Natürliche und ganze Zahlen: Addition und Subtraktion

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Stellenwert, große Zahlen, römische Zahlen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Welchen Wert hat die Ziffer 4 in der Zahl 34 512?

Nicht maßstabsgetreu

4 Tausender, also 4000
4

Die Grundidee

Im Zehnersystem ist jede Stelle zehnmal so viel wert wie die rechts daneben.

Stellenwerte: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender, Million, Milliarde. Zehn Einheiten einer Stelle ergeben eine der nächsthöheren. Lange Zahlen gliedert man in Dreiergruppen: 2 305 000.

Römische Zahlen: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Gleiche und kleiner werdende Zeichen werden addiert. Steht ein kleineres Zeichen vor einem größeren, wird es abgezogen: IV = 4, XC = 90.

Beispiel

Schreibe MCDXII als Dezimalzahl.

1000

M = 1000.

400

CD = 500 − 100.

1000 + 400 + 12 = 1412

XII = 12.

Du bist dran

Jetzt du: Wie viele Tausender stecken in 7000?

7000 : 1000

7000 : 1000.

7

Anzahl.

Üben ★

Welchen Wert hat die Ziffer 3 in der Zahl 93700?
Welchen Wert hat die Ziffer 8 in der Zahl 88600?

Wie viel ist $\text{XC} + 1$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Wie schreibt man 3 Millionen und 5 Tausender?
1. 3 005 000
2. 3 500 000
3. 3 050

Abschlussaufgabe. Untersucht wird die Zahl 501000.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Welchen Wert hat die Ziffer 3 in der Zahl 93700?
Welchen Wert hat die Ziffer 8 in der Zahl 88600?
Welchen Wert hat die Ziffer 9 in der Zahl 89400?

Merkkarte

Stellenwert

Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die rechts daneben.
Römisch: addieren, außer ein kleineres Zeichen steht davor.
Lange Zahlen in Dreiergruppen gliedern.

Achtung: Die Ziffer ist nicht ihr Wert.

2. Zahlenstrahl und Runden

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Auf dem Zahlenstrahl liegt 3470. Welcher Hunderter ist am nächsten?

Nicht maßstabsgetreu

3500
3400

Die Grundidee

Beim Runden sucht man die nächste runde Zahl.

Runden: Auf die Stelle rechts neben der Rundungsstelle schauen. Bei 0, 1, 2, 3, 4 abrunden, bei 5, 6, 7, 8, 9 aufrunden. Rechts davon stehen dann Nullen.

Auf dem Zahlenstrahl liegt die größere Zahl weiter rechts; der Abstand gleicher Schritte ist gleich. Man schreibt $3470 \approx 3500$ .

Beispiel

Runde 28 649 auf Tausender.

6 ≥ 5: aufrunden

Die Stelle rechts neben den Tausendern ist die 6.

28\,649 \approx 29\,000

Aus 28 wird 29.

351 bis 29 000, aber 649 bis 28 000

Probe am Abstand.

Du bist dran

Jetzt du: Runde 742 auf Zehner.

742 \approx 740

Die Einerstelle ist 2: abrunden.

740

Ergebnis.

Üben ★

Runde 8524 auf Hunderter.
Runde 1534 auf Hunderter.

Runde 257 auf Hunderter.

Vorsicht!

Üben ★★

Welche ist die kleinste natürliche Zahl, die auf Hunderter gerundet 800 ergibt?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Runde 8524 auf Hunderter.
Runde 1534 auf Hunderter.
Runde 8204 auf Hunderter.

Merkkarte

Zahlenstrahl und Runden

Die Stelle rechts daneben entscheidet.
0 bis 4 ab, 5 bis 9 auf.
Rechts davon stehen Nullen.

Achtung: Nur die eine Stelle zählt.

3. Schriftliche Addition und Subtraktion

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Berechne schriftlich $478 + 356$ . Was steht in der Einerspalte?

Nicht maßstabsgetreu

8 + 6 = 14: 4 anschreiben, 1 übertragen
8 + 6 = 14: 14 anschreiben

Die Grundidee

Stellen untereinander, von rechts beginnen.

Schriftliche Addition: Einer unter Einer, Zehner unter Zehner. Von rechts addieren; ist eine Spaltensumme größer als 9, die Einerziffer anschreiben und den Rest übertragen.

Schriftliche Subtraktion: Ebenso untereinander schreiben. Ist die obere Ziffer zu klein, nimmt man einen Übertrag von der nächsten Stelle. Probe: Ergebnis + abgezogene Zahl = Ausgangszahl.

