Multiplizieren, Dividieren und Terme

Kapitel drucken

Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Für ein PDF wähle im Druckdialog „Als PDF speichern“.

1. Brüche multiplizieren und Kehrwert

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Wie viel sind 23\dfrac{2}{3} von 12?

  1. 88
  2. 1818

Die Grundidee

Beim Multiplizieren multipliziert man Zähler und Nenner.

ab⋅cd=a⋅cb⋅d\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}. Einen Bruchteil einer Zahl nehmen heißt mit dem Bruch multiplizieren.

Der Kehrwert von a≠0a \neq 0 ist 1a\dfrac{1}{a}: a⋅1a=1a \cdot \dfrac{1}{a} = 1. Der Kehrwert von ab\dfrac{a}{b} ist ba\dfrac{b}{a}.

Beispiel

Berechne 34⋅25\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{5}.

620\dfrac{6}{20}
Multiplizieren.
310\dfrac{3}{10}
Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: Wie lautet der Kehrwert von 27\dfrac{2}{7}?

72\dfrac{7}{2}
Zähler und Nenner tauschen.

Üben ★

  1. Berechne 36⋅16\dfrac{ 3 }{ 6 } \cdot \dfrac{ 1 }{ 6 }.
  2. Berechne 13⋅36\dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \dfrac{ 3 }{ 6 }.
  3. Berechne 24⋅57\dfrac{ 2 }{ 4 } \cdot \dfrac{ 5 }{ 7 }.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne 14\dfrac{1}{ 4 } von 12.
  2. Berechne 14\dfrac{1}{ 4 } von 24.
  1. Wie lautet der Kehrwert von 62\dfrac{ 6 }{ 2 }?
  1. Berechne 34:54\dfrac{ 3 }{ 4 } : \dfrac{ 5 }{ 4 }.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 36⋅16\dfrac{ 3 }{ 6 } \cdot \dfrac{ 1 }{ 6 }.
  2. Berechne 13⋅36\dfrac{ 1 }{ 3 } \cdot \dfrac{ 3 }{ 6 }.
  3. Berechne 24⋅57\dfrac{ 2 }{ 4 } \cdot \dfrac{ 5 }{ 7 }.

Merkkarte

Produkt und Kehrwert

  • ab⋅cd=a⋅cb⋅d\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}.
  • Der Kehrwert von ab\dfrac{a}{b} ist ba\dfrac{b}{a}.

Achtung: Kehrwert und Gegenzahl sind verschieden.

2. Brüche dividieren

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Wie viele Becher mit 14\dfrac{1}{4} Liter passen in 3 Liter?

  1. 12
  2. 34\dfrac{3}{4}

Die Grundidee

Durch einen Bruch teilen heißt mit dem Kehrwert multiplizieren.

ab:cd=ab⋅dc\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}. Durch eine Zahl kleiner als 1 teilen ergibt ein größeres Ergebnis als die Ausgangszahl.

Beispiel

Berechne 23:45\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{5}.

23⋅54\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{4}
Der Kehrwert von 4/5.
1012=56\dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}
Multiplizieren.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 34:12\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2}.

32\dfrac{3}{2}
3/4 · 2.

Üben ★

  1. Berechne 78:59\dfrac{ 7 }{ 8 } : \dfrac{ 5 }{ 9 }.
  2. Berechne 16:46\dfrac{ 1 }{ 6 } : \dfrac{ 4 }{ 6 }.
  1. Wie viele Portionen von 12\dfrac{1}{ 2 } Kilogramm enthalten 7 kg Reis?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. 59\dfrac{ 5 }{ 9 } eines Sacks Mehl wiegen 30 kg. Wie viel wiegt der ganze Sack (kg)?
  2. 25\dfrac{ 2 }{ 5 } eines Sacks Mehl wiegen 6 kg. Wie viel wiegt der ganze Sack (kg)?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Band ist 4 m lang. Es wird in Stücke von 24\dfrac{ 2 }{ 4 } m geschnitten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 78:59\dfrac{ 7 }{ 8 } : \dfrac{ 5 }{ 9 }.
  2. Berechne 16:46\dfrac{ 1 }{ 6 } : \dfrac{ 4 }{ 6 }.
  3. Berechne 23:45\dfrac{ 2 }{ 3 } : \dfrac{ 4 }{ 5 }.

Merkkarte

Brüche dividieren

  • Mit dem Kehrwert des Teilers multiplizieren.
  • Durch weniger als 1 teilen vergrößert.

