Brüche und Anteile

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Der Bruch als Operator

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Wie viel sind 34\dfrac{3}{4} von 12 Eiern?

  1. 9 Eier
  2. 3 Eier

Die Grundidee

Einen Bruchteil nehmen heißt multiplizieren.

Nicht maßstabsgetreu

ab\dfrac{a}{b} von nn ist ab⋅n\dfrac{a}{b} \cdot n: nn durch bb teilen, dann mit aa multiplizieren.

Beispiel

Berechne 25\dfrac{2}{5} von 20.

44
20 : 5.
88
· 2.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 12\dfrac{1}{2} von 18.

99
18 : 2.

Üben ★

  1. Berechne 46\dfrac{ 4 }{ 6 } von 18.
  2. Berechne 49\dfrac{ 4 }{ 9 } von 36.
  3. Berechne 26\dfrac{ 2 }{ 6 } von 12.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Von einer Packung mit 40 Keksen wird 18\dfrac{1}{ 8 } gegessen. Wie viele bleiben übrig?
  2. Von einer Packung mit 16 Keksen wird 18\dfrac{1}{ 8 } gegessen. Wie viele bleiben übrig?
  1. Berechne die Hälfte von 26.
  1. Ein Buch kostet 20 €. Mit einem Rabatt zahlt man 35\dfrac{ 3 }{ 5 } des Preises. Wie viel zahlt man (in Euro)?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 46\dfrac{ 4 }{ 6 } von 18.
  2. Berechne 49\dfrac{ 4 }{ 9 } von 36.
  3. Berechne 26\dfrac{ 2 }{ 6 } von 12.

Merkkarte

Bruchteil einer Zahl

  • Durch den Nenner teilen.
  • Mit dem Zähler multiplizieren.

Achtung: Beides verwenden.

2. Der Bruch als Quotient

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Welche Zahl ergibt mit 4 multipliziert 3?

  1. 34\dfrac{3}{4}
  2. 43\dfrac{4}{3}

Die Grundidee

Ein Bruch ist auch ein Quotient.

Nicht maßstabsgetreu

ab\dfrac{a}{b} ist die Zahl, die mit bb multipliziert aa ergibt: b⋅ab=ab \cdot \dfrac{a}{b} = a, und ab=a:b\dfrac{a}{b} = a : b.

Ein Bruch kann eine ganze Zahl (62=3\dfrac{6}{2} = 3) oder einen endlichen Dezimalbruch (34=0,75\dfrac{3}{4} = 0{,}75) darstellen, aber auch einen periodischen (13\dfrac{1}{3}).

Beispiel

Ergänze 7⋅⋯=57 \cdot \dots = 5.

57\dfrac{5}{7}
Definition.

Du bist dran

Jetzt du: Schreibe 32\dfrac{3}{2} als Dezimalbruch.

1,51{,}5
3 : 2.

Üben ★

  1. Ergänze: 4⋅⋯=64 \cdot \dots = 6.
  2. Ergänze: 7⋅⋯=87 \cdot \dots = 8.
  3. Ergänze: 9⋅⋯=69 \cdot \dots = 6.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Schreibe 84\dfrac{ 8 }{4} als Dezimalbruch.
  2. Schreibe 94\dfrac{ 9 }{4} als Dezimalbruch.
  1. Welche Zahl ergibt mit 9 multipliziert 3?
  1. Schreibe 152\dfrac{ 15 }{2} als Dezimalbruch.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ergänze: 4⋅⋯=64 \cdot \dots = 6.
  2. Ergänze: 7⋅⋯=87 \cdot \dots = 8.
  3. Ergänze: 9⋅⋯=69 \cdot \dots = 6.

Merkkarte

Bruch als Quotient

  • b⋅ab=ab \cdot \dfrac{a}{b} = a.
  • ab=a:b\dfrac{a}{b} = a : b.

Achtung: Der Zähler wird durch den Nenner geteilt.

3. Gleichheit und Vergleich von Brüchen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Sind 24\dfrac{2}{4} und 12\dfrac{1}{2} gleich?

  1. Ja
  2. Nein

Die Grundidee

Ein Bruch lässt sich verschieden schreiben.

Nicht maßstabsgetreu

Erweitern und Kürzen: Ein Bruch ändert seinen Wert nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen Zahl multipliziert oder durch sie teilt.

Zum Vergleichen bringt man auf denselben Nenner und vergleicht die Zähler.

Beispiel

Vergleiche 34\dfrac{3}{4} und 58\dfrac{5}{8}.

68\dfrac{6}{8} und 58\dfrac{5}{8}
Gleicher Nenner 8.
34>58\dfrac{3}{4} > \dfrac{5}{8}
Vergleich.

Du bist dran

Jetzt du: Kürze 69\dfrac{6}{9}. Wie lautet der Zähler?

