Geometrische Figuren und Lagebeziehungen

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Das Koordinatensystem: Quadranten und achsenparallele Abstände

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wo liegt der Punkt (3∣−2)(3|-2)?

  1. 3 nach rechts, 2 nach unten
  2. 3 nach unten, 2 nach rechts

Die Grundidee

Ein Punkt wird durch seinen x-Wert und seinen y-Wert festgelegt.

Ein Punkt (x∣y)(x|y) liegt xx nach rechts (nach links, wenn negativ) und yy nach oben (nach unten, wenn negativ). Zwei Punkte mit gleichem y-Wert liegen auf einer waagrechten Geraden, mit gleichem x-Wert auf einer senkrechten.

Beispiel

(−3∣4)(-3|4) und (5∣4)(5|4).

Waagrechter Abstand
Gleicher y-Wert.
3+5=83 + 5 = 8
3 bis zur 0, dann 5.

Du bist dran

Jetzt du: der Abstand zwischen (2∣−6)(2|-6) und (2∣1)(2|1).

77
6 + 1.

Üben ★

  1. Wie groß ist der Abstand zwischen (9∣1)(9|1) und (9∣−5)(9|-5)?
  2. Wie groß ist der Abstand zwischen (9∣5)(9|5) und (9∣−6)(9|-6)?
  1. Wo liegt der Punkt (−9∣5)(-9|5)?
    1. Oben links
    2. Oben rechts
    3. Unten rechts

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie groß ist der Abstand zwischen (−2∣1)(-2|1) und (9∣1)(9|1)?
  2. Wie groß ist der Abstand zwischen (−6∣−4)(-6|-4) und (2∣−4)(2|-4)?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Rechteck hat die Ecken (−2∣2)(-2|2), (3∣2)(3|2), (3∣−3)(3|-3) und (−2∣−3)(-2|-3).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist der Abstand zwischen (9∣1)(9|1) und (9∣−5)(9|-5)?
  2. Wie groß ist der Abstand zwischen (9∣5)(9|5) und (9∣−6)(9|-6)?
  3. Wie groß ist der Abstand zwischen (7∣2)(7|2) und (7∣−3)(7|-3)?

Merkkarte

Koordinatensystem

  • (x∣y)(x|y): x-Wert, dann y-Wert.
  • Abstand über eine Achse: addieren.

Achtung: Der x-Wert kommt zuerst.

2. Abstand, Mittelpunkt, Kreis und Kreisscheibe

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Alle Punkte im Abstand 3 cm von MM bilden:

  1. Den Kreis um MM mit dem Radius 3 cm
  2. Die Kreisfläche um MM

Die Grundidee

Alles beginnt mit dem Abstand.

Nicht maßstabsgetreu

Der Abstand AB‾\overline{AB} ist die Länge der Strecke [AB][AB]. Der Mittelpunkt II von [AB][AB] liegt auf [AB][AB] mit AI‾=IB‾\overline{AI} = \overline{IB}.

Der Kreis um MM mit dem Radius rr besteht aus allen Punkten im Abstand rr von MM; die Kreisfläche aus denen mit einem Abstand von höchstens rr. Der Durchmesser ist 2r2r. Eine Sehne verbindet zwei Punkte des Kreises.

Beispiel

Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm.

55 cm
Radius: die Hälfte.
AA liegt innerhalb des Kreises.
A ist 4 cm vom Mittelpunkt entfernt.

Du bist dran

Jetzt du: AB‾=8\overline{AB} = 8 cm, II ist der Mittelpunkt von [AB][AB]. Berechne AI‾\overline{AI}.

44
Die Hälfte.

Üben ★

  1. Ein Kreis hat den Durchmesser 22 cm. Wie groß ist sein Radius (cm)?
  2. Ein Kreis hat den Durchmesser 24 cm. Wie groß ist sein Radius (cm)?
  3. Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Wie groß ist sein Radius (cm)?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Kreis hat den Radius 7 cm. Ein Punkt ist 5 cm vom Mittelpunkt entfernt. Wo liegt er?
    1. Innerhalb des Kreises
    2. Auf dem Kreis
    3. Außerhalb
  2. Ein Kreis hat den Radius 3 cm. Ein Punkt ist 1 cm vom Mittelpunkt entfernt. Wo liegt er?
    1. Innerhalb des Kreises
    2. Auf dem Kreis
    3. Außerhalb
  1. II ist der Mittelpunkt von [AB][AB], mit AB‾=4\overline{AB} = 4 cm. Berechne AI‾\overline{AI} (cm).
  1. Ein Kreis hat den Radius 12 cm. Wie groß ist sein Durchmesser (cm)?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Kreis hat den Durchmesser 22 cm. Wie groß ist sein Radius (cm)?
  2. Ein Kreis hat den Durchmesser 24 cm. Wie groß ist sein Radius (cm)?
  3. Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Wie groß ist sein Radius (cm)?

