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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Mit Lösungen

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1. Größen umrechnen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Tisch ist 2 m lang. Wie viele Zentimeter sind das?

Nicht maßstabsgetreu

Die Grundidee

In eine kleinere Einheit: multiplizieren; in eine größere: teilen.

Länge: 1 km = 1000 m, 1 m = 10 dm = 100 cm, 1 cm = 10 mm. Masse: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g, 1 g = 1000 mg. Geld: 1 € = 100 ct. Zeit: 1 d = 24 h, 1 h = 60 min, 1 min = 60 s.

In die kleinere Einheit wird multipliziert, in die größere geteilt. Zum Rechnen bringt man alle Größen auf dieselbe Einheit.

Beispiel

Rechne 3,5 km in Meter und 2500 g in Kilogramm um.

3{,}5

= 3500

km → m: mal 1000.

2500

= 2{,}5

g → kg: durch 1000.

Meter sind kleiner, also ist die Zahl größer.

Probe am Sinn.

Du bist dran

Jetzt du: Rechne 4 kg in Gramm um.

4 \cdot 1000

Mal 1000.

4000

Ergebnis.

Üben ★

Rechne 22 km in Meter um.
Rechne 17 km in Meter um.

Rechne 300 cm in Meter um.

Vorsicht!

Üben ★★

Wie viele Minuten sind 5 h 7 min?

Abschlussaufgabe. Ein Rucksack enthält 5 kg Äpfel und 600 g Nüsse. Die Äpfel kosten 3 € pro Kilogramm.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Rechne 22 km in Meter um.
Rechne 17 km in Meter um.
Rechne 5 km in Meter um.

Merkkarte

Größen umrechnen

Kleinere Einheit: multiplizieren.
Größere Einheit: teilen.
Umrechnungszahlen kennen.

Achtung: Prüfe, ob das Ergebnis sinnvoll ist.

2. Uhrzeiten und Zeitdauern

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie viele Minuten sind 1 h 30 min?

Die Grundidee

Die Zeit rechnet in Sechzigern.

Nicht maßstabsgetreu

1\ \text{h} = 60\ \text{min}

1\ \text{min} = 60\ \text{s}

. Eine Zeitspanne liegt zwischen zwei Zeitpunkten.

Beispiel

Ein Film beginnt um 14:40 Uhr und dauert 1 h 35 min.

15:40 Uhr

14:40 + 1 h.

16:15 Uhr

+ 35 min.

Du bist dran

Jetzt du: Rechne 2 h in Minuten um.

120

2 · 60.

Üben ★

Rechne 1 h 40 min in Minuten um.
Rechne 1 h 10 min in Minuten um.
Rechne 1 h 31 min in Minuten um.

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Fahrt beginnt 13 Minuten nach 9 Uhr und endet 13 Minuten nach 10 Uhr. Wie viele Minuten dauert sie?
Eine Fahrt beginnt 14 Minuten nach 9 Uhr und endet 14 Minuten nach 10 Uhr. Wie viele Minuten dauert sie?

Rechne 230 Minuten um: Wie viele Minuten bleiben nach den vollen Stunden übrig?

Ein Film beginnt um 12 Uhr und dauert 1 h 50 min. Wann endet er? Gib die Minuten der Endzeit an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Rechne 1 h 40 min in Minuten um.
Rechne 1 h 10 min in Minuten um.
Rechne 1 h 31 min in Minuten um.

Merkkarte

Zeitspannen

60 Minuten in einer Stunde.
Über die volle Stunde rechnen.

Achtung: Die Zeit ist nicht dezimal.

3. Einheitsraten: Stückpreis, Geschwindigkeit

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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4 Karten kosten 20 €. Wie beschreibt man den Preis?

5 € pro Karte
0,2 € pro Karte

Die Grundidee

Beim Dreisatz rechnet man über eine Einheit.