Achtung: Den zweiten Bruch umkehren, nicht den ersten.

3. Produkt zweier Dezimalzahlen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Rechteck misst 0,30{,}3 m mal 0,20{,}2 m. Wie groß ist sein Flächeninhalt?

  1. 0,060{,}06 m²
  2. 0,60{,}6 m²

Die Grundidee

Man führt es auf ein Produkt ganzer Zahlen zurück.

Man multipliziert ohne Komma. Das Produkt hat so viele Stellen nach dem Komma wie beide Faktoren zusammen. Zur Kontrolle überschlägt man.

Beispiel

Berechne 2,5⋅1,22{,}5 \cdot 1{,}2.

300300
25 · 12.
3,00=33{,}00 = 3
Zwei Stellen nach dem Komma.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 0,4⋅30{,}4 \cdot 3.

1,21{,}2
4 · 3 = 12; eine Stelle.

Üben ★

  1. Berechne 0,3⋅0,70{,}3 \cdot 0{,}7.
  2. Berechne 0,8⋅0,20{,}8 \cdot 0{,}2.
  3. Berechne 0,7⋅0,70{,}7 \cdot 0{,}7.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Kilogramm kostet 5,85{,}8 €. Was kosten 3 kg?
  2. Ein Kilogramm kostet 7,67{,}6 €. Was kosten 3 kg?
  1. Berechne 0,4⋅20{,}4 \cdot 2.
  1. Berechne 0,04⋅20{,}04 \cdot 2.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 0,3⋅0,70{,}3 \cdot 0{,}7.
  2. Berechne 0,8⋅0,20{,}8 \cdot 0{,}2.
  3. Berechne 0,7⋅0,70{,}7 \cdot 0{,}7.

Merkkarte

Produkt

  • Ohne Komma multiplizieren.
  • Komma durch Zählen setzen.

Achtung: Mit einem Überschlag kontrollieren.

4. Dezimale Division und Division mit Rest

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

17 Murmeln werden in Päckchen zu 5 verteilt. Wie viele Päckchen, und wie viele Murmeln bleiben übrig?

  1. 3 Päckchen, Rest 2
  2. 2 Päckchen, Rest 3

Die Grundidee

Zwei Arten von Division.

Division mit Rest: a=b⋅q+ra = b \cdot q + r mit r<br < b. Dezimale Division: Man rechnet nach dem Komma weiter und erhält einen Dezimalbruch.

Beispiel

Berechne 7,2:37{,}2 : 3.

Die 2 herunterholen: 12.
7 : 3 = 2, Rest 1.
2,42{,}4
12 : 3 = 4.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist der Rest von 23:423 : 4?

33
23 = 4 · 5 + 3.

Üben ★

  1. Wie groß ist der Rest bei der Division von 43 durch 7?
  2. Wie groß ist der Rest bei der Division von 42 durch 8?
  3. Wie groß ist der Rest bei der Division von 44 durch 6?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne 12:312 : 3 als Dezimalbruch.
  2. Berechne 1925:8\frac{192}{5} : 8 als Dezimalbruch.
  1. Abschlussaufgabe. 42 Bücher werden in Regale zu je 8 Büchern gestellt.
  1. Wie groß ist der Quotient bei der Division von 26 durch 6?
  1. Es gilt a=3⋅5+2a = 3 \cdot 5 + 2. Wie groß ist aa?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist der Rest bei der Division von 43 durch 7?
  2. Wie groß ist der Rest bei der Division von 42 durch 8?
  3. Wie groß ist der Rest bei der Division von 44 durch 6?

Merkkarte

Divisionen

  • a=b⋅q+ra = b \cdot q + r, r<br < b.
  • Man kann nach dem Komma weiterrechnen.

Achtung: Der Rest ist immer kleiner als der Teiler.

5. Null und negative Exponenten

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

103=100010^3 = 1000, 102=10010^2 = 100, 101=1010^1 = 10. Bei jedem Schritt wird durch 10 geteilt. Wie groß ist 10010^0?

  1. 11
  2. 00

Die Grundidee

Man teilt weiter, um unter den Exponenten 1 zu kommen.

Für a≠0a \neq 0 gilt a0=1a^0 = 1 und a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}. Die Rechengesetze gelten weiter.

Beispiel

Berechne 2−32^{-3} und 105⋅10−210^5 \cdot 10^{-2}.

2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}
1 durch 2³.
105⋅10−2=10310^5 \cdot 10^{-2} = 10^3
5 + (−2).

