Natürliche und ganze Zahlen: Multiplikation und Division

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Schriftliche Multiplikation und Division

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Berechne schriftlich 24⋅1324 \cdot 13. Warum rückt die zweite Zeile um eine Stelle nach links?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 24cdot10=24024 \\cdot 10 = 240; die Null ergibt das Einrücken." data-option="1">Weil die 1 in 13 für 10 steht
  2. 24cdot124 \\cdot 1: Das wäre zu wenig." data-option="2">Das ist nur eine Schreibweise

Die Grundidee

Schriftliche Verfahren zerlegen nach Stellen.

Schriftliche Multiplikation: Mit jeder Stelle des zweiten Faktors einzeln multiplizieren, jede Zeile um eine Stelle weiter rechts beginnen lassen (je nach Stelle) und addieren.

Schriftliche Division: Von links her teilen, Rest mit der nächsten Ziffer herunterholen. Passt der Teiler nicht, schreibt man eine 0 in den Quotienten. Probe: Quotient · Teiler + Rest = Ausgangszahl.

Beispiel

Berechne 1248:41248 : 4.

33
12 : 4 = 3.
11
4 : 4 = 1.
1248:4=3121248 : 4 = 312
8 : 4 = 2.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 36⋅1236 \cdot 12.

360+72360 + 72
36 · 10 + 36 · 2.
432432
Summe.

Üben ★

  1. Berechne schriftlich 46⋅3846 \cdot 38.
  2. Berechne schriftlich 66⋅1866 \cdot 18.
  1. Berechne schriftlich 513:9513 : 9.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne 806:2806 : 2.
  1. Abschlussaufgabe. In einem Lager stehen 60 Kisten mit je 17 Flaschen. Sie werden gleichmäßig auf 6 Transporter verteilt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne schriftlich 46⋅3846 \cdot 38.
  2. Berechne schriftlich 66⋅1866 \cdot 18.
  3. Berechne schriftlich 54⋅2354 \cdot 23.

Merkkarte

Schriftlich multiplizieren und dividieren

  • Multiplizieren: Zeilen stellengerecht einrücken.
  • Dividieren: von links, Rest mitnehmen.
  • Null im Quotienten nicht vergessen.

Achtung: Probe durch die Umkehrrechnung.

2. Teilbarkeit und Primfaktoren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ist 1236 durch 3 teilbar?

Nicht maßstabsgetreu
  1. Ja: Die Quersumme 12 ist durch 3 teilbar
  2. Nein: Die letzte Ziffer ist nicht 3

Die Grundidee

Teilbarkeitsregeln sparen Rechenarbeit; jede Zahl lässt sich in Primfaktoren zerlegen.

Teilbarkeitsregeln: Durch 2, wenn die letzte Ziffer gerade ist; durch 5, wenn sie 0 oder 5 ist; durch 10, wenn sie 0 ist; durch 4, wenn die letzten zwei Ziffern durch 4 teilbar sind; durch 3 oder 9, wenn die Quersumme durch 3 oder 9 teilbar ist.

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, 1 und sich selbst: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben (Primfaktorzerlegung).

Beispiel

Zerlege 60 in Primfaktoren.

2⋅302 \cdot 30
60 = 2 · 30.
2⋅2⋅3⋅52 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5
30 = 2 · 15, 15 = 3 · 5.
60=22⋅3⋅560 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
Mit Potenz.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist die Quersumme von 4527?

4+5+2+74 + 5 + 2 + 7
4 + 5 + 2 + 7.
1818
Summe.

Üben ★

  1. Wie groß ist die Quersumme von 3415?
  2. Wie groß ist die Quersumme von 3506?
  1. Welche Zahl ist sicher durch 9 teilbar?
    1. 216216
    2. 219219
    3. 217217

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welche Zahl ist eine Primzahl?
    1. 29
    2. 27
    3. 1
  1. Abschlussaufgabe. Es ist n=22⋅32⋅52n = 2^{ 2 } \cdot 3^{ 2 } \cdot 5^{ 2 }.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist die Quersumme von 3415?
  2. Wie groß ist die Quersumme von 3506?
  3. Wie groß ist die Quersumme von 3399?

Merkkarte

Teilbarkeit und Primfaktoren

  • Regeln mit letzter Ziffer oder Quersumme.
  • Primzahl: genau zwei Teiler.
  • 1 ist keine Primzahl.

Achtung: Ungerade heißt nicht prim.

3. ggT und kgV

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Busse fahren alle 4 Minuten ab und Züge alle 6 Minuten. Jetzt fahren sie gemeinsam ab. Wann wieder?

  1. In 12 Minuten
  2. In 2 Minuten

Die Grundidee

Der ggT teilt in gleiche Gruppen; das kgV bringt Rhythmen zusammen.

Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen, das kgV ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. Zum Beispiel: ggT(12; 18) = 6 und kgV(12; 18) = 36.