22
Durch 3 teilen.

Üben ★

  1. Ergänze: 17=…14\dfrac{ 1 }{ 7 } = \dfrac{\dots}{ 14 }.
  2. Ergänze: 46=…36\dfrac{ 4 }{ 6 } = \dfrac{\dots}{ 36 }.
  3. Ergänze: 46=…30\dfrac{ 4 }{ 6 } = \dfrac{\dots}{ 30 }.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Vergleiche 36\dfrac{ 3 }{ 6 } und 712\dfrac{ 7 }{ 12 }.
    1. Der zweite ist größer
    2. Der erste ist größer
    3. Sie sind gleich
  2. Vergleiche 34\dfrac{ 3 }{ 4 } und 78\dfrac{ 7 }{ 8 }.
    1. Der zweite ist größer
    2. Der erste ist größer
    3. Sie sind gleich
  1. Kürze 624\dfrac{ 6 }{ 24 } mit 3: Wie lautet der neue Zähler?
  1. Sind die Brüche 23\dfrac{2}{3} und 46\dfrac{4}{6} gleich?
    1. Ja: Oben und unten mit 2 multiplizieren
    2. Nein: Die Zahlen sind verschieden
    3. Nein: 46\dfrac{4}{6} ist größer

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ergänze: 17=…14\dfrac{ 1 }{ 7 } = \dfrac{\dots}{ 14 }.
  2. Ergänze: 46=…36\dfrac{ 4 }{ 6 } = \dfrac{\dots}{ 36 }.
  3. Ergänze: 46=…30\dfrac{ 4 }{ 6 } = \dfrac{\dots}{ 30 }.

Merkkarte

Gleichwertige Brüche

  • Oben und unten dieselbe Multiplikation.
  • Mit gleichem Nenner vergleichen.

Achtung: Dieselbe Zahl addieren geht nicht.

4. Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In einer Klasse mit 40 Kindern kommen 25 % zu Fuß. Wie viele sind das?

  1. 10
  2. 25

Die Grundidee

Prozent bedeutet „von hundert“.

p %p\,\% einer Größe sind p100\dfrac{p}{100} mal der Größe: Prozentwert = p100⋅\dfrac{p}{100} \cdot Grundwert. Prozentsatz: Prozentwert : Grundwert · 100. Grundwert: Prozentwert : p100\dfrac{p}{100}.

Beispiel

30 % einer Zahl sind 12.

Grundwert =12:0,3= 12 : 0{,}3
0,3 · Grundwert = 12.
4040
Teilen.

Du bist dran

Jetzt du: Wie viel Prozent von 80 sind 20?

2525
20 : 80 · 100.

Üben ★

  1. Wie viel sind 50 % von 340?
  2. Wie viel sind 5 % von 300?
  1. Wie viel Prozent von 140 sind 7?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. 60 % einer Zahl sind 228. Wie heißt die Zahl?
  2. 45 % einer Zahl sind 162. Wie heißt die Zahl?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie viel sind 50 % von 340?
  2. Wie viel sind 5 % von 300?
  3. Wie viel sind 40 % von 400?

Merkkarte

Prozente

  • p %=p100p\,\% = \dfrac{p}{100}.
  • Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert · 100.

Achtung: Prozentwert durch Grundwert teilen, nicht umgekehrt.

5. Brüche vergleichen, addieren und subtrahieren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie viel ist 12+13\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}?

  1. 56\dfrac{5}{6}
  2. 25\dfrac{2}{5}

Die Grundidee

Man geht über einen gemeinsamen Nenner.

Nicht maßstabsgetreu

Zum Vergleichen, Addieren oder Subtrahieren bringt man die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Bei gleichem Nenner addiert oder subtrahiert man nur die Zähler.

Beispiel

Berechne 34−16\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}.

912−212\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12}
Gemeinsamer Nenner 12.
712\dfrac{7}{12}
Subtrahieren.

Du bist dran

Jetzt du: Vergleiche 23\dfrac{2}{3} und 35\dfrac{3}{5}: Wie lautet der Zähler von 23\dfrac{2}{3} mit dem Nenner 15?

1010
2 · 5.

Üben ★

  1. Berechne 15+22\dfrac{ 1 }{ 5 } + \dfrac{ 2 }{ 2 }.
  2. Berechne 14+13\dfrac{ 1 }{ 4 } + \dfrac{ 1 }{ 3 }.
  3. Berechne 33+34\dfrac{ 3 }{ 3 } + \dfrac{ 3 }{ 4 }.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Vergleiche 16\dfrac{1}{ 6 } und 17\dfrac{1}{ 7 }.
    1. 16>17\dfrac{1}{ 6 } > \dfrac{1}{ 7 }
    2. 16<17\dfrac{1}{ 6 } < \dfrac{1}{ 7 }
    3. Sie sind gleich
  2. Vergleiche 13\dfrac{1}{ 3 } und 14\dfrac{1}{ 4 }.
    1. 13>14\dfrac{1}{ 3 } > \dfrac{1}{ 4 }
    2. 13<14\dfrac{1}{ 3 } < \dfrac{1}{ 4 }
    3. Sie sind gleich
  1. Abschlussaufgabe. Von einer Flasche wurde 14\dfrac{1}{ 4 } verbraucht, dann 18\dfrac{1}{ 8 }.
  1. Vergleiche 27\dfrac{ 2 }{7} und 17\dfrac{ 1 }{7}.
    1. 27\dfrac{ 2 }{7} ist größer
    2. 17\dfrac{ 1 }{7} ist größer
    3. Sie sind gleich
  1. Berechne 710−410\dfrac{ 7 }{ 10 } - \dfrac{ 4 }{ 10 }.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 15+22\dfrac{ 1 }{ 5 } + \dfrac{ 2 }{ 2 }.
  2. Berechne 14+13\dfrac{ 1 }{ 4 } + \dfrac{ 1 }{ 3 }.
  3. Berechne 33+34\dfrac{ 3 }{ 3 } + \dfrac{ 3 }{ 4 }.

