Prozentrechnung, Daten und Diagramme

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Prozentuale Zu- und Abnahme: Steuer, Trinkgeld, Rabatt

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Mantel für 60 € wird um 10 % reduziert. Wie viel zahlst du?

  1. 54 €
  2. 50 €

Die Grundidee

Erhöhen: addieren. Senken: abziehen, immer einen Prozentsatz des Anfangswerts.

Um p %p\,\% erhöhen heißt mit 1+p1001 + \dfrac{p}{100} multiplizieren; um p %p\,\% senken heißt mit 1−p1001 - \dfrac{p}{100} multiplizieren. Prozentuale Änderung = Änderung : Anfangswert.

Beispiel

Ein Preis steigt von 40 € auf 46 €.

66
Änderung.
0,150{,}15: eine Erhöhung um 15 %
6 : 40.

Du bist dran

Jetzt du: 80 € plus 5 % Steuer. Wie groß ist der Gesamtbetrag?

8484
80 · 1,05.

Üben ★

  1. Der Preis einer Jacke von 160 € steigt um 40 %. Wie hoch ist der neue Preis (in Euro)?
  2. Der Preis einer Jacke von 300 € steigt um 20 %. Wie hoch ist der neue Preis (in Euro)?
  1. Ein Spiel für 320 € wird um 35 %35\,\% reduziert. Wie hoch ist der reduzierte Preis (in Euro)?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Stadt wächst von 280 auf 518 Einwohner. Um wie viel Prozent ist sie gewachsen?
  2. Eine Stadt wächst von 260 auf 468 Einwohner. Um wie viel Prozent ist sie gewachsen?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Essen kostet 120 €. Dazu kommen 10 % Steuer und 20 % Trinkgeld auf den Preis ohne Steuer.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Der Preis einer Jacke von 160 € steigt um 40 %. Wie hoch ist der neue Preis (in Euro)?
  2. Der Preis einer Jacke von 300 € steigt um 20 %. Wie hoch ist der neue Preis (in Euro)?
  3. Der Preis einer Jacke von 60 € steigt um 60 %. Wie hoch ist der neue Preis (in Euro)?

Merkkarte

Änderungen

  • Endwert = Anfangswert · Faktor.
  • Prozentsatz = Änderung : Anfangswert.

Achtung: Der Grundwert ist der Anfangswert.

2. Prozent und Prozentpunkte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Partei steigt von 20 % auf 25 %. Um wie viel ist das gestiegen?

  1. Um 5 Prozentpunkte
  2. Um 5 %

Die Grundidee

Prozentpunkte vergleichen Prozentsätze; Prozent vergleichen zum Grundwert.

Die Differenz zweier Prozentsätze gibt man in Prozentpunkten an: von 20 % auf 25 % sind 5 Prozentpunkte.

Die prozentuale Änderung bezieht diese Differenz auf den Anfangswert: 25−2020=25 %\dfrac{25 - 20}{20} = 25\,\%.

Beispiel

Der Zinssatz steigt von 2 % auf 3 %.

1 Prozentpunkt
Differenz der Sätze.
3−22=0,5\dfrac{3 - 2}{2} = 0{,}5
Auf den Anfangswert bezogen.
Das sind 50 %.
Prozentuale Änderung.

Du bist dran

Jetzt du: Eine Quote fällt von 40 % auf 30 %. Um wie viele Prozentpunkte?

40−3040 - 30
40 − 30.
1010
Prozentpunkte.

Üben ★

  1. Ein Anteil steigt von 14 % auf 25 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
  2. Ein Anteil steigt von 16 % auf 27 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
  1. Ein Anteil steigt von 10 % auf 14 %. Um wie viel Prozent ist er gestiegen, bezogen auf den Anfangswert?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Der Zinssatz steigt von 2 % auf 4 %. Welche Aussage stimmt?
    1. Er steigt um 2 Prozentpunkte, also um 100 %
    2. Er steigt um 2 %
    3. Er steigt um 100 Prozentpunkte

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Anteil steigt von 14 % auf 25 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
  2. Ein Anteil steigt von 16 % auf 27 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?
  3. Ein Anteil steigt von 10 % auf 21 %. Um wie viele Prozentpunkte ist er gestiegen?

