Dezimalbrüche

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Stellenwerte und Schreibweisen einer Zahl

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Welchen Wert hat die Ziffer 7 in 4,1074{,}107?

  1. 7 Tausendstel
  2. 7 Zehntel

Die Grundidee

Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stelle ab.

Nicht maßstabsgetreu

1=101 = 10 Zehntel =100= 100 Hundertstel =1000= 1000 Tausendstel. Eine Milliarde sind 10001000 Millionen.

Eine Zahl lässt sich verschieden schreiben: 4,107=41071000=4+110+710004{,}107 = \dfrac{4107}{1000} = 4 + \dfrac{1}{10} + \dfrac{7}{1000}.

Beispiel

Schreibe 325100\dfrac{325}{100} mit Komma.

3,253{,}25
325 Hundertstel.
3+251003 + \dfrac{25}{100}
Zerlegung.

Du bist dran

Jetzt du: Wie viele Zehntel sind 3 Einer?

3030
3 · 10.

Üben ★

  1. Schreibe 722100\dfrac{ 722 }{100} als Dezimalbruch.
  2. Schreibe 278100\dfrac{ 278 }{100} als Dezimalbruch.
  3. Schreibe 215100\dfrac{ 215 }{100} als Dezimalbruch.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welchen Wert hat die Ziffer 6 in der Zahl 3,6523{,}652?
    1. 6 Zehntel
    2. 6 Hundertstel
    3. 6 Einer
  2. Welchen Wert hat die Ziffer 8 in der Zahl 3,8523{,}852?
    1. 8 Zehntel
    2. 8 Hundertstel
    3. 8 Einer
  1. Schreibe 410\dfrac{ 4 }{10} als Dezimalbruch.
  1. Schreibe 0,210{,}21 als Bruch mit dem Nenner 100. Wie lautet der Zähler?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Schreibe 722100\dfrac{ 722 }{100} als Dezimalbruch.
  2. Schreibe 278100\dfrac{ 278 }{100} als Dezimalbruch.
  3. Schreibe 215100\dfrac{ 215 }{100} als Dezimalbruch.

Merkkarte

Stellenwerte

  • Zehntel, Hundertstel, Tausendstel.
  • Verschiedene Schreibweisen derselben Zahl.

Achtung: Die Null zählt als Stelle.

2. Dezimalzahlen vergleichen, runden und einschachteln

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Welche Zahl ist größer: 2,92{,}9 oder 2,152{,}15?

  1. 2,92{,}9
  2. 2,152{,}15

Die Grundidee

Man vergleicht Stelle für Stelle.

Nicht maßstabsgetreu

Zum Vergleichen vergleicht man die Einer, dann die Zehntel, dann die Hundertstel. Rechts darf man Nullen anhängen: 2,9=2,902{,}9 = 2{,}90.

Auf Zehntel runden: Man schaut auf die Hundertstelziffer; ab 5 rundet man auf.

Beispiel

Runde 3,473{,}47 auf Zehntel.

Man rundet auf.
Die Hundertstelziffer ist 7.
3,53{,}5
Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: Runde 5,25{,}2 auf Einer.

55
2 < 5.

Üben ★

  1. Runde 7,667{,}66 auf Zehntel.
  2. Runde 2,392{,}39 auf Zehntel.
  3. Runde 6,386{,}38 auf Zehntel.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welche Zahl ist am größten?
    1. 3,93{,}9
    2. 3,193{,}19
    3. 3,093{,}09
  2. Welche Zahl ist am größten?
    1. 7,77{,}7
    2. 7,177{,}17
    3. 7,077{,}07
  1. Welche ganze Zahl liegt direkt unter 3,23{,}2?
  1. Welche Zahl ist größer: 2,92{,}9 oder 2,152{,}15?
    1. 2,92{,}9
    2. 2,152{,}15
    3. Sie sind gleich

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Runde 7,667{,}66 auf Zehntel.
  2. Runde 2,392{,}39 auf Zehntel.
  3. Runde 6,386{,}38 auf Zehntel.

Merkkarte

Vergleichen

  • Stelle für Stelle.
  • Runden: auf die nächste Ziffer schauen.

Achtung: Mehr Ziffern heißt nicht größer.

3. Periodische Dezimalbrüche

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Rechne 1:31 : 3 schriftlich. Wie geht es weiter?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 0,333…0{,}333\ldots: Die 3 wiederholt sich immer
  2. 0,3cdot3=0,90{,}3 \\cdot 3 = 0{,}9, nicht 1. Die Division geht unendlich weiter." data-option="2">0,30{,}3: Danach ist Schluss

Die Grundidee

Manche Brüche ergeben Dezimalbrüche, die nie enden.

Ein endlicher Dezimalbruch bricht ab, etwa 38=0,375\dfrac{3}{8} = 0{,}375. Ein periodischer Dezimalbruch wiederholt eine Ziffernfolge immer wieder: 13=0,3‾\dfrac{1}{3} = 0{,}\overline{3}, 111=0,09‾\dfrac{1}{11} = 0{,}\overline{09}. Der Strich steht über der Periode.

Beim Teilen kann nur eine begrenzte Zahl von Resten auftreten. Kommt ein Rest wieder, wiederholen sich auch die Ziffern. Ein gekürzter Bruch ist genau dann endlich, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 hat.

