die Grundidee

Mit der Hesseschen Normalform liest du Abstände direkt ab.

Teilst du die Koordinatenform $ax + by + cz - d = 0$ durch $|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ , erhältst du die Hessesche Normalform $\dfrac{ax + by + cz - d}{|\vec{n}|} = 0$ .

Der Abstand eines Punkts $P(p_1|p_2|p_3)$ von $E$ ist $d(P, E) = \dfrac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - d|}{|\vec{n}|}$ . Den Abstand zu einer Geraden bestimmst du über den Lotfußpunkt.

Beispiel

Abstand von $P(4|1|3)$ zur Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 3 = 0$ .

|\vec{n}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3

Länge des Normalenvektors.

2 \cdot 4 + 1 + 2 \cdot 3 - 3 = 12

P einsetzen.

d(P, E) = \dfrac{12}{3} = 4

Durch |n| teilen.

Du bist dran

Jetzt du: $E\colon x + 2y + 2z - 1 = 0$ und $P(1|1|1)$ . Berechne $d(P, E)$ .

\dfrac{4}{3}

Einsetzen: 1 + 2 + 2 − 1 = 4; |n| = 3.

\dfrac{4}{3}

Abstand.

Üben ★

Berechne den Abstand des Punkts $P(3|5|3)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 0 = 0$ .
Berechne den Abstand des Punkts $P(4|2|5)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 2 = 0$ .
Berechne den Abstand des Punkts $P(4|4|3)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 1 = 0$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Für die Hessesche Normalform von $E\colon 2x + 4y + 4z - 5 = 0$ teilst du durch $|\vec{n}|$ . Wie groß ist $|\vec{n}|$ ?
Für die Hessesche Normalform von $E\colon 4x + 8y + 8z - 5 = 0$ teilst du durch $|\vec{n}|$ . Wie groß ist $|\vec{n}|$ ?

Die Ebenen $E_1\colon x + 2y + 2z = 14$ und $E_2\colon x + 2y + 2z = 6$ sind parallel. Wie groß ist ihr Abstand?

Mia setzt $P$ in $E\colon 2x + y + 2z - 9 = 0$ ein und erhält $18$ . Wie groß ist der Abstand von $P$ zu $E$ ?
1. $6$
2. $18$
3. $\dfrac{ 18 }{9}$

Abschlussaufgabe. Gegeben sind $E\colon 2x + y + 2z - 1 = 0$ und $P(3|3|3)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne den Abstand des Punkts $P(3|5|3)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 0 = 0$ .
Berechne den Abstand des Punkts $P(4|2|5)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 2 = 0$ .
Berechne den Abstand des Punkts $P(4|4|3)$ von der Ebene $E\colon 2x + y + 2z - 1 = 0$ .

Merkkarte

Abstände

Hessesche Normalform: Koordinatenform durch $|\vec{n}|$ teilen.
$d(P, E) = \dfrac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - d|}{|\vec{n}|}$ .
Parallele Ebenen: Abstand eines beliebigen Punkts.

Achtung: Durch $|\vec{n}|$ teilen.

3. Kugeln

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Alle Punkte des Raums mit dem Abstand 3 vom Punkt $M$ bilden eine Kugel. Welche Gleichung gehört zur Kugel um $M(0|0|0)$ mit Radius 3?

Nicht maßstabsgetreu

$\\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 3$ $s q r t x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ ." data-option="1"> $x^2 + y^2 + z^2 = 9$
$r^2 = 9$ $r^{2} = 9$ ." data-option="2"> $x^2 + y^2 + z^2 = 3$

Die Grundidee

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte mit dem Abstand $r$ vom Mittelpunkt $M$ .

Die Kugel mit Mittelpunkt $M(m_1|m_2|m_3)$ und Radius $r$ hat die Gleichung $(x - m_1)^2 + (y - m_2)^2 + (z - m_3)^2 = r^2$ .

Ein Punkt liegt auf, in oder außerhalb der Kugel, je nachdem, ob sein Abstand zu $M$ gleich, kleiner oder größer als $r$ ist. Steht die Gleichung ausmultipliziert da, ergänzt du quadratisch.

Beispiel

Mittelpunkt und Radius von $x^2 - 4x + y^2 + z^2 + 6z = 3$ .

(x - 2)^2 - 4 + y^2 + (z + 3)^2 - 9 = 3

Quadratisch ergänzen.

(x - 2)^2 + y^2 + (z + 3)^2 = 16

Ordnen.

M(2|0|-3)

r = 4

Ablesen.

Du bist dran

Jetzt du: Kugel um $M(1|1|1)$ durch $P(3|2|3)$ . Berechne $r$ .

r = \sqrt{9}

Abstand: √(4 + 1 + 4).

3

Radius.

Üben ★

Wie groß ist der Radius der Kugel $(x - -1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 81$ ?
Wie groß ist der Radius der Kugel $(x - -5)^2 + (y - -5)^2 + z^2 = 25$ ?
Wie groß ist der Radius der Kugel $(x - 2)^2 + (y - -4)^2 + z^2 = 4$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Die Kugel hat den Mittelpunkt $M(4|4|1)$ und geht durch $P(6|8|5)$ . Wie groß ist ihr Radius?
Die Kugel hat den Mittelpunkt $M(0|0|2)$ und geht durch $P(3|6|8)$ . Wie groß ist ihr Radius?

Wie groß ist der Radius der Kugel $x^2 - 6x + y^2 - 8y + z^2 = 24$ ?

Liegt der Punkt $P(3|6|6)$ auf, in oder außerhalb der Kugel $x^2 + y^2 + z^2 = 81$ ?
1. Auf der Kugel
2. In der Kugel
3. Außerhalb der Kugel

Abschlussaufgabe. Die Kugel $K\colon (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 = 25$ wird von der Ebene $z = 0$ geschnitten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Wie groß ist der Radius der Kugel $(x - -1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 81$ ?
Wie groß ist der Radius der Kugel $(x - -5)^2 + (y - -5)^2 + z^2 = 25$ ?
Wie groß ist der Radius der Kugel $(x - 2)^2 + (y - -4)^2 + z^2 = 4$ ?

Merkkarte

Kugeln

$(x - m_1)^2 + (y - m_2)^2 + (z - m_3)^2 = r^2$ .
Lage eines Punkts: Abstand zu $M$ mit $r$ vergleichen.
Ausmultiplizierte Form: quadratisch ergänzen.

Achtung: Rechts steht $r^2$ , nicht $r$ .

Lösungen: Schnittwinkel, Abstände und Kugeln

1. Schnittwinkel von Geraden und Ebenen

$\frac{14 \sqrt{29}}{87}$
$\frac{10 \sqrt{17}}{51}$
$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sin\varphi = \dfrac{|\vec{u} \circ \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$

$45$

$\frac{2}{3}$

$\frac{14 \sqrt{29}}{87}$
$\frac{10 \sqrt{17}}{51}$
$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

2. Abstände und Hessesche Normalform

$\frac{17}{3}$
$6$
$\frac{17}{3}$

$6$
$12$

$\frac{8}{3}$

$\frac{14}{3}$

$\frac{17}{3}$
$6$
$\frac{17}{3}$

3. Kugeln

Auf der Kugel