Merkkarte

Prozent und Prozentpunkte

  • Prozentpunkte: Differenz der Sätze.
  • Prozentuale Änderung: Differenz : Anfangswert.
  • Beides sind verschiedene Zahlen.

Achtung: Nicht verwechseln.

3. Datentabellen

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Eine Tabelle nennt 12 Mädchen und 13 Jungen. Wie viele sind es insgesamt?

  1. 25
  2. 13

Die Grundidee

Eine Tabelle ordnet Daten.

Eine Zeile und eine Spalte kreuzen sich in einem Feld. Ein Filter behält nur die Zeilen, die eine Bedingung erfüllen.

Beispiel

Tabelle: A 5, B 8, C 3.

1616
Summe.
B
Die größte Häufigkeit.

Du bist dran

Jetzt du: Welche Häufigkeit hat C in dieser Tabelle?

33
Feld von C.

Üben ★

  1. Eine Tabelle nennt die Häufigkeiten 14, 20 und 30. Wie groß ist die Gesamtzahl?
  2. Eine Tabelle nennt die Häufigkeiten 14, 30 und 24. Wie groß ist die Gesamtzahl?
  3. Eine Tabelle nennt die Häufigkeiten 26, 13 und 16. Wie groß ist die Gesamtzahl?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Vier Kinder haben die Punktzahlen 2, 7, 12, 17. Wie viele haben mehr als 7 Punkte?
  2. Vier Kinder haben die Punktzahlen 3, 8, 13, 18. Wie viele haben mehr als 8 Punkte?
  1. Abschlussaufgabe. Eine Tabelle nennt 7 Mädchen und 6 Jungen in einem Verein.
  1. Eine Tabelle nennt 4 Mädchen und 14 Jungen in der Klasse 6a. Wie viele Jungen sind es?
  1. Eine Tabelle nennt 13 Kinder in der 6a und 30 in der 6b. Wie viele Kinder mehr sind es in der 6b?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Eine Tabelle nennt die Häufigkeiten 14, 20 und 30. Wie groß ist die Gesamtzahl?
  2. Eine Tabelle nennt die Häufigkeiten 14, 30 und 24. Wie groß ist die Gesamtzahl?
  3. Eine Tabelle nennt die Häufigkeiten 26, 13 und 16. Wie groß ist die Gesamtzahl?

Merkkarte

Tabellen

  • Zeile und Spalte.
  • Filter: nach einer Bedingung auswählen.

Achtung: Prüfe die Überschriften.

4. Kreisdiagramme lesen und deuten

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In einem Kreisdiagramm nimmt ein Sektor den halben Kreis ein. Wie viel Prozent der Daten sind das?

  1. 50 %
  2. 180 %

Die Grundidee

Ein Kreisdiagramm zeigt Teile eines Ganzen.

Jeder Sektor ist ein Prozentsatz des Ganzen, der ganze Kreis sind 100 % (oder 360°). Für eine Anzahl nimmt man diesen Prozentsatz der Gesamtzahl, für den Winkel diesen Prozentsatz von 360°.

Beispiel

40 Kinder; der Sektor Musik ist 25 %.

25 % von 40 = 10 Kinder
Anzahl.
25 % von 360° = 90°
Winkel.

Du bist dran

Jetzt du: 60 Personen, ein Sektor von 10 %. Wie viele Personen?

66
10 % von 60.

Üben ★

  1. Ein Kreisdiagramm zeigt die Lieblingssportarten von 240 Kindern. Der Sektor Fußball ist mit 15 % beschriftet. Wie viele Kinder wählen Fußball?
  2. Ein Kreisdiagramm zeigt die Lieblingssportarten von 60 Kindern. Der Sektor Fußball ist mit 40 % beschriftet. Wie viele Kinder wählen Fußball?
  1. Ein Kreisdiagramm zeigt, wie 160 Kinder zur Schule kommen: Bus 50 %, zu Fuß 25 %, Auto 25 %. Welche Aussage stimmt?
    1. Doppelt so viele Kinder fahren Bus wie zu Fuß gehen
    2. 50 Kinder fahren Bus
    3. Die Sektoren ergeben zusammen 360 Kinder