Schlussrechnung (Dreisatz): Zuerst auf eine Einheit zurückrechnen (teilen), dann auf die gesuchte Menge (multiplizieren). Solche Quotienten sind etwa Euro pro Kilogramm oder Kilometer pro Stunde. Geschwindigkeit

= \dfrac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}

Beispiel

150 km in 3 Stunden.

50 km/h

150 : 3.

In 5 h:

5 \cdot 50 = 250

Mit der Geschwindigkeit rechnen.

Du bist dran

Jetzt du: 6 Stifte kosten 9 €. Wie hoch ist der Preis pro Stift in Euro?

1{,}5

9 : 6.

Üben ★

4 kg Äpfel kosten 20 €. Wie hoch ist der Kilopreis (in Euro)?
3 kg Äpfel kosten 27 €. Wie hoch ist der Kilopreis (in Euro)?

Ein Auto fährt gleichmäßig 175 km in 5 Stunden. Wie weit fährt es in 9 Stunden?

Vorsicht!

Üben ★★

Laden A verkauft 2 Hefte für 8 €. Laden B verkauft 11 für 66 €. Wie hoch ist der niedrigere Preis pro Heft (in Euro)?
Laden A verkauft 6 Hefte für 24 €. Laden B verkauft 10 für 90 €. Wie hoch ist der niedrigere Preis pro Heft (in Euro)?

Abschlussaufgabe. Mia läuft gleichmäßig 5 km in 30 Minuten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

4 kg Äpfel kosten 20 €. Wie hoch ist der Kilopreis (in Euro)?
3 kg Äpfel kosten 27 €. Wie hoch ist der Kilopreis (in Euro)?
8 kg Äpfel kosten 72 €. Wie hoch ist der Kilopreis (in Euro)?

Merkkarte

Schlussrechnung

Menge für eine Einheit.
Durch die Anzahl der Einheiten teilen.

Achtung: Frag dich „pro was?“.

4. Maßstabszeichnungen und Karten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Auf einer Karte steht 1 cm für 5 km. Zwei Orte sind auf der Karte 4 cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie wirklich auseinander?

20 km
0,8 km

Die Grundidee

Ein Maßstab verbindet Längen im Plan mit echten Längen.

Ein Maßstab wie „1 cm für 5 km“ sagt, wofür eine Einheit im Plan steht. Plan → Wirklichkeit: multiplizieren; Wirklichkeit → Plan: teilen. Ein Maßstab ohne Einheiten wie 1 : 200 bedeutet: Die echten Längen sind 200-mal so groß wie die im Plan, in derselben Einheit.

Beispiel

Maßstab 1 : 50; ein Tisch ist im Plan 3 cm lang.

3 \cdot 50 = 150

Gleiche Einheit.

1{,}5

100 cm = 1 m.

Du bist dran

Jetzt du: Maßstab 1 cm für 4 m. Eine 28 m lange Wand im Plan (in cm).

7

28 : 4.

Üben ★

Auf einer Karte steht 1 cm für 9 km. Zwei Orte sind auf der Karte 6 cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie wirklich auseinander (km)?
Auf einer Karte steht 1 cm für 16 km. Zwei Orte sind auf der Karte 6 cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie wirklich auseinander (km)?

Ein Grundriss hat den Maßstab 1 cm für 4 m. Eine Wand ist 20 m lang. Wie lang ist sie im Plan (cm)?

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Zeichnung hat den Maßstab 1 : 450 (ohne Einheiten). Eine Linie darauf ist 11 cm lang. Wie lang ist der echte Gegenstand in Metern?
Eine Zeichnung hat den Maßstab 1 : 400 (ohne Einheiten). Eine Linie darauf ist 8 cm lang. Wie lang ist der echte Gegenstand in Metern?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Auf einer Karte steht 1 cm für 9 km. Zwei Orte sind auf der Karte 6 cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie wirklich auseinander (km)?
Auf einer Karte steht 1 cm für 16 km. Zwei Orte sind auf der Karte 6 cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie wirklich auseinander (km)?
Auf einer Karte steht 1 cm für 5 km. Zwei Orte sind auf der Karte 14 cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie wirklich auseinander (km)?