Beispiel

Schreibe 56\dfrac{5}{6} als Dezimalbruch.

0,8…0{,}8\ldots
5 : 6: erst eine 8, Rest 2.
0,83…0{,}83\ldots
Rest 2 kehrt immer wieder: 3, Rest 2.
0,83‾0{,}8\overline{3}
Mit Strich.

Du bist dran

Jetzt du: Welche Ziffer steht bei 23\dfrac{2}{3} in der Periode?

0,6‾0{,}\overline{6}
2 : 3 = 0,666…
66
Ziffer.

Üben ★

  1. Welcher Bruch ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
    1. 23\dfrac{ 2 }{3}
    2. 18\dfrac{1}{8}
    3. 320\dfrac{3}{20}
  2. Welcher Bruch ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
    1. 13\dfrac{ 1 }{3}
    2. 18\dfrac{1}{8}
    3. 320\dfrac{3}{20}
  1. Schreibe 89\dfrac{ 8 }{9} als periodischen Dezimalbruch. Welche Ziffer steht in der Periode?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Schreibe 18\dfrac{ 1 }{8} als Dezimalbruch.
  1. Abschlussaufgabe. Untersucht werden die Brüche 34\dfrac{ 3 }{4} und 13\dfrac{1}{3}.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Welcher Bruch ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
    1. 23\dfrac{ 2 }{3}
    2. 18\dfrac{1}{8}
    3. 320\dfrac{3}{20}
  2. Welcher Bruch ergibt einen periodischen Dezimalbruch?
    1. 13\dfrac{ 1 }{3}
    2. 18\dfrac{1}{8}
    3. 320\dfrac{3}{20}

Merkkarte

Periodische Dezimalbrüche

  • Endlich: bricht ab.
  • Periodisch: Ziffernfolge wiederholt sich; Strich über der Periode.
  • Nenner nur mit 2 und 5: endlich.

Achtung: 0,3‾0{,}\overline{3} ist genau 13\dfrac{1}{3}, nicht gerundet.

4. Addieren, subtrahieren, mit 0,1 multiplizieren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie viel ist 3,4⋅0,13{,}4 \cdot 0{,}1?

  1. 0,340{,}34
  2. 3434

Die Grundidee

Zum Addieren schreibt man die Kommas untereinander.

Beim Addieren und Subtrahieren stehen Ziffern gleicher Stelle untereinander.

Mit 0,10{,}1, 0,010{,}01, 0,0010{,}001 multiplizieren heißt durch 1010, 100100, 10001000 teilen.

Beispiel

Berechne 7,5+2,487{,}5 + 2{,}48.

7,50+2,487{,}50 + 2{,}48
7,50 schreiben.
9,989{,}98
Addieren.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 56⋅0,0156 \cdot 0{,}01.

0,560{,}56
56 : 100.

Üben ★

  1. Berechne 74⋅0,174 \cdot 0{,}1.
  2. Berechne 93⋅0,193 \cdot 0{,}1.
  3. Berechne 51⋅0,151 \cdot 0{,}1.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne 1,7+51{,}7 + 5.
  2. Berechne 5,4+85{,}4 + 8.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 74⋅0,174 \cdot 0{,}1.
  2. Berechne 93⋅0,193 \cdot 0{,}1.
  3. Berechne 51⋅0,151 \cdot 0{,}1.

Merkkarte

Rechnen mit Dezimalbrüchen

  • Stellen untereinander.
  • ⋅ 0,1\cdot\, 0{,}1: durch 10 teilen.

Achtung: Mit einer Zahl kleiner als 1 multiplizieren verkleinert.

Lösungen: Dezimalbrüche

1. Stellenwerte und Schreibweisen einer Zahl

A

  1. 36150\frac{361}{50}
  2. 13950\frac{139}{50}
  3. 4320\frac{43}{20}

B

  1. 6 Zehntel
  2. 8 Zehntel

C

  1. 25\frac{2}{5}

D

  1. 2121

E

  1. 36150\frac{361}{50}
  2. 13950\frac{139}{50}
  3. 4320\frac{43}{20}

2. Dezimalzahlen vergleichen, runden und einschachteln

A

  1. 7710\frac{77}{10}
  2. 125\frac{12}{5}
  3. 325\frac{32}{5}

B

  1. 3,93{,}9
  2. 7,77{,}7

C

  1. 33

D

  1. 2,92{,}9

E

  1. 7710\frac{77}{10}
  2. 125\frac{12}{5}
  3. 325\frac{32}{5}

3. Periodische Dezimalbrüche

A

  1. 23\dfrac{ 2 }{3}
  2. 13\dfrac{ 1 }{3}

B

  1. 88

C

  1. 18\frac{1}{8}

D

  1. 11

E

  1. 23\dfrac{ 2 }{3}
  2. 13\dfrac{ 1 }{3}

4. Addieren, subtrahieren, mit 0,1 multiplizieren

A

  1. 375\frac{37}{5}
  2. 9310\frac{93}{10}
  3. 5110\frac{51}{10}

B

  1. 6710\frac{67}{10}
  2. 675\frac{67}{5}

C

  1. 375\frac{37}{5}
  2. 9310\frac{93}{10}
  3. 5110\frac{51}{10}