Flächeninhalt und Volumen

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Flächeninhalt von Parallelogrammen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Man schneidet an einem Ende eines Parallelogramms ein Dreieck ab und legt es ans andere Ende. Welche Form entsteht?

  1. Ein Rechteck mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe
  2. Ein Dreieck

Die Grundidee

Flächeninhalt des Parallelogramms.

Flächeninhalt eines Parallelogramms =g⋅h= g \cdot h, mit einer Grundseite gg und der zugehörigen Höhe hh: dem senkrecht gemessenen Abstand der Grundseite von der gegenüberliegenden Seite.

Beispiel

Grundseite 8 cm, Höhe 5 cm, schräge Seite 6 cm.

A=8⋅5A = 8 \cdot 5
Die schräge Seite wird nicht gebraucht.
4040 cm²
Multiplizieren.

Du bist dran

Jetzt du: Grundseite 7, Höhe 4. Berechne den Flächeninhalt.

2828
7 · 4.

Üben ★

  1. Ein Parallelogramm hat die Grundseite 11 cm, die Höhe 5 cm und schräge Seiten von 7 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?
  2. Ein Parallelogramm hat die Grundseite 3 cm, die Höhe 7 cm und schräge Seiten von 8 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?
  1. Ein Parallelogramm hat den Flächeninhalt 27 cm² und die Grundseite 3 cm. Wie groß ist seine Höhe (cm)?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Parallelogramm hat die Grundseite 9 cm. Welche Länge ist seine Höhe?
    1. Der senkrecht gemessene Abstand zwischen Grundseite und gegenüberliegender Seite
    2. Die Länge einer schrägen Seite
    3. Die längste Seite
  2. Ein Parallelogramm hat die Grundseite 14 cm. Welche Länge ist seine Höhe?
    1. Der senkrecht gemessene Abstand zwischen Grundseite und gegenüberliegender Seite
    2. Die Länge einer schrägen Seite
    3. Die längste Seite

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Parallelogramm hat die Grundseite 11 cm, die Höhe 5 cm und schräge Seiten von 7 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?
  2. Ein Parallelogramm hat die Grundseite 3 cm, die Höhe 7 cm und schräge Seiten von 8 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?
  3. Ein Parallelogramm hat die Grundseite 14 cm, die Höhe 8 cm und schräge Seiten von 12 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?

Merkkarte

Flächeninhalt des Parallelogramms

  • A=g⋅hA = g \cdot h.
  • Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.

Achtung: Die schräge Seite ist nicht die Höhe.

2. Flächeninhalt von Dreiecken

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Zwei gleiche Dreiecke bilden ein Parallelogramm mit Grundseite 6 und Höhe 4. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreiecks?

  1. 12
  2. 24

Die Grundidee

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm.

Flächeninhalt eines Dreiecks =12⋅g⋅h= \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h, wobei hh die Höhe zur Grundseite ist: Sie geht von der gegenüberliegenden Ecke senkrecht zur Grundseite. Die drei Höhen schneiden sich in einem Punkt.

Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite; sie teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Dreiecke.

Beispiel

Grundseite 10 cm, Höhe 7 cm.

A=12⋅10⋅7=35A = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 = 35 cm²
Die Hälfte von Grundseite mal Höhe.

Du bist dran

Jetzt du: Grundseite 9, Höhe 6. Berechne den Flächeninhalt.

2727
(1/2) · 54.

Üben ★

  1. Ein Dreieck hat die Grundseite 15 cm und die Höhe 4 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?
  2. Ein Dreieck hat die Grundseite 11 cm und die Höhe 4 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?
  1. Ein Dreieck hat die Grundseite 7 m, die Höhe 6 m und eine weitere Seite von 11 m. Wie groß ist sein Flächeninhalt (m²)?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 32 cm² und die Höhe 8 cm. Wie groß ist seine Grundseite (cm)?
  2. Ein Dreieck hat den Flächeninhalt 40 cm² und die Höhe 4 cm. Wie groß ist seine Grundseite (cm)?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Zelt hat die Form eines Prismas. Seine Vorderseite ist ein Dreieck mit Grundseite 8 m und Höhe 4 m, und das Zelt ist 10 m lang.Nicht maßstabsgetreu

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Dreieck hat die Grundseite 15 cm und die Höhe 4 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?
  2. Ein Dreieck hat die Grundseite 11 cm und die Höhe 4 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?
  3. Ein Dreieck hat die Grundseite 20 cm und die Höhe 9 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (cm²)?