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Kategorie ist 10 % eines Kreisdiagramms. Wie groß ist der Winkel ihres Sektors in Grad?
  2. Eine Kategorie ist 45 % eines Kreisdiagramms. Wie groß ist der Winkel ihres Sektors in Grad?
  1. Ein Kreisdiagramm zeigt die Lieblingssportarten von 240 Kindern. Der Sektor Fußball ist mit 15 % beschriftet. Wie viele Kinder wählen Fußball?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Kreisdiagramm zeigt die Lieblingssportarten von 240 Kindern. Der Sektor Fußball ist mit 15 % beschriftet. Wie viele Kinder wählen Fußball?
  2. Ein Kreisdiagramm zeigt die Lieblingssportarten von 60 Kindern. Der Sektor Fußball ist mit 40 % beschriftet. Wie viele Kinder wählen Fußball?
  3. Ein Kreisdiagramm zeigt die Lieblingssportarten von 40 Kindern. Der Sektor Fußball ist mit 35 % beschriftet. Wie viele Kinder wählen Fußball?

Merkkarte

Kreisdiagramme

Anzahl = Prozentsatz · Gesamtzahl; Winkel = Prozentsatz · 360°.

Achtung: Ein Prozentsatz ist keine Anzahl.

5. Häufigkeiten und Mittelwert

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In einer Klasse mit 25 Kindern haben 10 eine Katze. Wie groß ist die relative Häufigkeit?

  1. 1025\dfrac{10}{25}
  2. 2510\dfrac{25}{10}

Die Grundidee

Relative Häufigkeit und Mittelwert fassen Daten zusammen.

Nicht maßstabsgetreu

Relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit : Gesamtzahl. Man schreibt sie als Dezimalbruch, Bruch oder in Prozent. Die relativen Häufigkeiten ergeben zusammen 1.

Arithmetisches Mittel = Summe der Werte : Anzahl der Werte. Im Kreisdiagramm gehört zu einem Sektor seine relative Häufigkeit · 360°.

Beispiel

5 von 20 Kindern wählen Sport.

520=0,25\dfrac{5}{20} = 0{,}25, also 25 %
Relative Häufigkeit.
0,25⋅360°=90°0{,}25 \cdot 360° = 90°
Winkel des Sektors.

Du bist dran

Jetzt du: das Mittel von 8, 10, 15?

1111
33 : 3.

Üben ★

  1. In einer Gruppe von 30 Personen mögen 6 Sport. Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent?
  2. In einer Gruppe von 30 Personen mögen 24 Sport. Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent?
  3. In einer Gruppe von 30 Personen mögen 21 Sport. Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie groß ist in Grad der Winkel eines Sektors für 10 %?
  2. Wie groß ist in Grad der Winkel eines Sektors für 80 %?
  1. Abschlussaufgabe. Von 30 Kindern kommen 9 zu Fuß, die anderen mit dem Rad.
  1. In einer Klasse haben 4 Kinder die Punktzahl 4 und 2 Kinder die Punktzahl 9. Wie groß ist das Mittel der Klasse?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. In einer Gruppe von 30 Personen mögen 6 Sport. Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent?
  2. In einer Gruppe von 30 Personen mögen 24 Sport. Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent?
  3. In einer Gruppe von 30 Personen mögen 21 Sport. Wie groß ist die relative Häufigkeit in Prozent?

Merkkarte

Relative Häufigkeiten

  • Absolute Häufigkeit : Gesamtzahl.
  • Mittel: Summe : Anzahl.

Achtung: Ein Sektor bezieht sich auf 360°.

6. Irreführende Diagramme

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Zwei Säulen zeigen 98 und 100. Die Achse beginnt bei 96. Die zweite Säule sieht doppelt so hoch aus. Ist der Wert doppelt so groß?

Nicht maßstabsgetreu
  1. Nein: 100 ist nur etwa 2 % mehr als 98
  2. Ja: Das sieht man an der Säule

Die Grundidee

Ein Diagramm kann richtig gerechnet und trotzdem irreführend sein.

Prüfe bei einem Diagramm: Beginnt die Achse bei 0? Sind die Abstände gleichmäßig? Stimmen Beschriftung und Einheit? Passen die Flächen zu den Werten?