Beispiel

Berechne $702 - 348$ .

Einerziffer

4

Einer: 12 − 8 = 4, Übertrag 1.

Zehnerziffer

5

Zehner: 10 − (4 + 1) = 5, Übertrag 1.

702 - 348 = 354

Hunderter: 7 − (3 + 1) = 3.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne $264 + 137$ .

264 + 137

4 + 7 = 11; 6 + 3 + 1 = 10; 2 + 1 + 1 = 4.

401

Summe.

Üben ★

Berechne schriftlich $414 + 454$ .
Berechne schriftlich $653 + 630$ .

Berechne schriftlich $839 - 111$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Löse $x + 270 = 455$ .

Abschlussaufgabe. Tina hat 725 € gespart. Sie kauft ein Rad für 224 € und einen Helm für 475 €.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne schriftlich $414 + 454$ .
Berechne schriftlich $653 + 630$ .
Berechne schriftlich $214 + 644$ .

Merkkarte

Schriftlich rechnen

Stellen untereinander.
Von rechts beginnen.
Überträge nicht vergessen.

Achtung: Mit einer Probe kontrollieren.

4. Ganze Zahlen ordnen; Betrag

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In einer Stadt sind es $-8$ °C und in einer anderen $-3$ °C. Wo ist es wärmer?

Bei $-3$ °C
Bei $-8$ °C

Die Grundidee

Auf der Zahlengeraden werden die Zahlen nach rechts größer.

Eine Zahl ist größer als eine andere, wenn sie weiter rechts liegt:

-8 < -3

. Die Gegenzahl von

a

ist

-a

. Der Betrag

|a|

ist der Abstand von

a

zu 0, nie negativ:

|-5| = 5

Beispiel

Ordne $-2$ , $4$ , $-6$ , $0$ .

-6 < -2 < 0 < 4

Von links nach rechts.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne $|-9| + |-1|$ .

10

9 + 1.

Üben ★

Welche Zahl ist größer: $-5$ oder $-12$ ?
1. $-5$
2. $-12$
3. Sie sind gleich
Welche Zahl ist größer: $-5$ oder $-10$ ?
1. $-5$
2. $-10$
3. Sie sind gleich

Berechne $|-4| + |10|$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Wie groß ist der Abstand zwischen $-7$ und $6$ auf der Zahlengeraden?
Wie groß ist der Abstand zwischen $-15$ und $1$ auf der Zahlengeraden?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Welche Zahl ist größer: $-5$ oder $-12$ ?
1. $-5$
2. $-12$
3. Sie sind gleich
Welche Zahl ist größer: $-5$ oder $-10$ ?
1. $-5$
2. $-10$
3. Sie sind gleich
Welche Zahl ist größer: $-1$ oder $-7$ ?
1. $-1$
2. $-7$
3. Sie sind gleich

Merkkarte

Ganze Zahlen vergleichen

Weiter rechts: größer.
$|a|$ : Abstand zu 0.

Achtung: −8 ist kleiner als −3.

5. Addition und Subtraktion ganzer und rationaler Zahlen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Es sind $-3$ °C, und die Temperatur steigt um 5 Grad. Wie warm ist es dann?

$2$ °C
$-8$ °C

Die Grundidee

Man bewegt sich auf der Zahlengeraden; subtrahieren heißt die Gegenzahl addieren.

Eine positive Zahl addieren heißt nach rechts gehen, eine negative nach links. Subtrahieren heißt die Gegenzahl addieren:

a - b = a + (-b)

Beispiel

Berechne $-4 - (-9)$ .

-4 + 9

Gegenzahl addieren.

5

Verschiedene Vorzeichen: 9 − 4, Vorzeichen von 9.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne $-6 + (-7)$ .

-13

Beide nach links.

Üben ★

Berechne $7 + (-16)$ .
Berechne $9 + (-20)$ .

Berechne $-9 - 10$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne $2 - (-5)$ .
Berechne $8 - (-5)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $7 + (-16)$ .
Berechne $9 + (-20)$ .
Berechne $8 + (-15)$ .

Merkkarte

Addieren und Subtrahieren

Auf der Zahlengeraden bewegen.
Subtrahieren = Gegenzahl addieren.

Achtung: Minus eine negative Zahl ergibt plus.

6. Einschrittige Gleichungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Waage hat auf der einen Seite $x$ und 4 Gewichte, auf der anderen 11 Gewichte. Wie groß ist $x$ ?