Einen Bruch kürzt man vollständig, indem man Zähler und Nenner durch ihren ggT teilt.

Beispiel

Für 12 und 20.

ggT = 4
Gemeinsame Teiler: 1, 2, 4.
kgV = 60
Vielfache von 20: 20, 40, 60.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist der ggT von 18 und 24?

66
Der größte gemeinsame Teiler.

Üben ★

  1. Wie groß ist der ggT von 12 und 30?
  2. Wie groß ist der ggT von 20 und 28?
  1. Saft gibt es in Packungen zu 5 und Strohhalme in Packungen zu 7. Wie viele muss man mindestens von jedem kaufen, damit es gleich viele sind?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie groß ist das kgV von 18 und 30?
  2. Wie groß ist das kgV von 9 und 15?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist der ggT von 12 und 30?
  2. Wie groß ist der ggT von 20 und 28?
  3. Wie groß ist der ggT von 14 und 10?

Merkkarte

Teiler und Vielfache

  • ggT: der größte gemeinsame Teiler.
  • kgV: das kleinste gemeinsame Vielfache.

Achtung: Nicht verwechseln.

4. Additions- und Multiplikationsprinzip

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In der Mensa wählt man eine von 3 Vorspeisen und dann eines von 4 Hauptgerichten. Wie viele verschiedene Menüs gibt es?

  1. 12
  2. 7

Die Grundidee

Beim Zählen fragt man zuerst, wie sich die Wahl zusammensetzt.

Nicht maßstabsgetreu

Zählprinzip: Bei aufeinanderfolgenden Entscheidungen (dies und das) multipliziert man; ein Baumdiagramm zeigt das.

Getrennte Fälle: Bei Fällen, die sich ausschließen (dies oder das), addiert man die Möglichkeiten.

Beispiel

Ein Code besteht aus einem von 26 Buchstaben und dann einer von 10 Ziffern. Ein anderes System nutzt ein einzelnes von 12 Zeichen. Wie viele Codes gibt es insgesamt?

26⋅10=26026 \cdot 10 = 260
Buchstabe und Ziffer: nacheinander, also multiplizieren.
260+12=272260 + 12 = 272
Der Code stammt aus dem einen oder dem anderen System: Die Fälle schließen sich aus, addieren.

Du bist dran

Jetzt du: Ein Weg führt über eine von 3 Straßen von A nach B, dann über eine von 5 Straßen von B nach C. Wie viele Wege gibt es von A nach C?

3⋅53 \cdot 5
Eine Straße, dann eine andere: multiplizieren.
1515
Das Produkt.

Üben ★

  1. Ein Menü besteht aus einer von 4 Vorspeisen, einem von 8 Hauptgerichten und einem von 5 Nachtischen. Wie viele verschiedene Menüs gibt es?
  2. Ein Menü besteht aus einer von 2 Vorspeisen, einem von 3 Hauptgerichten und einem von 3 Nachtischen. Wie viele verschiedene Menüs gibt es?
  3. Ein Menü besteht aus einer von 2 Vorspeisen, einem von 3 Hauptgerichten und einem von 4 Nachtischen. Wie viele verschiedene Menüs gibt es?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Bücherei hat 9 Romane, 7 Comics und 6 Mangas. Tom leiht ein einziges Buch. Wie viele Möglichkeiten hat er?
  2. Eine Bücherei hat 12 Romane, 13 Comics und 7 Mangas. Tom leiht ein einziges Buch. Wie viele Möglichkeiten hat er?
  1. Ein Passwort ist entweder einer von 4 Buchstaben gefolgt von einer von 4 Ziffern oder ein einzelnes von 6 Zeichen. Wie viele Passwörter sind möglich?
  2. Ein Passwort ist entweder einer von 5 Buchstaben gefolgt von einer von 9 Ziffern oder ein einzelnes von 6 Zeichen. Wie viele Passwörter sind möglich?
  1. Von AA nach CC kommt man über BB (5 Straßen von AA nach BB, dann 6 Straßen von BB nach CC) oder über eine von 1 direkten Straßen. Wie viele Wege gibt es?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Menü besteht aus einer von 4 Vorspeisen, einem von 8 Hauptgerichten und einem von 5 Nachtischen. Wie viele verschiedene Menüs gibt es?
  2. Ein Menü besteht aus einer von 2 Vorspeisen, einem von 3 Hauptgerichten und einem von 3 Nachtischen. Wie viele verschiedene Menüs gibt es?
  3. Ein Menü besteht aus einer von 2 Vorspeisen, einem von 3 Hauptgerichten und einem von 4 Nachtischen. Wie viele verschiedene Menüs gibt es?

Merkkarte

Addieren oder multiplizieren?

  • Dies und das (nacheinander): multiplizieren.
  • Dies oder das (getrennte Fälle): addieren.