Merkkarte

Flächeninhalt des Dreiecks

  • A=12ghA = \dfrac{1}{2} g h.
  • Höhe: senkrecht zur Grundseite.

Achtung: Die Hälfte nicht vergessen.

3. Flächeninhalt des Trapezes

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Zwei gleiche Trapeze mit den parallelen Seiten 6 und 4 und der Höhe 3 bilden gedreht ein Parallelogramm. Welche Grundseite hat es?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 6+4=106 + 4 = 10
  2. 66

Die Grundidee

Ein Trapez ist ein halbes Parallelogramm mit der Grundseite a+ca + c.

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten aa und cc. Sein Flächeninhalt ist A=a+c2⋅hA = \dfrac{a + c}{2} \cdot h, wobei hh der senkrechte Abstand der parallelen Seiten ist.

Der Faktor a+c2\dfrac{a + c}{2} ist der Mittelwert der parallelen Seiten, auch Mittellinie genannt.

Beispiel

Parallele Seiten 9 cm und 5 cm, Höhe 4 cm.

9+52=7\dfrac{9 + 5}{2} = 7
Mittellinie.
A=7⋅4A = 7 \cdot 4
Mal Höhe.
2828 cm²
Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: Parallele Seiten 8 und 2, Höhe 5. Berechne den Flächeninhalt.

5⋅55 \cdot 5
(8 + 2) : 2 = 5.
2525
Ergebnis.

Üben ★

  1. Ein Trapez hat die parallelen Seiten 11 cm und 8 cm und die Höhe 3 cm. Berechne den Flächeninhalt in cm².
  2. Ein Trapez hat die parallelen Seiten 9 cm und 3 cm und die Höhe 6 cm. Berechne den Flächeninhalt in cm².
  1. Ein Trapez hat die parallelen Seiten 7 und 4, die Höhe 5 und eine schräge Seite der Länge 8. Berechne den Flächeninhalt.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Trapez hat die parallelen Seiten 7 und 2 und den Flächeninhalt \frac{45}{2}. Wie groß ist seine Höhe?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Beet hat die Form eines Trapezes mit den parallelen Seiten 8 m und 6 m und der Höhe 6 m.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Trapez hat die parallelen Seiten 11 cm und 8 cm und die Höhe 3 cm. Berechne den Flächeninhalt in cm².
  2. Ein Trapez hat die parallelen Seiten 9 cm und 3 cm und die Höhe 6 cm. Berechne den Flächeninhalt in cm².
  3. Ein Trapez hat die parallelen Seiten 12 cm und 5 cm und die Höhe 5 cm. Berechne den Flächeninhalt in cm².

Merkkarte

Flächeninhalt des Trapezes

  • A=a+c2⋅hA = \dfrac{a + c}{2} \cdot h.
  • Parallele Seiten mitteln.
  • Die Höhe steht senkrecht auf ihnen.

Achtung: Die schräge Seite ist nicht die Höhe.

4. Oberflächeninhalt von Prismen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Um eine Schachtel einzupacken, musst du sie außen ganz bedecken. Welche Größe ist das?

  1. Der Oberflächeninhalt
  2. Das Volumen
Nicht maßstabsgetreu

Drehe und kippe die Schachtel. Zähle ihre Flächen, auch die verdeckten.

  1. 6 Flächen, in 3 gleichen Paaren
  2. 4 Flächen: die an den Seiten

Die Grundidee

Der Oberflächeninhalt addiert die Flächen.

Der Oberflächeninhalt eines Prismas ist die Summe aller Flächeninhalte: zwei Grundflächen plus die Rechtecke des Mantels (Umfang der Grundfläche mal Höhe). Quader: O=2(ab+ac+bc)O = 2(ab + ac + bc). Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe, in Raumeinheiten.

Beispiel

Ein Quader mit den Kanten 5, 3 und 2.

Nicht maßstabsgetreu

2(15+10+6)2(15 + 10 + 6)
Flächenpaare.
6262 Flächeneinheiten
Addieren.

Du bist dran

Jetzt du: der Oberflächeninhalt eines Würfels mit Kante 3.

5454
6 · 9.