Du bist dran

Jetzt du: Schreibe 10−210^{-2} als Bruch.

1100\dfrac{1}{100}
1/10².

Üben ★

  1. Schreibe 5−15^{-1} als Bruch.
  2. Schreibe 4−14^{-1} als Bruch.
  1. Wie groß ist 51051^0?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. 106⋅10−9=10?10^{ 6 } \cdot 10^{-9} = 10^{?}. Wie groß ist der Exponent?
  2. 108⋅10−9=10?10^{ 8 } \cdot 10^{-9} = 10^{?}. Wie groß ist der Exponent?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Schreibe 5−15^{-1} als Bruch.
  2. Schreibe 4−14^{-1} als Bruch.
  3. Schreibe 2−12^{-1} als Bruch.

Merkkarte

Exponent null und negative Exponenten

  • a0=1a^0 = 1.
  • a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.

Achtung: Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ.

6. Terme mit Potenzen; Rechenreihenfolge

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Wie groß ist 343^4?

  1. 81
  2. 12

Die Grundidee

Eine Potenz ist eine wiederholte Multiplikation; sie kommt zuerst dran.

bnb^n ist ein Produkt aus nn Faktoren bb. Reihenfolge: Klammern, dann Potenzen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung.

Beispiel

Berechne 2+3⋅422 + 3 \cdot 4^2.

42=164^2 = 16
Zuerst die Potenz.
3⋅16=483 \cdot 16 = 48
Multiplizieren.
5050
Addieren.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne den Termwert von 5x25x^2 für x=3x = 3.

4545
5 · 9.

Üben ★

  1. Berechne 1+2⋅321 + 2 \cdot 3^2.
  2. Berechne 5+5⋅225 + 5 \cdot 2^2.
  1. Berechne den Termwert von 4x24x^2 für x=8x = 8.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie groß ist 646^{ 4 }?
  2. Wie groß ist 626^{ 2 }?
  1. Abschlussaufgabe. Ein quadratischer Garten hat die Seite 10 m. Ein 1 m breiter Weg führt um ihn herum und bildet ein größeres Quadrat.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 1+2⋅321 + 2 \cdot 3^2.
  2. Berechne 5+5⋅225 + 5 \cdot 2^2.
  3. Berechne 1+3⋅221 + 3 \cdot 2^2.

Merkkarte

Rechenreihenfolge

  • Klammern, Potenzen, Punkt, Strich.
  • In kx2kx^2 wird nur xx quadriert.

Achtung: x2x^2 ist nicht 2x2x.

Lösungen: Multiplizieren, Dividieren und Terme

1. Brüche multiplizieren und Kehrwert

A

  1. 112\frac{1}{12}
  2. 16\frac{1}{6}
  3. 514\frac{5}{14}

B

  1. 33
  2. 66

C

  1. 13\frac{1}{3}

D

  1. 35\frac{3}{5}

E

  1. 112\frac{1}{12}
  2. 16\frac{1}{6}
  3. 514\frac{5}{14}

2. Brüche dividieren

A

  1. 6340\frac{63}{40}
  2. 14\frac{1}{4}

B

  1. 1414

C

  1. 5454
  2. 1515

D

  1. 14\frac{1}{4}

E

  1. 6340\frac{63}{40}
  2. 14\frac{1}{4}
  3. 56\frac{5}{6}

3. Produkt zweier Dezimalzahlen

A

  1. 21100\frac{21}{100}
  2. 425\frac{4}{25}
  3. 49100\frac{49}{100}

B

  1. 875\frac{87}{5}
  2. 1145\frac{114}{5}

C

  1. 45\frac{4}{5}

D

  1. 225\frac{2}{25}

E

  1. 21100\frac{21}{100}
  2. 425\frac{4}{25}
  3. 49100\frac{49}{100}

4. Dezimale Division und Division mit Rest

A

  1. 11
  2. 22
  3. 22

B

  1. 44
  2. 245\frac{24}{5}

C

  1. 66

D

  1. 44

E

  1. 1717

F

  1. 11
  2. 22
  3. 22

5. Null und negative Exponenten

A

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 14\frac{1}{4}

B

  1. 11

C

  1. −3-3
  2. −1-1

D

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 14\frac{1}{4}
  3. 12\frac{1}{2}

6. Terme mit Potenzen; Rechenreihenfolge

A

  1. 1919
  2. 2525

B

  1. 256256

C

  1. 12961296
  2. 3636

D

  1. 4444

E

  1. 1919
  2. 2525
  3. 1313