Wird ein Bild in beiden Richtungen verdoppelt, vervierfacht sich seine Fläche, obwohl der Wert nur doppelt so groß ist.

Beispiel

Ein Diagramm zeigt 50 und 55, die Achse beginnt bei 45. Die Säulen sind 5 und 10 Einheiten hoch.

Die zweite Säule sieht doppelt so hoch aus.
Höhen im Bild.
55:50=1,155 : 50 = 1{,}1
Die echten Werte.
Der Wert ist nur 10 % größer.
Bewertung.

Du bist dran

Jetzt du: Ein Diagramm zeigt 20 und 25, die Achse beginnt bei 15. Um wie viel Prozent ist der zweite Wert wirklich größer?

520\dfrac{5}{20}
(25 − 20) : 20.
2525
In Prozent.

Üben ★

  1. Ein Diagramm zeigt 70 und 75, die Achse beginnt bei 65. Die zweite Säule sieht doppelt so hoch aus. Um wie viel ist der zweite Wert wirklich größer?
  2. Ein Diagramm zeigt 40 und 45, die Achse beginnt bei 35. Die zweite Säule sieht doppelt so hoch aus. Um wie viel ist der zweite Wert wirklich größer?
  1. Eine Grafik zeigt einen riesigen Anstieg. Was prüfst du zuerst?
    1. Ob die y-Achse bei 0 beginnt und wie sie eingeteilt ist
    2. Die Farbe der Säulen
    3. Wie steil es aussieht

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Bild für einen Wert wird für den 3-fachen Wert in beiden Richtungen mit 3 vergrößert. Mit welchem Faktor wächst seine Fläche?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Diagramm zeigt 70 und 75, die Achse beginnt bei 65. Die zweite Säule sieht doppelt so hoch aus. Um wie viel ist der zweite Wert wirklich größer?
  2. Ein Diagramm zeigt 40 und 45, die Achse beginnt bei 35. Die zweite Säule sieht doppelt so hoch aus. Um wie viel ist der zweite Wert wirklich größer?
  3. Ein Diagramm zeigt 70 und 71, die Achse beginnt bei 69. Die zweite Säule sieht doppelt so hoch aus. Um wie viel ist der zweite Wert wirklich größer?

Merkkarte

Irreführende Diagramme

  • Achsenanfang prüfen.
  • Gleichmäßige Abstände prüfen.
  • Flächen mit den Werten vergleichen.

Achtung: Immer die Zahlen lesen, nicht nur den Eindruck.

Lösungen: Prozentrechnung, Daten und Diagramme

1. Prozentuale Zu- und Abnahme: Steuer, Trinkgeld, Rabatt

A

  1. 224224
  2. 360360

B

  1. 208208

C

  1. 8585
  2. 8080

D

  1. 156156

E

  1. 224224
  2. 360360
  3. 9696

2. Prozent und Prozentpunkte

A

  1. 1111
  2. 1111

B

  1. 4040

C

  1. Er steigt um 2 Prozentpunkte, also um 100 %

D

  1. 1111
  2. 1111
  3. 1111

3. Datentabellen

A

  1. 6464
  2. 6868
  3. 5555

B

  1. 22
  2. 22

C

  1. 613\frac{6}{13}

D

  1. 1414

E

  1. 1717

F

  1. 6464
  2. 6868
  3. 5555

4. Kreisdiagramme lesen und deuten

A

  1. 3636
  2. 2424

B

  1. Doppelt so viele Kinder fahren Bus wie zu Fuß gehen

C

  1. 3636
  2. 162162

D

  1. 3636

E

  1. 3636
  2. 2424
  3. 1414

5. Häufigkeiten und Mittelwert

A

  1. 2020
  2. 8080
  3. 7070

B

  1. 3636
  2. 288288

C

  1. 108108

D

  1. 173\frac{17}{3}

E

  1. 2020
  2. 8080
  3. 7070

6. Irreführende Diagramme

A

  1. 55
  2. 55

B

  1. Ob die y-Achse bei 0 beginnt und wie sie eingeteilt ist

C

  1. 99

D

  1. 55
  2. 55
  3. 11