Üben ★

  1. Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 6 cm, 9 cm und 5 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
  2. Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 7 cm, 3 cm und 7 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
  1. Bestimme den Oberflächeninhalt eines Würfels mit der Kante 10 cm (cm²).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Prisma hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 cm und die Höhe 7 cm. Bestimme seinen Oberflächeninhalt (cm²).Nicht maßstabsgetreu
  2. Ein Prisma hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 9, 12 und 15 cm und die Höhe 2 cm. Bestimme seinen Oberflächeninhalt (cm²).Nicht maßstabsgetreu
  1. Abschlussaufgabe. Eine Geschenkschachtel ist 6 cm lang, 4 cm breit und 5 cm hoch.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 6 cm, 9 cm und 5 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
  2. Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 7 cm, 3 cm und 7 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu
  3. Bestimme den Oberflächeninhalt eines Quaders mit den Kanten 8 cm, 2 cm und 3 cm (cm²).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Oberflächeninhalt

Die Flächeninhalte aller Flächen addieren (Flächeneinheiten).

Achtung: Bedecken ist Fläche, Füllen ist Volumen.

5. Volumen und Kubikzentimeter

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Ein Quader besteht aus 2 Schichten mit je 6 Würfeln von 1 cm³. Wie groß ist sein Volumen?

  1. 12 cm³
  2. 8 cm³

Die Grundidee

Ein Volumen zählt man in Würfeln.

Nicht maßstabsgetreu

Ein Kubikzentimeter ist das Volumen eines Würfels mit 1 cm Kantenlänge. Für einen Quader gilt V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c.

Beispiel

Quader mit 3 cm, 2 cm, 4 cm.

3⋅2=63 \cdot 2 = 6
Eine Schicht.
2424 cm³
4 Schichten.

Du bist dran

Jetzt du: das Volumen eines Würfels mit 2 cm Kantenlänge.

88
2 · 2 · 2.

Üben ★

  1. Berechne das Volumen eines Quaders mit 3 cm, 3 cm und 3 cm (cm³).
  2. Berechne das Volumen eines Quaders mit 4 cm, 6 cm und 4 cm (cm³).
  3. Berechne das Volumen eines Quaders mit 5 cm, 3 cm und 4 cm (cm³).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne das Volumen eines Würfels mit 5 cm Kantenlänge (cm³).
  2. Berechne das Volumen eines Würfels mit 9 cm Kantenlänge (cm³).
  1. Rechne 6 l in dm³ um.
  1. Ein Quader hat das Volumen 12 cm³ und die Grundfläche 2 cm mal 3 cm. Wie hoch ist er (cm)?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne das Volumen eines Quaders mit 3 cm, 3 cm und 3 cm (cm³).
  2. Berechne das Volumen eines Quaders mit 4 cm, 6 cm und 4 cm (cm³).
  3. Berechne das Volumen eines Quaders mit 5 cm, 3 cm und 4 cm (cm³).

Merkkarte

Volumen

  • a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c.
  • Einheit: cm³.

Achtung: Fläche und Volumen nicht verwechseln.

Lösungen: Flächeninhalt und Volumen

1. Flächeninhalt von Parallelogrammen

A

  1. 5555
  2. 2121

B

  1. 99

C

  1. Der senkrecht gemessene Abstand zwischen Grundseite und gegenüberliegender Seite
  2. Der senkrecht gemessene Abstand zwischen Grundseite und gegenüberliegender Seite

D

  1. 5555
  2. 2121
  3. 112112

2. Flächeninhalt von Dreiecken

A

  1. 3030
  2. 2222

B

  1. 2121

C

  1. 88
  2. 2020

D

  1. 8080

E

  1. 3030
  2. 2222
  3. 9090

3. Flächeninhalt des Trapezes

A

  1. 572\frac{57}{2}
  2. 3636

B

  1. 552\frac{55}{2}

C

  1. 55

D

  1. 4848

E

  1. 572\frac{57}{2}
  2. 3636
  3. 852\frac{85}{2}

4. Oberflächeninhalt von Prismen

A

  1. 258258
  2. 182182

B

  1. 600600

C

  1. 9696
  2. 180180

D

  1. 124124

E

  1. 258258
  2. 182182
  3. 9292

5. Volumen und Kubikzentimeter

A

  1. 2727
  2. 9696
  3. 6060

B

  1. 125125
  2. 729729

C

  1. 66

D

  1. 22

E

  1. 2727
  2. 9696
  3. 6060