Merkkarte

Maßstab

Plan → Wirklichkeit: mit dem Maßstab multiplizieren; Wirklichkeit → Plan: teilen.

Achtung: Am Ende die Einheit umrechnen.

5. Flächen von Quadrat und Rechteck, Umrechnungen

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Wie viele $\text{dm}^2$ sind $1\ \text{m}^2$ ?

Die Grundidee

Flächeneinheiten haben die Umrechnungszahl 100.

Nicht maßstabsgetreu

1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2

. Rechteck:

A = a \cdot b

; Quadrat:

A = a^2

Beispiel

Rechteck mit 3 m mal 2 m.

6\ \text{m}^2

Flächeninhalt.

600\ \text{dm}^2

In dm².

Du bist dran

Jetzt du: der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seite 4 cm.

16

4 · 4.

Üben ★

Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit 9 cm mal 6 cm (cm²).
Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit 6 cm mal 5 cm (cm²).
Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit 8 cm mal 5 cm (cm²).

Vorsicht!

Üben ★★

Rechne 28 m² in dm² um.
Rechne 13 m² in dm² um.

Abschlussaufgabe. Ein rechteckiger Garten misst 3 m mal 11 m.

Berechne den Umfang eines Rechtecks mit 8 cm mal 8 cm (cm).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit 9 cm mal 6 cm (cm²).
Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit 6 cm mal 5 cm (cm²).
Berechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit 8 cm mal 5 cm (cm²).

Merkkarte

Flächen

$a \cdot b$ .
Umrechnungszahl 100.

Achtung: Nicht 10.

6. Zusammengesetzte Figuren

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Eine L-förmige Fläche besteht aus zwei Rechtecken mit den Flächeninhalten 12 cm² und 8 cm². Wie groß ist ihr Flächeninhalt?

Nicht maßstabsgetreu

20 cm²
96 cm²

Die Grundidee

Zerlegen oder ergänzen: Beides führt zum Flächeninhalt.

Zerlegen: Figur in Rechtecke teilen und die Flächeninhalte addieren. Ergänzen: Figur zu einem großen Rechteck ergänzen und das Fehlende abziehen.

Der Umfang ist die Länge des Rands. Innere Trennlinien zählen nicht mit. Der Oberflächeninhalt eines Quaders ist $2(ab + ac + bc)$ .

Beispiel

Ein Rechteck 8 cm mal 6 cm, aus dem ein Quadrat mit 2 cm Seite an einer Ecke fehlt.

8 \cdot 6 = 48

cm²

Großes Rechteck.

2 \cdot 2 = 4

cm²

Das fehlende Quadrat.

48 - 4 = 44

cm²

Abziehen.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist in diesem Beispiel der Umfang in cm?

2 \cdot (8 + 6)

Die ausgeschnittene Ecke ändert ihn nicht.

28

Umfang.

Üben ★

Eine Figur besteht aus einem Rechteck 3 cm mal 4 cm und einem daraufgesetzten Rechteck 2 cm mal 2 cm. Wie groß ist ihr Flächeninhalt in cm²?
Eine Figur besteht aus einem Rechteck 4 cm mal 6 cm und einem daraufgesetzten Rechteck 2 cm mal 2 cm. Wie groß ist ihr Flächeninhalt in cm²?

Aus einem Rechteck 7 cm mal 5 cm wird an einer Ecke ein Quadrat mit der Seite 1 cm entfernt. Wie groß ist der Flächeninhalt der Restfigur in cm²?

Vorsicht!

Üben ★★

Aus einem Rechteck 6 cm mal 6 cm wird an einer Ecke ein Quadrat mit der Seite 3 cm entfernt. Wie groß ist der Umfang der Restfigur in cm?