Merkkarte

Kreis

  • Radius, Durchmesser, Sehne.
  • Kreis: Abstand rr. Kreisfläche: höchstens rr.

Achtung: Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius.

3. Lagebeziehungen und Abstand

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Zwei Straßen schneiden sich nie, egal wie lang sie sind. Wie liegen sie zueinander?

Nicht maßstabsgetreu
  1. Parallel
  2. Senkrecht

Die Grundidee

Geraden können sich schneiden oder parallel sein; senkrecht ist ein besonderer Schnitt.

g∥hg \parallel h: parallel, die Geraden schneiden sich nicht. g⊥hg \perp h: senkrecht, sie schneiden sich im rechten Winkel. Eine Senkrechte zu gg durch einen Punkt PP heißt Lot, der Schnittpunkt Lotfußpunkt.

Der Abstand eines Punkts von einer Geraden ist die Länge des Lots: die kürzeste Verbindung. Eine Tangente berührt einen Kreis in genau einem Punkt und steht dort senkrecht auf dem Radius.

Beispiel

Punkt PP, Gerade gg; das Lot von PP auf gg ist 4 cm lang, eine schräge Strecke von PP zu gg 5 cm.

Lotlänge 4 cm
Das Lot ist senkrecht.
5 cm > 4 cm
Die schräge Strecke ist länger.
Der Abstand ist 4 cm.
Abstand.

Du bist dran

Jetzt du: g∥hg \parallel h, und k⊥gk \perp g. Welchen Winkel bilden kk und hh in Grad?

k⊥hk \perp h
Parallele werden gleich geschnitten.
9090
Winkel.

Üben ★

  1. Wie groß ist der Abstand des Punkts P(9∣3)P(9|3) von der x-Achse?
  2. Wie groß ist der Abstand des Punkts P(8∣4)P(8|4) von der x-Achse?
  1. g⊥hg \perp h und h⊥kh \perp k. Wie liegen gg und kk zueinander?
    1. Parallel
    2. Senkrecht
    3. Man kann nichts sagen

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Tangente berührt einen Kreis mit dem Radius 7 cm. Wie groß ist der Abstand des Mittelpunkts von der Tangente in cm?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist der Abstand des Punkts P(9∣3)P(9|3) von der x-Achse?
  2. Wie groß ist der Abstand des Punkts P(8∣4)P(8|4) von der x-Achse?
  3. Wie groß ist der Abstand des Punkts P(7∣5)P(7|5) von der x-Achse?

Merkkarte

Lagebeziehungen

  • Parallel: kein Schnittpunkt.
  • Senkrecht: rechter Winkel.
  • Abstand: Länge des Lots.

Achtung: Tangente: berührt den Kreis in einem Punkt.

4. Winkel: Begriffe und Messung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Winkel von 120°120° ist:

  1. Stumpf
  2. Spitz

Die Grundidee

Winkel benennt man nach ihrer Größe.

Nicht maßstabsgetreu

Nullwinkel 0°0°, spitz unter 90°90°, recht 90°90°, stumpf zwischen 90°90° und 180°180°, gestreckt 180°180°, überstumpf zwischen 180°180° und 360°360°.

Nebenwinkel haben einen gemeinsamen Scheitel und einen gemeinsamen Schenkel. Scheitelwinkel sind gleich groß.

Beispiel

Zwei Nebenwinkel bilden einen gestreckten Winkel; einer misst 35°35°.

180−35=145°180 - 35 = 145°
Summe 180.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist ein rechter Winkel in Grad?