Merkkarte

Brüche

  • Zuerst gleicher Nenner.
  • Nur die Zähler addieren.

Achtung: Nie die Nenner addieren.

6. Brüche addieren, mit ganzen Zahlen multiplizieren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie viel ist 14+24\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}?

  1. 34\dfrac{3}{4}
  2. 38\dfrac{3}{8}

Die Grundidee

Bei gleichem Nenner addiert man die Zähler.

ad+bd=a+bd\dfrac{a}{d} + \dfrac{b}{d} = \dfrac{a + b}{d}. Ist ein Nenner ein Vielfaches des anderen, erweitert man einen der Brüche.

n⋅ab=n⋅abn \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \cdot a}{b}.

Beispiel

Berechne 12+14\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}.

24+14\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}
1/2 = 2/4.
34\dfrac{3}{4}
Addieren.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 3⋅253 \cdot \dfrac{2}{5}.

65\dfrac{6}{5}
6/5.

Üben ★

  1. Berechne 512+112\dfrac{ 5 }{ 12 } + \dfrac{ 1 }{ 12 }.
  2. Berechne 210+410\dfrac{ 2 }{ 10 } + \dfrac{ 4 }{ 10 }.
  3. Berechne 17+17\dfrac{ 1 }{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 7 }.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne 2⋅162 \cdot \dfrac{ 1 }{ 6 }.
  2. Berechne 6⋅166 \cdot \dfrac{ 1 }{ 6 }.
  1. Abschlussaufgabe. Eine Tafel Schokolade hat 48 Stücke. Tom isst 16\dfrac{1}{ 6 }, Zoe 112\dfrac{1}{ 12 }.
  1. Berechne 712−212\dfrac{ 7 }{ 12 } - \dfrac{ 2 }{ 12 }.
  1. Berechne 2+362 + \dfrac{ 3 }{ 6 }.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 512+112\dfrac{ 5 }{ 12 } + \dfrac{ 1 }{ 12 }.
  2. Berechne 210+410\dfrac{ 2 }{ 10 } + \dfrac{ 4 }{ 10 }.
  3. Berechne 17+17\dfrac{ 1 }{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 7 }.

Merkkarte

Rechnen mit Brüchen

  • Gleicher Nenner: Zähler addieren.
  • n⋅ab=n⋅abn \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \cdot a}{b}.

Achtung: Der Nenner wird nicht addiert.

Lösungen: Brüche und Anteile

1. Der Bruch als Operator

A

  1. 1212
  2. 1616
  3. 44

B

  1. 3535
  2. 1414

C

  1. 1313

D

  1. 1212

E

  1. 1212
  2. 1616
  3. 44

2. Der Bruch als Quotient

A

  1. 32\frac{3}{2}
  2. 87\frac{8}{7}
  3. 23\frac{2}{3}

B

  1. 22
  2. 94\frac{9}{4}

C

  1. 13\frac{1}{3}

D

  1. 152\frac{15}{2}

E

  1. 32\frac{3}{2}
  2. 87\frac{8}{7}
  3. 23\frac{2}{3}

3. Gleichheit und Vergleich von Brüchen

A

  1. 22
  2. 2424
  3. 2020

B

  1. Der zweite ist größer
  2. Der zweite ist größer

C

  1. 22

D

  1. Ja: Oben und unten mit 2 multiplizieren

E

  1. 22
  2. 2424
  3. 2020

4. Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert

A

  1. 170170
  2. 1515

B

  1. 55

C

  1. 380380
  2. 360360

D

  1. 170170
  2. 1515
  3. 160160

5. Brüche vergleichen, addieren und subtrahieren

A

  1. 65\frac{6}{5}
  2. 712\frac{7}{12}
  3. 74\frac{7}{4}

B

  1. 16>17\dfrac{1}{ 6 } > \dfrac{1}{ 7 }
  2. 13>14\dfrac{1}{ 3 } > \dfrac{1}{ 4 }

C

  1. 4040

D

  1. 27\dfrac{ 2 }{7} ist größer

E

  1. 310\frac{3}{10}

F

  1. 65\frac{6}{5}
  2. 712\frac{7}{12}
  3. 74\frac{7}{4}

6. Brüche addieren, mit ganzen Zahlen multiplizieren

A

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 35\frac{3}{5}
  3. 27\frac{2}{7}

B

  1. 13\frac{1}{3}
  2. 11

C

  1. 3636

D

  1. 512\frac{5}{12}

E

  1. 52\frac{5}{2}

F

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 35\frac{3}{5}
  3. 27\frac{2}{7}