Abschlussaufgabe. Ein Quader hat die Kanten 5 cm, 4 cm und 9 cm.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Eine Figur besteht aus einem Rechteck 3 cm mal 4 cm und einem daraufgesetzten Rechteck 2 cm mal 2 cm. Wie groß ist ihr Flächeninhalt in cm²?
Eine Figur besteht aus einem Rechteck 4 cm mal 6 cm und einem daraufgesetzten Rechteck 2 cm mal 2 cm. Wie groß ist ihr Flächeninhalt in cm²?
Eine Figur besteht aus einem Rechteck 5 cm mal 4 cm und einem daraufgesetzten Rechteck 2 cm mal 6 cm. Wie groß ist ihr Flächeninhalt in cm²?

Merkkarte

Zusammengesetzte Figuren

Zerlegen und addieren.
Ergänzen und abziehen.
Umfang: nur der äußere Rand.

Achtung: Innenlinien zählen nicht.

7. Oberflächeninhalt von Prismen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Um eine Schachtel einzupacken, musst du sie außen ganz bedecken. Welche Größe ist das?

Der Oberflächeninhalt
Das Volumen

Nicht maßstabsgetreu

Drehe und kippe die Schachtel. Zähle ihre Flächen, auch die verdeckten.

6 Flächen, in 3 gleichen Paaren
4 Flächen: die an den Seiten

Die Grundidee

Der Oberflächeninhalt addiert die Flächen.

Der Oberflächeninhalt eines Prismas ist die Summe aller Flächeninhalte: zwei Grundflächen plus die Rechtecke des Mantels (Umfang der Grundfläche mal Höhe). Quader:

O = 2(ab + ac + bc)

. Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe, in Raumeinheiten.

Beispiel

Ein Quader mit den Kanten 5, 3 und 2.

Nicht maßstabsgetreu

2(15 + 10 + 6)

Flächenpaare.

62

Flächeneinheiten

Addieren.

Du bist dran

Jetzt du: der Oberflächeninhalt eines Würfels mit Kante 3.

54

6 · 9.

Üben ★

Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 6 cm, 9 cm und 5 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 7 cm, 3 cm und 7 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu

Bestimme den Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kante 10 cm (cm²).

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Prisma hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 cm und die Höhe 7 cm. Bestimme seinen Oberflächeninhalt (cm²).Nicht maßstabsgetreu
Ein Prisma hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 9, 12 und 15 cm und die Höhe 2 cm. Bestimme seinen Oberflächeninhalt (cm²).Nicht maßstabsgetreu

Abschlussaufgabe. Eine Geschenkschachtel ist 6 cm lang, 4 cm breit und 5 cm hoch.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 6 cm, 9 cm und 5 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 7 cm, 3 cm und 7 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 8 cm, 2 cm und 3 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Oberflächeninhalt

Die Flächeninhalte aller Flächen addieren (Flächeneinheiten).

Achtung: Bedecken ist Fläche, Füllen ist Volumen.

Lösungen: Größen und ihre Einheiten

1. Größen umrechnen

$22000$
$17000$

$307$

$1500$

$22000$
$17000$
$5000$

2. Uhrzeiten und Zeitdauern

$100$
$70$
$91$

$60$
$60$

$50$

$50$

$100$
$70$
$91$

3. Einheitsraten: Stückpreis, Geschwindigkeit

$315$

$48$

4. Maßstabszeichnungen und Karten

$54$
$96$

$\frac{99}{2}$
$32$

$54$
$96$
$70$

5. Flächen von Quadrat und Rechteck, Umrechnungen

$54$
$30$
$40$

$2800$
$1300$

$3300$

$32$

$54$
$30$
$40$

6. Zusammengesetzte Figuren

$16$
$28$

$34$

$24$

$182$

$16$
$28$
$32$

7. Oberflächeninhalt von Prismen

$258$
$182$

$600$

$96$
$180$

$124$

$258$
$182$
$92$