Die Grundidee

Man macht die Rechnung auf beiden Seiten rückgängig.

Eine Gleichung bleibt wahr, wenn man auf beiden Seiten dasselbe tut. Rückgängig macht man eine Addition durch Subtraktion, eine Subtraktion durch Addition, eine Multiplikation durch Division, eine Division durch Multiplikation.

Beispiel

$5x = 35$ und $x - 8 = 12$ .

x = 7

Durch 5 teilen.

x = 20

8 addieren.

Du bist dran

Jetzt du: $x + 9 = 23$ .

14

23 − 9.

Üben ★

Löse $x + 10 = 37$ . $x = \;?$
Löse $x + 23 = 35$ . $x = \;?$

Löse $11x = 77$ . $x = \;?$

Vorsicht!

Üben ★★

Löse $x : 3 = 7$ . $x = \;?$
Löse $x : 3 = 6$ . $x = \;?$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $x + 10 = 37$ . $x = \;?$
Löse $x + 23 = 35$ . $x = \;?$
Löse $x + 27 = 59$ . $x = \;?$

Merkkarte

Einfache Gleichungen

Umkehrrechnung auf beiden Seiten.
Eine Division macht man durch Multiplizieren rückgängig.

Achtung: Prüfe durch Einsetzen.

7. Rechengesetze und Termstruktur

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie rechnest du $17 + 58 + 3$ am geschicktesten?

Nicht maßstabsgetreu

$(17 + 3) + 58 = 78$
Nur von links nach rechts ist richtig

Die Grundidee

Rechengesetze machen das Rechnen leichter; die Reihenfolge der Rechenarten ist festgelegt.

Kommutativgesetz: $a + b = b + a$ , $a \cdot b = b \cdot a$ . Assoziativgesetz: $(a + b) + c = a + (b + c)$ , ebenso bei $\cdot$ . Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ . Bei $-$ und $:$ gelten Kommutativ- und Assoziativgesetz nicht.

Reihenfolge: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt vor Strich, sonst von links nach rechts. Die zuletzt ausgeführte Rechenart gibt dem Term seinen Namen: Summe, Differenz, Produkt, Quotient.

Beispiel

Berechne $7 + 3 \cdot (10 - 4)$ und benenne den Term.

10 - 4 = 6

Zuerst die Klammer.

3 \cdot 6 = 18

, dann

7 + 18 = 25

Punkt vor Strich.

Der Term ist eine Summe.

Zuletzt wird addiert.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne $6 \cdot 25 \cdot 4$ geschickt.

6 \cdot 100

25 · 4 = 100.

600

Ergebnis.

Üben ★

Berechne $2 + 4 \cdot 6$ .
Berechne $25 + 8 \cdot 4$ .

Berechne $4 \cdot (27 + 8)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Wie heißt der Term $4 \cdot (9 + 7)$ ?
1. Produkt
2. Summe
3. Differenz

Abschlussaufgabe. Gegeben ist der Term $20 + 6 \cdot (7 + 5)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $2 + 4 \cdot 6$ .
Berechne $25 + 8 \cdot 4$ .
Berechne $10 + 5 \cdot 4$ .

Merkkarte

Rechengesetze

Vertauschen und Zusammenfassen bei $+$ und $\cdot$ .
Distributivgesetz: $a(b + c) = ab + ac$ .
Klammer, Potenz, Punkt, Strich.

Achtung: Bei $-$ und $:$ nicht vertauschen.

Lösungen: Natürliche und ganze Zahlen: Addition und Subtraktion

1. Stellenwert, große Zahlen, römische Zahlen

$3000$
$8000$

$91$

3 005 000

$502000$

$3000$
$8000$
$9000$

2. Zahlenstrahl und Runden

$8500$
$1500$

$300$

$750$

$8500$
$1500$
$8200$

3. Schriftliche Addition und Subtraktion

$868$
$1283$

$728$

$185$

$126$

$868$
$1283$
$858$

4. Ganze Zahlen ordnen; Betrag

$-5$
$-5$

$14$

$13$
$16$

$-5$
$-5$
$-1$

5. Addition und Subtraktion ganzer und rationaler Zahlen

$-9$
$-11$

$-19$

$7$
$13$

$-9$
$-11$
$-7$

6. Einschrittige Gleichungen

$27$
$12$

$21$
$18$

$27$
$12$
$32$

7. Rechengesetze und Termstruktur

$26$
$57$

$140$

Produkt

$92$

$26$
$57$
$30$