9090
Definition.

Üben ★

  1. Ein Winkel misst 27°27°. Er ist:
    1. spitz
    2. stumpf
    3. gestreckt
  2. Ein Winkel misst 34°34°. Er ist:
    1. spitz
    2. stumpf
    3. gestreckt
  3. Ein Winkel misst 49°49°. Er ist:
    1. spitz
    2. stumpf
    3. gestreckt

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zwei Nebenwinkel bilden einen gestreckten Winkel. Einer misst 35°35°. Wie groß ist der andere in Grad?
  2. Zwei Nebenwinkel bilden einen gestreckten Winkel. Einer misst 61°61°. Wie groß ist der andere in Grad?
  1. Wie groß ist ein rechter Winkel?
    1. 90°
    2. 180°
    3. 45°
  1. Zwei Geraden schneiden sich und bilden einen Winkel von 42°42°. Wie groß ist sein Scheitelwinkel in Grad?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Winkel misst 27°27°. Er ist:
    1. spitz
    2. stumpf
    3. gestreckt
  2. Ein Winkel misst 34°34°. Er ist:
    1. spitz
    2. stumpf
    3. gestreckt
  3. Ein Winkel misst 49°49°. Er ist:
    1. spitz
    2. stumpf
    3. gestreckt

Merkkarte

Winkel

  • Spitz, recht, stumpf, gestreckt.
  • Scheitelwinkel: gleich groß.

Achtung: Beim Geodreieck die richtige Skala ablesen.

5. Besondere Vierecke

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ist jedes Quadrat auch ein Rechteck?

Nicht maßstabsgetreu
  1. Ja: Es hat vier rechte Winkel
  2. Nein: Ein Rechteck hat immer verschieden lange Seiten

Die Grundidee

Vierecke lassen sich ineinander ordnen.

Rechteck: vier rechte Winkel. Quadrat: vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten. Parallelogramm: gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Raute: vier gleich lange Seiten. Trapez: ein Paar paralleler Seiten. Drachenviereck: zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten.

Jedes Quadrat ist Rechteck und Raute; jedes Rechteck und jede Raute ist ein Parallelogramm; jedes Parallelogramm ist ein Trapez.

Beispiel

Ein Viereck hat vier gleich lange Seiten, aber keinen rechten Winkel.

Es ist eine Raute.
Vier gleich lange Seiten.
Es ist kein Quadrat.
Kein rechter Winkel.
Es ist auch ein Parallelogramm.
Gegenüberliegende Seiten sind parallel.

Du bist dran

Jetzt du: Wie viele Symmetrieachsen hat ein Rechteck, das kein Quadrat ist?

Zwei Mittellinien
Durch die Seitenmitten.
22
Anzahl.

Üben ★

  1. Ein Viereck hat vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten. Welche Bezeichnung passt am genauesten?
    1. Quadrat
    2. Rechteck
    3. Trapez
  1. Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat?
    1. 4
    2. 2
    3. 8

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Raute hat die Seitenlänge 8 cm. Wie groß ist ihr Umfang in cm?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Viereck hat vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten. Welche Bezeichnung passt am genauesten?
    1. Quadrat
    2. Rechteck
    3. Trapez

Merkkarte

Besondere Vierecke

  • Quadrat ⊂ Rechteck, Raute.
  • Rechteck, Raute ⊂ Parallelogramm.
  • Parallelogramm ⊂ Trapez.

Achtung: Ein besonderes Viereck gehört auch zur allgemeineren Art.

Lösungen: Geometrische Figuren und Lagebeziehungen

1. Das Koordinatensystem: Quadranten und achsenparallele Abstände

A

  1. 66
  2. 1111

B

  1. Oben links

C

  1. 1111
  2. 88

D

  1. 2020

E

  1. 66
  2. 1111
  3. 55

2. Abstand, Mittelpunkt, Kreis und Kreisscheibe

A

  1. 1111
  2. 1212
  3. 55

B

  1. Innerhalb des Kreises
  2. Innerhalb des Kreises

C

  1. 22

D

  1. 2424

E

  1. 1111
  2. 1212
  3. 55

3. Lagebeziehungen und Abstand

A

  1. 33
  2. 44

B

  1. Parallel

C

  1. 77

D

  1. 33
  2. 44
  3. 55

4. Winkel: Begriffe und Messung

A

  1. spitz
  2. spitz
  3. spitz

B

  1. 145145
  2. 119119

C

  1. 90°

D

  1. 4242

E

  1. spitz
  2. spitz
  3. spitz

5. Besondere Vierecke

A

  1. Quadrat

B

  1. 4

C

  1. 3232

D

  1. Quadrat