Achtung: Bei jedem Schritt des Zählens neu fragen.

5. Multiplikation und Division ganzer und rationaler Zahlen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Tank verliert 3 Liter pro Minute (eine Änderung von −3-3 pro Minute). Wie groß ist die Änderung in 4 Minuten?

  1. −12-12 Liter
  2. 1212 Liter

Die Grundidee

Vorzeichenregeln für Produkte und Quotienten.

Zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen haben ein positives Produkt (oder einen positiven Quotienten); zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen ein negatives.

Beispiel

Berechne (−6)⋅(−5):(−3)(-6) \cdot (-5) : (-3).

(−6)⋅(−5)=30(-6) \cdot (-5) = 30
Gleiches Vorzeichen.
30:(−3)=−1030 : (-3) = -10
Verschiedene Vorzeichen.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne (−48):(−6)(-48) : (-6).

88
Gleiches Vorzeichen.

Üben ★

  1. Berechne (−6)⋅7(-6) \cdot 7.
  2. Berechne (−7)⋅11(-7) \cdot 11.
  1. Berechne (−4)⋅(−6)(-4) \cdot (-6).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne (−144):12(-144) : 12.
  2. Berechne (−120):12(-120) : 12.
  1. Abschlussaufgabe. Um Mitternacht sind es 5 °C. Die Temperatur ändert sich um −6-6 °C pro Stunde (sie fällt um 6 Grad pro Stunde).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne (−6)⋅7(-6) \cdot 7.
  2. Berechne (−7)⋅11(-7) \cdot 11.
  3. Berechne (−11)⋅10(-11) \cdot 10.

Merkkarte

Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren

  • Gleiches Vorzeichen: positiv.
  • Verschiedene Vorzeichen: negativ.

Achtung: Minus mal minus ergibt plus.

6. Potenzen und Quadratzahlen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Was bedeutet 343^4?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 3⋅3⋅3⋅3=813 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81
  2. 3⋅4=123 \cdot 4 = 12

Die Grundidee

Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für ein Produkt gleicher Faktoren.

ana^n ist das Produkt aus nn Faktoren aa: aa heißt Basis, nn Exponent (Hochzahl). Quadratzahlen: 1,4,9,16,25,…1, 4, 9, 16, 25, \ldots

Zehnerpotenzen: 101=1010^1 = 10, 102=10010^2 = 100, 103=100010^3 = 1000. Der Exponent zählt die Nullen. Potenzen rechnet man vor Punkt und Strich.

Beispiel

Berechne 2+322 + 3^2 und 2⋅1032 \cdot 10^3.

32=93^2 = 9, also 2+9=112 + 9 = 11
Potenz zuerst.
2⋅10002 \cdot 1000
10³ = 1000.
20002000
Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 535^3.

5⋅5⋅55 \cdot 5 \cdot 5
5 · 5 · 5.
125125
Ergebnis.

Üben ★

  1. Berechne 929^{ 2 }.
  2. Berechne 535^{ 3 }.
  1. Wie viele Nullen hat 10410^{ 4 }?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne 11+4⋅2211 + 4 \cdot 2^2.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 929^{ 2 }.
  2. Berechne 535^{ 3 }.
  3. Berechne 434^{ 3 }.

Merkkarte

Potenzen

  • ana^n: nn Faktoren aa.
  • Quadratzahlen auswendig.
  • 10n10^n: nn Nullen.

Achtung: Nicht Basis mal Exponent.

Lösungen: Natürliche und ganze Zahlen: Multiplikation und Division

1. Schriftliche Multiplikation und Division

A

  1. 17481748
  2. 11881188

B

  1. 5757

C

  1. 403403

D

  1. 170170

E

  1. 17481748
  2. 11881188
  3. 12421242

2. Teilbarkeit und Primfaktoren

A

  1. 1313
  2. 1414

B

  1. 216216

C

  1. 29

D

  1. 00

E

  1. 1313
  2. 1414
  3. 2424

3. ggT und kgV

A

  1. 66
  2. 44

B

  1. 3535

C

  1. 9090
  2. 4545

D

  1. 66
  2. 44
  3. 22

4. Additions- und Multiplikationsprinzip

A

  1. 160160
  2. 1818
  3. 2424

B

  1. 2222
  2. 3232

C

  1. 2222
  2. 5151

D

  1. 3131

E

  1. 160160
  2. 1818
  3. 2424

5. Multiplikation und Division ganzer und rationaler Zahlen

A

  1. −42-42
  2. −77-77

B

  1. 2424

C

  1. −12-12
  2. −10-10

D

  1. 1717

E

  1. −42-42
  2. −77-77
  3. −110-110

6. Potenzen und Quadratzahlen

A

  1. 8181
  2. 125125

B

  1. 44

C

  1. 2727

D

  1. 8181
  2. 125125
  3. 6464